考研数学二常微分方程

考研数学二常微分方程1.【单项选择题】有解y=y(x)≠0且以T为周期的A.必要非充分条件．B.充分非必要条件．C.充分且必要条件．D.既不充分也不必要条件．正确答案：C参考解析：

2.【单项选择题】A.与解y(x)的初值y(0)，(0)有关，与b，c无关．B.与解y(x)的初值y(0)，(0)及b，c均无关．C.与解y(x)的初值y(0)，(0)及c无关，只与b有关．D.与解y(x)的初值y(0)，(0)及b无关，只与c有关．正确答案：B参考解析：3.【单项选择题】已知y*=e-2x+(x2+x)ex是二阶常系数线性非齐次微分方程y''+ay'+by=(cx+d)ex的一个解，则方程中的系数a与b以及非齐次项中的常数c和d分别是A.a=1，b=-2，c=6，d=2．B.a=1，b=2，c=6，d=-2．C.a=1，b=-2，c=-6，d=2．D.a=1，b=-2，c=6，d=-2．正确答案：A参考解析：由二阶线性微分方程解的性质与结构知，相应的齐次方程y''+ay'+by=0有两个线性无关的解：y1=e-2x，y2=ex，于是相应的特征根是λ1=-2，λ2=1，特征方程是(λ+2)(λ-1)=0，即λ2+λ-2=0。故a=1，b=-2，y*=x2ex是方程y''+y'-2y=(cx+d)ex的解，y*'=(x2+2x)ex，y*''=(x2+4x+2)ex，代入得y*''+y*'-2y*=(6x+2)ex=(cx+d)ex可推出c=6，d=2A正确。4.【单项选择题】已知曲线y=y(x)经过原点，且在原点的切线平行于直线2x-y-5=0，而y(x)满足微分方程-6y'+9y=e3x，则此曲线的方程为A.y=sin2x．B.C.D.y=(x2cosx+sin2x)e3x．正确答案：C参考解析：5.【单项选择题】设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y''+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为().A.C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B.C1[φ1(x)-φ2(x)]+C2φ3(x)C.C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]D.C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1正确答案：D参考解析：因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1(x)-φ3(x)，φ2(x)-φ3(x)为方程y''+a1(x)y'+a2(x)y=0的两个线性无关解，于是方程y''+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的通解为C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ3(x)，即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1，D正确。6.【单项选择题】若y=(x+1)e-x是线性微分方程y"+ay'+by=c(x+1)ex的解，则(  )．A.a=-2，b=1，c=0B.a=-2，b=1，c=1C.a=2，b=1，c=0D.a=2，b=1，c=-1正确答案：C参考解析：由线性微分方程的解的结构知，y=(x+1)e-x应为对应的齐次线性微分方程的解，所以c=0．将y=(x+1)e-x代入方程并整理，得(1-a+b)x+(b-1)=0．比较等式两端对应的系数，得1-a+b=0，b-1=0，解得a=2，b=1．故选(C)．7.【单项选择题】设y'+P(x)y=0的一个特解为y=cos2x，则该方程满足y(0)=2的特解为（）．A.2cosxB.2cos2xC.cos2xD.cos2x+1正确答案：B参考解析：

8.【单项选择题】A.ae-x+bx+cB.axe-x+x(bx+c)C.axe-x+bx+cD.aex+x(bx+c)正确答案：A参考解析：

9.【单项选择题】设y1(x)，y2(x)是y'+P(x)y=0的两个不同特解，其中P(x)在(-∞，+∞)内连续，且P(x)不恒为0，则下列结论中错误的是（）．A.y1(x)-y2(x)=常数B.C[y1(x)-y2(x)]是方程的通解C.y1(x)-y2(x)在任一点不为0D.正确答案：A参考解析：10.【填空题】设y=(C1+x)ex+C2e-x是y"+ay'+by=gecx的通解，则常数a，b，c，g分别是_____，______，______，______.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：0，-1，1，2【解析】1与-1是两个特征根，故特征方程为r2-1=0，原方程为y''-y=gecx，将非齐次方程的一个解y=xex代入，比较两边系数，可求得c=1，g=2，从而知a，b，c，g分别为0，-1，1，2。11.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

先求出一阶线性微分方程的解，用积分因子法，方程两边同乘得

12.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

13.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

14.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

15.【填空题】是_______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】由反函数的导数公式知，16.【填空题】方程y”-3y'+2y=10e-xsinx满足当x→+∞时，y(x)→0的特解为_______.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：17.【填空题】方程(1-x2)y''-xy'=0满足y(0)=0，y'(0)=1的特解为_______.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：y=arcsinx(-1<x<1)．

18.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】原方程不是可分离变量方程，不是线性微分方程，也不是齐次微分方程，需要变形19.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：y2=C(x+1)-(x+1)ln|x+1|-1(C为任意常数)．解20.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

21.【填空题】微分方程y''+y=x+cosx的通解为_______.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

22.【填空题】微分方程y''-y=sin2x的通解为_______.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】23.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】24.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

25.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：26.【解答题】求z的表达式．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

27.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

28.【解答题】设二阶常系数非齐次线性微分方程请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：方程的通解为y=C1y1(x)+C2y2(x)+y*(x)，①29.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

30.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

31.【解答题】求y=y(x)．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

32.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：已知方程两边同时对x求导，得f'(x)=f(1-x)，①

33.【解答题】设y=y(x)是向上凸的连续曲线，其上任一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：由已知，y''<0，于是曲率为34.【解答题】(Ⅰ)(Ⅱ)请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(Ⅰ)(Ⅱ)该方程的通解为35.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：36.【解答题】一架质量为4．5吨的歼击机以600km／h的航速开始着陆，在减速伞的作用下滑跑500m后速度减为100km／h，设减速伞的阻力与飞机的速度成正比，忽略飞机所受的其他外力，求减速伞的阻力系数．若保障飞机安全着陆，跑道长度至少应为多少?请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

37.【解答题】求微分方程(1-x2)y"-xy'=0满足初始条件y(0)=0，y'(0)=1的特解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：38.【解答题】的特解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：39.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：40.【解答题】切线的倾斜角，且该曲