2023届高考数学二轮复习大题专讲专练第27讲切点弦结论含解析

第27讲切点弦结论平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫作曲线的切点弦方程，切点弦方程是解析几何中的热点问题，而切线往往和导函数相关，近几年高考数学的趋势也是把解析几何和导函数相结合作为压轴题，这类题目综合性强，难度一般较大，圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：(1)导数法：将圆锥曲线方程化为函数y＝f(x)，利用导数法求出函数y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程，特别是焦点在y轴上的抛物线常用此法求切线．(2)判别式法：根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥曲线方程，化为关于x(或y)的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件：判别式△＝0，可解出切线方程．圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法．下面介绍一些切线和切点弦相关的结论，来帮助快速解题．一、圆相关的切线结论结论一：点在圆上，过点作圆的切线方程为．结论二：点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．结论三：点在圆内，过点作圆的弦(不过圆心)，分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．证明：由上述结论二可得过的圆的切点弦的直线方程为．又弦过点，即，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．二、一般圆相关的结论结论四：点在圆上，过点作圆的切线方程为．结论五：点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．结论六：点在圆内，过点作圆的弦(不过圆心)，分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为．三、椭圆相关结论结论七：点在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为．结论八：点在椭圆外，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．结论九：点在椭圆内，过点作椭圆的弦(不过椭圆中心)，分别过作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．证明：由上述结论八可得过的椭圆的切点弦的直线方程为，又弦过点，即，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．四、双曲线相关结论结论十：点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．结论十一：点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．结论十二：点在双曲线内，过点作双曲线的弦(不过双曲线中心)，分别过作双曲线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．五、抛物线相关结论结论十三：点在抛物线上，过点作抛物线的切线方程为．结论十四：点在抛物线外，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．结论十五：点在抛物线内，过点作抛物线的弦，分别过作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．切线方程问题【例1】若点为曲线1上任意一点．证明：直线与曲线恒有且只有一个公共点．【解析】证明：(1)当时，由可得．①当时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点．②当时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点．(2)当时得，代入，消去整理得．①由点为曲线上一点，故，即，于是方程①可以化简为，解得．将代入得．说明直线与曲线有且只有一个交点．综上，不论点在何位置，直线与曲线恒有且只有一个交点，交点即．【例2】已知抛物线y2＝x的焦点为F，为抛物线上一点．证明：过点的切线万程为：．【解析】证明：由已知，切线的斜率存在且不等于0．设过点的切线方程为，则联立方程，消去化简可得．∵直线与抛物线相切，则，得，而点为抛物线上点，则，代入可得，∴．，即．用切点弦结论解决定点、定值问题【例1】已知椭圆，点为直线上的动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点．【解析】证明：设切点为，点．由切线方程结论得直线方程为，直线方程为．通过点，∴满足方程：．∴直线恒过点．【例2】过椭圆上异于其顶点的任一点．作圆的切线，切点分别为不在坐标轴上)，若直线的横纵截距分别为，求证：为定值．【解析】设点，点，点，由是切点可得．∵两点唯一确定一条直线，∴直线，即．由截距式可知，．∵在椭圆上，∴．，即为定值．用切点弦结论解决最值问题【例1】已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，过直线上一点作抛物线的两条切线，切点为，求与(O为抛物线的顶点)面积之和的最小值．【解析】设点，点．由切点弦结论可知切线的方程为的方程为．设均过，∴．故的方程为，由此可得恒过定点．联立得，．设，则，∴，当且仅当，即时，等号成立．∴的最小值为3．【例2】如下图所示，过圆上任意一点，作抛物线的两条切线，与抛物线相切于点，与轴分别交于点，求四边形面积的最大值．【解析】设点，点，点．切线的方程为，切线的方程为．点在两切线上，从而满足，因此切点弦的方程为．直线与抛物线进行方程联立并化简得，从而，且．点到直线的距离为，．，当时，，，当且仅当时，两个等号同时成立，∴四边形的最大值为．用切点弦结论解决范围问题【例1】经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，求面积的取值范围．【解析】设点，点，则直线的方程为，直线的方程为．∵在直线上，∴．∴直线的方程为．由，结合，利用，同时消得，∴，∴．又∵点到直线的距离．，又，∴记，∴．【例2】以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点，作圆的两条切线，设切点分别为，到直线