2023届高考数学二轮复习大题专讲专练第47讲洛必达法则解高考导数压轴题含解析

第47讲洛必达法则解高考导数压轴题我们在前面的学习过程中,应该能体会到参变分离对于解决不等式恒成立问题的重要性和快捷性,但有时候我们明明知道了函数的单调性,知道了函数会大于或者小于某一个值(这个值被称为确界),但就是取不到,这个时候就需要用到极限来计算,在求函数的极限时,常会遇到两个函数都是无穷小或都是无穷大时,求它们比值的极限,此时极限可能存在,也可能不存在.通常把这种极限叫作未定式,并分别简称为型或型.

例如,就是型的未定式而极限就是型的未定式,对于未定式的极限,我们该如何求呢?

计算未定式的极限往往需要经过适当的变形,转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算.这种变形没有一般方法,需视具体问题而定,属于特定的方法.本节将用导数作为工具,给出计算未定式极限的一般方法,即洛必达法则,在此之前我们需要明白“确界”的概念.

确界

如果分离参数后相应的函数不存在最值,为了能够利用分离参数思想【解析】决含参不等式恒成立的问题,我们利用如下的函数确界的概念:

函数的上确界为,记作的下确界为,记作.于是,有如下结论:

(1)若无最大值,而有上确界,这时要使恒成立,只需.

(2)若无最小值,而有下确界,这时要使恒成立,只需.

确界通俗地说就是,知道函数不会超过某个值(这个值其实就是确界),但就是在定义域内取不到这个值,举个【例】子:

在恒成立,求的取值范围.取不到1,但为单调递增,,即2就是的下确界,于是我们可以得到.

可以简单地理解为确界就是函数取不到的最值,需要用极限来逼近,下面举例子来说明.

【例1】设函数,时,,求的取值范围.

分析:由对所有的成立,可得

(1)当时,.

(2)当时,.

设,把问题转化为求的最小值或下确界.

则.

又的二阶导数的三阶导数,是增函数..增函数..是增函数.,从而,于是在上单调递增,故无最小值.

此时,由于无意义,分析可知是有下确界的,运用极限表述为:,关键是这个极限值或者说确界如何求出呢?这就是本章的重点:洛必达法则.

由洛必达法则即可得.

故时,,因而,综上知的取值范围为.

那什么是洛必达法则呢?

洛必达法则

(一)型不定式

定理1设函数满足下列条件:

(1).

(2)与在的某一去心邻域内可导,且.

(3)存在(或为无穷大),则.

【例1】计算极限.

【解析】该极限属于型不定式,于是由洛必达法则得

(二)型不定式

定理2设函数满足下列条件：

(1).

(2)与在的某一去心邻域内可导,且.

(3)存在(或为无穷大),

则.

【例2】计算极限【解析】所求问题是型不定式,连续次实行洛必达法则,有.

使用洛必达法则时必须注意以下几点:

(1)洛必达法则只能适用于型和型的不定式,其他的不定式须先化简变形成型或型才能运用该法则.对于型与型的未定式,可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式.对于型,型与型的未定式,可通过取对数等手段化为型或型未定式.

(2)只要条件具备,就可以连续应用洛必达法则.

(3)洛必达法则的条件是充分的,但不必要,因此,在该法则失效时并不能断定原极限不存在.

洛必达法则求参数取值范围

洛必达法则求参数取值范围的一般步骤和前面参变分离的解题步骤一致,只不过是最后无法直接求解最值,只能用洛必达法则求解确界.

【例1】已知函数,当时,,求的取值范围.【解析】证明第一步:分类讨论,参变分离.当时,,即.

①当时,.

②当时,等价于,即.

第二步:构造函数,求导,并把分子提出,再次构造函数,求导并研究出原函数单调性.

记,则.

记,

则,

因此在上单调递增,且,，在上单调递增.

第三步:利用洛必达法则求出函数下

确界.

即当时,.,即有.

综上所述,当时,成立.

【例2】设函数,设当时,,求的取值范围.

【解析】证明第一步:必要性讨论,缩小参数范围.

由题设,此时.

①当.时,若,则,不成立.

②当时,当时,,即..若,则.

第二步:不等式等价变化并参变分离.

若,则等价于,即.

第三步:构造函数,并因式分解,把部分因式提出,单独构造函数,并多次求导,结合特殊值最终确定原函数的单调性.

记,则记,则.因此,在上单调递增,且,即在上单调递增,且.因此,∴在上单调递增.第四步:利用洛必达法则求出函数下确界.,即当时,,即有,综上所述,的取值范围是.【例3】若不等式对于恒成立,求的取值范围。【解析】第一步:参变分离.当时,原不等式等价于第二步:构造函数,求导,并提取分子单独构造,多次求导结合特殊值得出原函数单调性.记,则记,则,,,∴在上单调递减,且∴在上单调递减,且.因此在上单调递减,且故,因此在上单调递减.第三步:利用洛必达法则可得函数上确界.,即当时,,即有.故时,不等式对于恒成,立.【例4】已知