福建省永春县2024届数学九年级第一学期期末综合测试试题含解析

福建省永春县2024届数学九年级第一学期期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．反比例函数的图象如图所示，以下结论：①常数m＜－1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A（－1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④若P（x，y）在图象上，则P′（－x，－y）也在图象上.其中正确的是A．①② B．②③ C．③④ D．①④2．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪些条件，①∠AED=∠B，②，③，使△ADE与△ACB一定相似（）A．①② B．② C．①③ D．①②③3．如图，菱形的边长是，动点同时从点出发，以的速度分别沿运动，设运动时间为，四边形的面积为，则与的函数关系图象大致为（）A． B．C． D．4．设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2+b2+ab，则方程（x+2）△x＝1的实数根是（）A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝1C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于点D，BC=3，AC=4，tan∠BCD的值为（）A．； B．； C．； D．；6．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是()A． B． C． D．7．在ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以A为圆心，以3为半径画圆，则点C与⊙A的位置关系是（）A．在⊙A外 B．在⊙A上 C．在⊙A内 D．不能确定8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c＋2的图象如图所示，顶点为(－1，1)，下列结论：①abc＜1；②b2－4ac＝1；③a＜2；④4a－2b＋c＞1．其中正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．49．如图，在菱形中，，且连接则（）A． B．C． D．10．如图，已知在ΔABC中，DE∥BC，则以下式子不正确的是（）A． B． C． D．11．抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示．下列叙述中：①；②关于的方程的两个根是；③；④；⑤当时，随增大而增大．正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．112．一人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡滑下，滑下距离S（米）与时间t（秒）之间的关系为S=10t+2t2，若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（）A．72米 B．36米 C．米 D．米二、填空题（每题4分，共24分）13．已知，则的值为___________.14．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是__________cm2.15．关于x的分式方程有增根，则m的值为__________．16．如果，那么=_____．17．如图，在轴的正半轴上依次截取……，过点、、、、……，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点、、、、……，得直角三角形、，，，……，并设其面积分别为、、、、……，则__．的整数）.18．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．三、解答题（共78分）19．（8分）我市某校准备成立四个活动小组：．声乐，．体育，．舞蹈，．书画，为了解学生对四个活动小组的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中必须选择而且只能选择一个小组，根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查共抽查了名学生，扇形统计图中的值是；（2）请补全条形统计图；（3）喜爱“书画”的学生中有两名男生和两名女生表现特别优秀，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．20．（8分）爱好数学的甲、乙两个同学做了一个数字游戏：拿出三张正面写有数字﹣1，0，1且背面完全相同的卡片，将这三张卡片背面朝上洗匀后，甲先随机抽取一张，将所得数字作为p的值，然后将卡片放回并洗匀，乙再从这三张卡片中随机抽取一张，将所得数字作为q值，两次结果记为．（1）请你帮他们用树状图或列表法表示所有可能出现的结果；（2）求满足关于x的方程没有实数根的概率．21．（8分）如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．22．（10分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字,,，乙口袋中的小球上分别标有数字,,，从两口袋中分别各摸一个小球.求摸出小球数字之和为的概率23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过原点，顶点为，且与直线相交于两点.（1）求抛物线的解析式；（2）求、两点的坐标；（3）若点为轴上的一个动点，过点作轴与抛物线交于点，则是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.24．（10分）在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的两条高，且AD、CE相交于点O，试找出图中相似的三角形，并选出一组给出证明过程．25．（12分）如图，为的直径，平分，交于点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点（1）求证：是的切线（2）若，，求的长26．阅读材料：材料2若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x2，x2则x2+x2＝﹣，x2x2＝．材料2已知实数m，n满足m2﹣m﹣2＝0，n2﹣n﹣2＝0，且m≠n，求的值．解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两个不相等的实数根，根据材料2得m+n＝2，mn＝﹣2，所以＝﹣2．根据上述材料解决以下问题：（2）材料理解：一元二次方程5x2+20x﹣2＝0的两个根为x2，x2，则x2+x2＝，x2x2＝．（2）类比探究：已知实数m，n满足7m2﹣7m﹣2＝0，7n2﹣7n﹣2＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值：（2）思维拓展：已知实数s、t分别满足29s2+99s+2＝0，t2+99t+29＝0，且st≠2．求的值．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解题分析】分析：因为函数图象在一、三象限，故有m＞0，故①错误；在每个象限内，y随x的增大而减小，故②错；对于③，将A、B坐标代入，得：h＝－m，，因为m＞0，所以，h＜k，故③正确；函数图象关于原点对称，故④正确．因此，正确的是③④．故选C．2、C【分析】根据相似三角形的判定方法即可一一判断；【题目详解】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，

∴△AED∽△ABC，故①正确，

∵∠A=∠A，，

∴△AED∽△ABC，故③正确，

由②无法判定△ADE与△ACB相似，

故选C．【题目点拨】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.3、C【分析】根据题意可以求出各段对应的函数解析式，再根据函数解析式即可判断哪个选项是符合题意的，本题得以解决．【题目详解】解：∵菱形ABCD的边长为4cm，∠A=60°，动点P，Q同时从点A出发，都以1cms的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，

∴△ABD是等边三角形，

∴当0＜x≤4时，

y=×4×4×sin60°−x•sin60°x=4−x2=x2+4；

当4＜x≤8时，

y=×4×4×sin60°−×(8−x)×(8−x)×sin60°=−x2+4x−12=−(x−8)2+4；∴选项C中函数图像符合题意，故选：C.【题目点拨】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，求出各段对应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．4、C【解题分析】根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，整理成一般形式，左边化为完全平方式，用直接开平方的方法解方程即可．【题目详解】解：∵a△b＝a2+b2+ab，∴（x+2）△x＝（x+2）2+x2+x（x+2）＝1，整理得：x2+2x+1＝0，即（x+1）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣1．故选：C．【题目点拨】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．5、A【分析】根据余角的性质，可得∠BCD=∠A，根据等角的正切相等，可得答案．【题目详解】由∠ACB=90°，CD⊥AB于D，得

∠BCD=∠A

tan∠BCD=tan∠A=，

故选A．【题目点拨】此题考查锐角三角函数的定义，利用余角的性质得出∠BCD=∠A是解题关键．6、B【分析】先将各选项一元二次方程化为一般式，再计算判别式即得．【题目详解】A选项中，则，，，则，有两个相等的实数根，不符合题意；B选项可化为，则，，，则，有两个不相等的实数根，符合题意；C选项可化为，则，，，则，无实数根，不符合题意；D选项可化为，则，，，则，无实数根，不符合题意．故选：B．【题目点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟知：判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；判别式时，一元二次方程无实数根．7、B【分析】根据勾股定理求出AC的值，根据点与圆的位关系特点，判断即可．【题目详解】解：由勾股定理得：∵AC=半径=3，∴点C与⊙A的位置关系是：点C在⊙A上，故选：B．【题目点拨】本题考查了点与圆的位置关系定理和勾股定理等知识点的应用，点与圆（圆的半径是r，点到圆心的距离是d）的位置关系有3种：d=r时，点在圆上；d＜r点在圆内；d＞r点在圆外．掌握以上知识是解题的关键．8、A【分析】根据抛物线的图像和表达式分析其系数的值，通过特殊点的坐标判断结论是否正确．【题目详解】∵函数图象开口向上，∴，又∵顶点为(，1)，∴，∴,由抛物线与轴的交点坐标可知：，∴c＞1，∴abc＞1,故①错误；∵抛物线顶点在轴上，∴，即，又，∴，故②错误；∵顶点为(，1)，∴，∵，∴，∵，∴，则，故③错误；由抛物线的对称性可知与时的函数值相等，∴，∴，故④正确．综上，只有④正确，正确个数为1个．故选：A．【题目点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象以及顶点坐标找出之间的关系是解题的关键．9、D【分析】菱形ABCD属于平行四边形，所以BCAD，根据两直线平行同旁内角互补，可得∠BAD与∠ABC互补，已知∠BAD=120°，∠ABC的度数即可知，且∠BCE=90°，CE=BC可推BCE为等腰直角三角形，其中∠CBE=45°，∠ABE=∠ABC-∠CBE，故∠ABE的度数可得．【题目详解】解：∵在菱形ABCD中，BCAD，∴∠BAD+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），且∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，又∵CEAD，且BCAD，∴CEBC，可得∠BCE=90°，又∵CE=BC，∴BCE为等腰直角三角形，∠CBE=45°，∴∠ABE=∠ABC-∠CBE=60°-45°=15°，故选：D．【题目点拨】本题主要考察了平行线的性质及菱形的性质求角度，掌握平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补；菱形中，四条边的线段长度一样，根据以上的性质定理，从边长的关系推得三角形的形状，进而求得角度．10、D【分析】由DE∥BC可以推得ΔADE~ΔABC,再由相似三角形的性质出发可以判断各选项的对错．【题目详解】∵DE∥BC，∴ΔADE~ΔABC,所以有：A、，正确；B、由A得，即，正确；C、,即，正确；D、，即,错误．故选D．【题目点拨】本题考查三角形相似的判定与性质，根据三角形相似的性质写出有关线段的比例式是解题关键．11、B【分析】由抛物线的对称轴是，可知系数之间的关系，由题意，与轴的一个交点坐标为，根据抛物线的对称性，求得抛物线与轴的一个交点坐标为，从而可判断抛物线与轴有两个不同的交点，进而可转化求一元二次方程根的判别式，当时，代入解析式，可求得函数值，即可判断其的值是正数或负数.【题目详解】抛物线的对称轴是；③正确，与轴的一个交点坐标为抛物线与与轴的另一个交点坐标为关于的方程的两个根是；②正确，当x=1时，y=；④正确抛物线与轴有两个不同的交点，则①错误；当时，随增大而减小当时，随增大而增大，⑤错误；②③④正确，①⑤错误故选：B.【题目点拨】本题考查二次函数图象的基本性质：对称性、增减性、函数值的特殊性、二次函数与一元二次方程的综合运用，是常见考点，难度适中，熟练掌握二次函数图象基本性质是解题关键.12、B【分析】求滑下的距离，设出下降的高度，表示出水平高度，利用勾股定理即可求解.【题目详解】当时，，设此人下降的高度为米，过斜坡顶点向地面作垂线，在直角三角形中，由勾股定理得：，解得.故选：.【题目点拨】此题主要考查了坡角问题，理解坡比的意义，使用勾股定理，设未知数，列方程求解是解题关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】设，分别表示出a,b,c,即可求出的值.【题目详解】设∴∴故答案为【题目点拨】本题考查了比例的性质，利用参数分别把a,b,c表示出来是解题的关键.14、【解题分析】圆锥侧面积=×4×2π×6=cm2.故本题答案为：.15、1．【解题分析】去分母得：7x+5(x-1)=2m-1，因为分式方程有增根，所以x-1=0，所以x=1，把x=1代入7x+5(x-1)=2m-1，得：7=2m-1，解得：m=1，故答案为1.16、【解题分析】试题解析：设a=2t，b=3t，故答案为:17、【解题分析】根据反比例函数y=中k的几何意义再结合图象即可解答．【题目详解】∵过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,S=|k|.∴=1,=1，∵O=，∴==，同理可得,=1====.故答案是：.【题目点拨】本题考查反比例函数系数k的几何意义.18、1．【解题分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值．∵﹣1.5＜0，∴函数有最大值．∴，即飞机着陆后滑行1米才能停止．三、解答题（共78分）19、(1)50，32；(2)见解析；（3）【解题分析】（1）根据D组的人数及占比即可求出本次抽样调查共抽查的人数，故可求出m的值；（2）用调查总人数减去各组人数即可求出B组人数，再补全条形统计图；（3）根据题意列出树状图，再根据概率公式即可求解.【题目详解】解：（1），所以本次抽样调查共抽查了50名学生，，即；故答案为50，32；（2）B组的人数为（人），全条形统计图为：（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为8，所以所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．【题目点拨】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出调查的样本容量.20、（1）见解析（2）【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得满足关于x的方程没有实数解的有：（-1，1），（0，1），（1，1），再利用概率公式即可求得答案．【题目详解】(1)画树状图得：则共有9种等可能的结果；(2)方程没有实数解,即△=p−4q<0，由(1)可得：满足△=p−4q<0的有：(−1,1),(0,1),(1,1)，∴满足关于x的方程x2+px+q=0没有实数解的概率为：【题目点拨】此题考查列表法与树状图法，根的判别式，掌握运算法则是解题关键21、6cm【题目详解】解：∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠ECD+∠DEC=90°，∴∠AEF=∠ECD．∵EF=EC∴Rt△AEF≌Rt△DCE．∴AE=CD．∵DE=1cm，∴AD=AE+1．∵矩形ABCD的周长为2cm，∴2（AE+AE+1）=2．解得，AE=6cm．22、【分析】画树状图展示所有等可能的结果，再根据概率公式求解．【题目详解】解：利用树状图表示为：由树状图可知，共有种情况，每种情况的可能性相等.摸出的两个小球数字之和为有种情况.（数字之和为）.【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．23、（1）；（2），；（3）；坐标为或或或.【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，

（2）联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；

（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得或，可求得N点的坐标【题目详解】解：（1）∵顶点坐标为，∴设抛物线解析式为，又抛物线过原点，∴，解得：，∴抛物线解析式为：，即.（2）联立抛物线和直线解析式可得，解得：或，∴，；（3）存在；坐标为或或或.理由：假设存在满足条件的点，设，则，∴，，由（2）知，，，∵轴于点，∴，∴当和相似时，有或，①当时，∴，即，∵当时、、不能构成三角形，∴，∴，∴，解得：或，此时点坐标为：或；②当时，∴，即，∴，∴，解得：或，此时点坐标为：或，综上可知，在满足条件的点，其坐标为：或或或.【题目点拨】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．24、△ABD∽△CBE，△ODC∽△BEC，△OEA∽△BDA，△ODC∽△OEA，证明见解析【分析】由题意直接根据相似三角形的判定方法进行分析即可得出答案．【题目详解】解：图中相似的三角形有：△ABD∽△CBE，△ODC∽△BEC，△OEA∽△BDA，△ODC∽△OEA．∵AD、CE分别是△ABC的两条高，∴∠ADB＝∠CDA＝∠CEB＝∠AEC＝90°，∴∠B+∠BCE＝90°，∠B+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠BCE，∵∠EBC＝∠ABD，∴△ABD∽CBE．【题目点拨】本题考查相似三角形的判定．注意掌握相似三角形的判定以及