四川省眉山市仁寿第一中学校（北校）2023-2024学年高三上学期9月月考理科数学试题（PDF版含答案）

第第页四川省眉山市仁寿第一中学校（北校）2023-2024学年高三上学期9月月考理科数学试题（PDF版含答案）1D

2B

3B

4C

5B

6D

7A

8C

9B

10D

11D

12A

13.80

14.

15

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

解：(1)第1步：取PB的中点F,连接EF,CF,证明四边形

CDEF是平行四边形

如图，取PB的中点F,连接EF,CF,因为E是PA的中点，

所以EF∥AB,且EF=2AB,

因为CD=2AB,且AB∥DC,

所以EF∥CD,且EF=CD,

所以四边形CDEF是平行四边

形（题眼）

第2步：证明DE∥平面PBC

可得DE∥CF,

(3分)

因为CFC平面PBC,DE￠平面PBC,所以DE∥平面PBC.

(5分)

(2)第1步：建立空间直角坐标系，求出相关坐标

因为AB∥DC,AB⊥AD,所以AD⊥CD,

因为PD⊥平面ABCD,DAC平面ABCD,DCC平面ABCD,

所以DA,DC,DP两两垂直.

以D为坐标原点，分别以DA,DC,DP所在的直线为x,y,z

轴建立空间直角坐标系，（建立空间直角坐标系要有说明，另外

坐标法是解决二面角问题的必会方法)】

因为∠PAD=45°，所以在等腰直角三角形APD中，DP=DA=2,

则D(0,0,0),P(0,0,2),C(0,2,0),B(2,4,0),BD=(-2,-4,0)

(7分)

设G(2,,0),则C=(2,t-2,0),由C亡.Bi=-4-4(t-

2)=0,可得t=1,

所以G(2,1,0),CC=(2,-1,0),P元=(0,2，-2)，Pi=

(2,4,-2),

第2步：分别求出平面GPC和平面PBC的法向量

设平面GPC的法向量为m=(x为1，名，)，

C元·m=2x1-为=0

则

令x1=1,则y1=2,4=2,所以m=

P元.m=2y1-2a1=0

(1,2,2),

(8分)

设平面PBC的法向量为n=(2,为，2)，

Pi.n=2x2+4y2-23=0

则

P元.m=2y2-2a2=0

令3=1，则3=1，x=-1,

所以n=(-1,1,1).

(9分)

第3步：求两个法向量夹角的余弦值的绝对值，进一步求二

面角的正弦值

,1m·nl=-1+2+2-5

所以1cos1=m1·1n=

3×√3

3

设二面角G-PC-B的平面角为0，则sin0=

V1-1e0s(m,n>T-

3

所以三面角G-PC-B的正弦值为

(12分)仁寿一中北校区2023级高三上学期9月月考试题

理科数学

本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟。

2023年9月

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每个小题仅有一个正确选项。

1．(22i)(12i)

A．24iB．24iC．62iD．62i

2．已知集合Ax(x2)(x1)0),B2,1,0,1,2，那么BA

A．2,0,1B．{1,0,2}C．2,1,0D．0,1,2

3．设数列an是等差数列，S是其前n项和，a4a614，nS735，则S等于5

A．10B．15C．20D．25

x3

4．若实数x，y满足x2y1，则zxy的最大值为

2xy2

A．1B．2C．7D．8

5．已知直线m,n及平面,,m,n，则“m//,n//”的“//”的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3

x

2,x0

6．已知函数f(x)4，则下列结论正确的是

cos(x),x0

A．函数f(x)是偶函数B．函数f(x)是增函数

C．函数f(x)是周期函数D．函数f(x)的值域为1,

111

7．已知，都为锐角，cos，cos，则cos等于

714

171171

A．B．C．D．

298298

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8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的

体积为

3

A．B．C．D．

244

0.710.8

9．设a3,b(),clog0.70.8，则a,b,c的大小关系为

3

A．abcB．cab

C．bacD．bca

y2

10．若两个正实数x,y满足4xy2xy，且不等式xmm有解，则实数m的取

4

值范围是

A．(1,2)B．(,2)(1,)

C．(2,1)D．(,1)(2,)

11．四名同学各掷骰子5次，并各自记录每次骰子出现的点数，分别统计四名同学的记录结

果，可以判断出一定没有出现点数6的是

A．平均数为3，中位数2B．中位数为3，众数为2

C．中位数为3，方差为2.8D．平均数为2，方差为2.4

12．设函数f(x)(axmex)(axlnx)（其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得

f(x)0恒成立，则实数m的取值范围是

111

A．(,)B．(,)(e2C．,)D．(,)

e2ee2

二、填空题：共4小题，每小题5分，满分20分。

153

13．(2x)展开式中x的系数为；（用数字作答）

x

14．已知向量a,b满足a(1,1),a2b(3,1)，则向量a与b的夹角为

15．已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1,3)

处的切线方程是

16．设函数f(x)2sinxcos(x)，有下列结论：

6

5

①f(x)的图象关于点(,0)中心对称；②f(x)的图象关于直线x对称；

126

53

③f(x)在[,]上单调递减；④f(x)在[,]上的最小值为

612662

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其中所有正确的结论是。

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考

题，每个试题考生必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．（12分）等比数列中，a1,a4a，153

（1）求的通项公式；

（2）记S为的前n项和，若S63，求m的值。nm

42

18．（12分）在ABC中，角A、B、C2的对边分别为a,b,c，且bc2a2bc.

3

（1）求sinA的值；

（2）若ABC的面积为2，且2sinB3sinC，求ABC的周长。

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19．（12分）如图，在四棱锥PABCD中,PD面ABCD,AB//DC,ABAD,

1

CDADAB2,PAD45，E是PA的中点，G在线段AB上，

2

且满足CGBD。

（1）求证：DE//平面PBC；

（2）求二面角GPCB的正弦值。

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20．（12分）某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物

理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目，现从该地

区已选科的学生中随机选出200人，对其选科情况进行统计，选考物理的人占60%，

选考政治的人占75%，物理和政治都选的有80人。

（1）完成选考物理和政治的人数的22列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%

的前提下，认为考生选物理与选考政治有关？

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（2）在该地区已选科的考生中随机选出3人，设这3人中物理和政治都选了的考生的人数

为X，视频率为概率，求X的分布列和数学期望。

附：参考数据和公式：

P(K2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.0010

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8280

2n(adbc)

2

K,其中nabcd

(ab)(cd)(ac)(bd)

x2

21．（12分）已知函数f(x)eax（其中e为自然对数的底数）

（1）讨论函数f(x)的导函数f(x)的单调性；

（2）设g(x)cosxxf(x)，若x0为g(x)的极小值点，求实数a的取值范围。

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（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多选，那么按所做

的第一题计分。

1

xtt

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为,(t为参数)，以坐标原点为极点，

1yt

t

以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3sincos30

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C交于A,B两点，点P的直角坐标为(0,1)，求PAPB的值.

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