时间序列分析与建模简介

第五章时间序列剖析与建模简介时间序列建模（Modellingviatimeseries）。时间序列剖析与建模是数理统计的重要分支，其主要学术贡献人是Box和Jenkins。本章简要介绍吴宪民和Pandit的工作，仅要求一般认识目前时间序列剖析与建模的一些主要结果。参照书：“时间序列及系统剖析与应用（美）吴宪民，机械工业第一版社（1988）TP13/66。前言依据对系统观察得出的依据时间次序摆列的数据，经过曲线拟合和参数预计或许谱剖析，成立数学模型的理论与方法，理论基础是数理统计。有时域和频域两类建模方法，这里归纳介绍时域方法，即鉴于曲线拟合与参数预计（如最小二乘法）的方法。常用于经济系统建模（如市场展望、经济规划）、气象与水文预告、环境与地震信号办理和天文等学科的信号办理等等。5—1ARMA模型剖析一、模型类把拥有有关性的观察数据构成的时间序列{xk}视为以正态同散布白噪声序列{ak}为输入的动向系统的输出。用差分模型ARMA(n,m)为(z-1)xk=(z-1)ak式（5-1-1）此中：(z-1)=1-1z-1--nz-n(z-1)=1-1z-1--mz-m失散传函式（5-1-2）为与参照书符号一致，以下用B表示时间后移算子即：Bxk=xk-1B即z-1，B2即z-2(B)=0的根为系统的极点，若所有落在单位园内则系统稳固；(B)=0的根为系统的零点，若所有在单位园内则系统逆稳固。二、对于格林函数和时间序列的稳固性1．格林函数Gi格林函数Gi用以把xt表示成at及at既往值的线性组合。xtGjatjj0式（5-1-3）GI能够由下式用长除法求得：例1．AR(1):xt-1xt-1=atj（显示）即：Gj=1例2．ARMA(1,1):xt-1xt-1=at-1atG0=1;Gj=(1-1)1j-1,j1（显示）例3．ARMA(2,1)(1-1B-2B2)xt=(at-1B)at得出：G0=1G1=0G0-1G2=1G1+2G0.....Gj=1Gj-1+2Gj-2（j2）Gj为知足方程(1-1B-2B2)Gj=0的解，称为隐式表达式。该结论可推行到ARMA(n,m)模型。2．格林函数与系统稳固性当j时：Gj有界，则系统稳固；Gj衰减，则系统渐进稳固；Gj发散，则系统不稳固。j例：AR(1):Gj=1当<1时，Gj衰减，渐进稳固；当=1时，Gj=1j=1，有界，则系统稳固；当>1时，Gj发散，不稳固。例：ARMA(2,1)xt11Bat11B2B)at11B2B2(11B)(11和2和为特点方程的根，有1+2=1和12=2当1<1且2<1时，ARMA(2,1)渐进稳固；当1=1且2<1或1<1且2=1时，ARMA(2,1)稳固；当1=2且或1=（两根同号）时，不稳固。由此得出ARMA(2,×)2的稳固域以下列图所示。ARMA(2,m)的稳固域三、逆函数与逆稳固性逆函数Ij表示xt的既往值对目前值的影响，与格林函数Gj表示既往的at值对xt的影响正相反。定义：即：或：at=(1-I1B-I2B2-)xt(B)GjBj(B)j0at格林函数xtxt逆函数at系统逆稳固的条件是(B)的根<1（落在单位园内）。合理的模型不单要求是稳固的，也要求是逆稳固的，因为假如>1，即意味着过时愈久的xt的老数据对xt的此刻值影响愈大，这明显是不合理的。自协方差函数与偏自有关函数及其截尾性(略)§5—2时间序列建模及其应用一、对于吴宪民andPandit的建模策略简介ARMA(n,m)模型,当n和m设定后,可由非线心、非线性最小二乘法预计参数,并计算出残差平方总和。设定不一样的n和m值，用F查验比较，确立合理的n、m值。穷举法（最笨的建模策略）：高阶模型要做好多次搜寻，计算量大。吴宪民—Pandit建模策略目的是减少建模的搜寻次数。策略可归纳为：10.依据ARMA(2n,2n-1)拟合模型，即当nn+1时，模型增添2阶，原因是过程的基点常常是成对的。20.检查ARMA(2n,2n-1)模型的高阶项参数2n和2n-1的绝对值能否很小，它们的置信区间能否包含零在内？假如，则进一步拟合降落一阶后的模型ARMA(2n-1,2n-2)，并用F查验检查。30.探究进一步降低MA的阶次的可能性，即设ARMA(2n-1,m)，m<2n–1，用F查验确立。增补：对于参数预计偏差的置信区间假设参数预计切合正态散布N（0，2）则预计值的置信区间(95%置信度)为：j1.96j参数的预计偏差协方差阵为：的置信区间为：j=1,2,二、时间序列建模应用举例例1.太阳黑子年均数,由1749-1924年合计176个观察数据。拟合ARMA2，1）模型，F查验ARMA（4，3）较前者没有明显改良。ARMA（2，1）模型预计结果为：参数预计95%置信区间1=1.42(1.26~1.58)2=-0.72(-0.86~-0.58)1=0.15(-0.07~0.37)因为1的值较小，并且置信区间包含零在内，因此进一步实验降为AR（2）模型。预计结果：参数预计95%置信区间1=1.43(1.23~1.45)2=-0.65(-0.76~-0.54)F查验表示ARMA（2，1）模型较之AR（2）模型并无明显改良，并且2的置信区间不包含零，因此AR（2）模型适合。例2．IBM股票每日值（61.5.1~—Pandit建模策略，得出ARMA（6，5）模型。例3．航空企业月销售额（49.1~60.12）建模结果-ARMA(13,13)一、趋向项和季节性1．恒定趋向即总的趋向保持在同一水平，均值0。引入算子，定义为：=（1-B），即xt=xt-xt-1能够除去恒定趋向。比如IBM股票模型用xt=（1-1B）at更加适合。有恒定趋向的模型有一个极点的绝对值靠近为1。2．线性趋向总趋向依据线性规律增减，即模型有两个极点的绝对值靠近为1的状况。用算子=(1–B)2能够除去线性趋向，比如：2xt=（1-1B）at多项式趋向有多个极点的绝对值靠近于1,引入算子=(1–B)3比如：3xt=（1-1B-2B2）at季节性有的时间序列依据必定的周期颠簸,比如月均匀温度是依据12个月的周期颠簸的，每小时用电量依据24小时的周期变化，称为季节性。为除去季节性的影响，引入算子：