湖南省娄底市炉观镇中心中学高三数学文上学期摸底试题含解析

湖南省娄底市炉观镇中心中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn=sgnx B．sgn=﹣sgnx C．sgn=sgn D．sgn=﹣sgn参考答案：B【考点】函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn=sgn（x+1）=；sgn=sgn（﹣x）=，﹣sgn=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B．【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．2.在边长为1的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（）

A.

B.

C.

D.参考答案：C试题分析：建立坐标系可得C、M、E的坐标，可得，由二次函数的知识可得．（如图）以AB、AD分别为x、y轴建立坐标系，进而可得设E（x，0）（0≤x≤1），∵0≤x≤1，∴当x=1时，当x=0时，考点：平面向量数量积运算3.下列命题正确的是（

）Ａ．垂直于同一直线的两条直线平行

Ｂ．若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则它垂直于另一条

Ｃ．若一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交

Ｄ．一条直线至多与两条异面直线中的一条相交参考答案：B4.若命题“使得”为假命题，则实数m的取值范围是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.已知命题：，命题，若命题

是真命题，则实数a的取值范围是

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：D略6.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为（

）A.110 B.114 C.124 D.125参考答案：B【分析】利用二项式系数对应的杨辉上三角形的第行，令，得到二项展开式的二项式系数的和，再结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，次二项式系数对应的杨辉三角形的第行，令，可得二项展开式的二项式系数的和，其中第1行为，第2行为，第3行为，以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的对边数列，则杨辉三角形中前行的数字之和为，若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则，令，解得，所以前15项的和表示前7行的数列之和，减去所有的1，即，即前15项的数字之和为114，故选B.【点睛】本题主要考查了借助杨辉三角形的系数与二项式系数的关系考查等差、等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中认真审题，结合二项式系数，利用等差等比数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.若点(x，y)满足线性条件，则的最大值为A.

2B.

3

C.

4

D.

5参考答案：D 由可行域可知在点处取得最大值.故选D.8.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为

A．

B．

C.

D．1参考答案：B略9.已知等差数列的前项和为则数列的前10项和为（）A．

B．

C.

D．参考答案：B10.等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，记，

，则m的最大值为

参考答案：5略12.函数为增函数的区间是________，参考答案：

13.当函数取得最大值时，

.参考答案：14.右面的程序框图输出的S的值为．参考答案：考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=5时不满足条件n≤4，退出循环，输出S的值为：．解答：解：模拟执行程序框图，可得n=1，S=0满足条件n≤4，S=1，n=2满足条件n≤4，S=，n=3满足条件n≤4，S=，n=4满足条件n≤4，S=，n=5不满足条件n≤4，退出循环，输出S的值为：．故答案为：；点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，n的值是解题的关键，属于基础题．15.已知向量，若，则_________.参考答案：-316.已知函数,则=_____________.参考答案：12略17.A、B是半径为R的球面上的两点，A、B是球面距离是，则过A、B两点的平面到球心的距离的最大值为

．参考答案：R【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由球截面圆的性质，当截面是以AB为直径的圆时，球心到过A、B两点的平面的距离最大．设D为AB中点，OD即为所求．【解答】解：两点A、B间的球面距离为，∴∠AOB=．[来源:学_科_网]设过A、B两点的球截面为圆C，由球截面圆的性质OC为球心到过A、B两点的平面的距离．D为AB中点，则OC≤OD，当且仅当C，D重合时取等号．在边三角形AOB中，OD=R．故答案为：R．【点评】本题考查球面距离的概念，点面距的计算．分析出何时区最大值是关键，考查了空间想象能力、推理论证、计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在海岛上有一座海拔千米的山，山顶设有一个观察站，上午时，测得一轮船在海岛北偏东，俯角（与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，当目标视线在水平视线的下方时称为俯角）为的处。到时分又测得该轮船在岛西偏北，俯角为的处。

(1)该轮船的航行速度是每小时多少千米？

(2)又经过一段时间后，轮船到达海岛正西方向的处，此时轮船距岛有多远？参考答案：（1）中,,

--------2分同理中,

--------2分中,

--------2分19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（x）=2sin（x﹣A）cosx+sin（B+C）（x∈R），函数f（x）的图象关于点（，0）对称． （Ⅰ）当x∈（0，）时，求f（x）的值域； （Ⅱ）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积． 参考答案：【考点】正弦定理． 【分析】（Ⅰ）运用两角差的正弦公式和诱导公式，结合二倍角公式，化简f（x），再由对称性，计算可得A，再由x的范围，结合正弦函数的图象和性质，即可得到值域； （Ⅱ）运用正弦定理和余弦定理，可得bc=40，再由面积公式即可计算得到． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x﹣A）cosx+sin（B+C） =2（sinxcosA﹣cosxsinA）cosx+sinA =2sinxcosxcosA﹣2cos2xsinA+sinA =sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin（2x﹣A）， 由于函数f（x）的图象关于点（，0）对称，则f（）=0， 即有sin（﹣A）=0，由0＜A＜π，则A=， 则f（x）=sin（2x﹣）， 由于x∈（0，），则2x﹣∈（﹣，）， 即有﹣＜sin（2x﹣）≤1． 则值域为（﹣，1]； （Ⅱ）由正弦定理可得===， 则sinB=b，sinC=c， sinB+sinC=（b+c）=， 即b+c=13， 由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA， 即49=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc， 即有bc=40， 则△ABC的面积为S=bcsinA=×40×=10． 【点评】本题重点考查正弦定理和余弦定理以及面积公式的运用，考查两角和差的正弦公式和二倍角公式的运用，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．20.

设，其中为正实数.(Ⅰ)当时，求的极值点；(Ⅱ)若为上的单调函数，求的取值范围.参考答案：本题主要考查了以导数为工具，求函数单调区间和极值以及恒成立的不等式转化的问题，重视对学生分析问题和解决问题能力的考查。（1）当时，令，即恒大于0，，或，所以函数的极值点有两个且分别为和；（2）当为上是单调函数时，方程无解或有两个相等的实数根，所以二次方程无解或有两个相等的实数根，又因为为正数，所以方程，即。21.（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到。现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为。在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到。假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，。（1）求索道的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，

乙步行的速度应控制在什么范围内？参考答案：解：(1)

(2)

设乙出发分钟后，甲到了处，乙到了E处

则有

根据余弦定理

即

当时，有最小值 (3)设甲所用时间为，乙所用时间