2023届高考数学二轮复习大题专讲专练第42讲系数放缩含解析

第42讲系数放缩若已知，其中且是的系数，要证明恒成立，只需要证明即可，也就是把作为的系数来实现放缩，这种放缩方式，称之为系数放缩.【例1】证明：.【解析】证明：所证不等式等价于.由三角不等式可得，只需证明即可.设.在上单调递减，在上单调递增.，即由三角不等式可得.，原不等式得证.【例2】已知函数，设，其中为的导函数.证明:对.【解析】证明：.所证不等式等价于:.设，则.令.在单调递增，在单调递减..若要证，只需证.设，令解得.在单调递增...，即原不等式得证.【例3】已知函数.若，求证:.【解析】证明：要证，即证.记，则.令得.当时，单调递增.当时，单调递减.令，则，在上单调递减.则，即恒成立.恒成立.已证不等式放缩这一类题目无法直接用常用的不等式进行放缩，但其题目特征也比较明显，通常第一小问会产生一个不等式，它可用于后面小问的放缩，而且最后一小问的不等式证明一般会比较麻烦.【例1】已知函数，.(1)当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围.(2)当时，证明:【解析】(1)由得恒成立.令，则，在上单调递减，在上单调递增..，即，故的取值范围是.(2)证明由（1）题知，时，有，①要证，可证，只需证.易证(证明略)，.②要证，可证.易证(证明略)，由于，.综上所述，当时，.【例2】已知函数.(1)讨论函数的单调性.（2）证明:对任意恒成立.【解析】(1)，定义域为，.，函数在上单调递增，且.在上，.在上，.函数在上单调递减，在上单调递增.(2)证明由(1)题可知，}，即.要证，只需证，即证.令，则.当时，单调递增.当时单调递减.故，即.对任意恒成立.【例3】已知（）.(1)讨论函数的单调性；(2)设，对任意恒成立，求整数的最大值；(3)求证:当时，.【解析】(1)，①若，则，函数在上为增函数.②若，由可得.由可得.因此在上为增函数，在上为减函数.(2)若，则，不满足题意.若，则在上为增函数，在上为减函数.设，则.，在上单调递增.且.故存在唯一，使得.当时，.当时，.故，解得，又，.综上，的最大值为.(3)证明由(2)题可知，时，...记，则.记，则.由可得.；函数在上单调递减，在上单调递增...，函数在上单调递增.即凹凸性切线放缩如果要证明的两个函数一个是凹函数(向下凸出的函数)，一个是凸函数（向上凸出的函数)，则证明时，去找它们的共切线，只需要证明即可，这个证明过程称为凹凸性切线放缩.【例1】已知函数，证明:.【解析】证明：将原式变形为，两个函数有公共点，函数在的切线为.在的切线也是，两个曲线一个上凸，一个下凸，.和图像，如下图所示.【例2】已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求证:当时，.【解析】(1)，由题设得.曲线在处的切线方程为，即.(2)证明令，则，当时，.当时，.函数在上单调递减，在上单调递增，，函数在上单调递增，且为凹函数.由于曲线在处的切线方程为，可猜测函数的图像恒在切线的上方.先证明当时，.设，则.当时，.当时，，在上单调递减，在上单调递增.由..存在，使得，当时，0.当时，.在上单调递