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文档简介
第22讲定点、定直线问题圆锥曲线的定点、定直线问题就是曲线或直线过定点,或者动点在定直线上,其核心思路就是消参,消参的手段主要用的有两种:①等式代是消参(前面讲过,就是找到两个参数之间的关系,带是从而消掉一个参数).②参数无关性消参:和参数相关的因式为时,和参数的取值没什么关系,比如,只要因式,就和参数没什么关系了,或者说参数不起作用.直线过定点直线过定点问题:题设为某直线恒过某个定点.目标:建立出只含斜率一个参数的直线方程,形如,则会恒过这个点,也就是当时,与斜率参数没有什么关系了,这个我把它称之为参数无关性.一般解题步骤:(1)斜截式设直线方程:,此时引入了两个参数,需要消掉一个.(2)找关系:找到和的关系:,等式带入消参,消掉.(3)参数无关找定点:找到和没有关系的点.【例1】若点是抛物线上的两个动点,为坐标原点,且,求证:直线恒过定点.【解析】证明由题意可知直线的斜率存在,设直线方程:,,.将直线的方程代入中,得.∴,,,∴直线恒过定点.【例2】过点作相互垂直的两条直线,直线与曲线相交于,两点,直线与曲线相交于,两点,线段的中点分别为,求证:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.【解析】证明由题意可知,直线的斜率均存在.设直线的方程为,,.联立,消去得,,.∵点是线段的中点,∴.同理,将换成得,当,即时,∴直线的方程为.,即,∴直线恒过定点.当时,直线的方程为,也过点,∴直线恒过定点.【例】3为椭圆上一点,过点作互相垂直的两条直线分别又交椭圆于点,求证:直线过定点,并求出定点的坐标.【解析】证明(1)当直线的斜率存在时,设直线方程为,与椭圆联立,消去得.∴.设,,则,.∵,∴,,,∴.解得或.若,则直线的方程为,过点,不符题意.若,则直线的方程为,号过点.(2)当直线的斜率不存在时,设,,联立:,解得或(舍).此时直线也过点.综上,直线恒过定点.动点在定直线上动点在定直线上:题设为某动点在某定直线.目标:需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数,从而建立一个无参的直线方程,此时会分为三种情况:(1),即动点恒过直线.(2),即动点恒过直线.(3),即动点恒过直线.【例1】如下图所示,过点任作一动直线交椭圆于两点,记.若在线段上取一点,使得,试判断当直线运动时,点是否在某一定直线上运动?若在,请求出该定直线.若不在,请说明理由.【解析】由已知,直线的斜率必存在,设其直线方程为,,.联立,消去得,则,,.由得,故.设点的坐标为,则由得.解得.又,,从而,故点在定直线上.【例2】设动直线与椭圆:有且只有一个公共点,过椭圆右焦点作的垂线与直线交于点,求证:点在定直线上,求出定直线的方程.【解析】证明∵直线与椭圆相切,联立得.∴.∴.切点坐标,,即,∴,.∴方程为.联立,∴,解得.∴在这条定直线上.【例3】如下图所示,椭圆的左、右顶点分别为点,上、下顶点分别为点,右焦点为点,,离心率为.(1)求椭圆的标准方程.(2)过点作不与轴重合的直线与椭圆交于点,直线与直线交于点,试讨论点是否在某条定直线上,若在,求出该直线方程.若不在,请说明理由.【解析】(1)由题意可得,解得,,∴,因此,椭圆的标准方程为.(2)由题意可知直线的斜率存在,设直线的方程为,设点,.联立,消去并整理得,,由韦达定理得,.易知点,,直线的斜率为,直线的方程为,直线的斜率为,直线的方程为,由,可得,其中,∴,解得.因此,点在定直线上.圆过定点圆过定点问题:题设以线段为直径的圆,恒过定点.(1)向量为零法:利用,整体代换消参之后求出点坐标的确定值.(2)参数无关法:设出的中点,求出长度,令,建立出圆的方程,形如,利用参数无关性,可知圆恒过.方法一:向量为零法【例1】已知圆的切线(直线的斜率存在且不为零)与椭圆相交于两点.证明:以为直径的圆经过原点.【解析】证明∵直线的斜率存在且不为零,故设直线的方程为.联立,消去得.设,,则,..∴.①∵直线和圆相切,∴圆心到直线的距离,整理得.②将②式代入①式得,显然以为直径的圆经过原点.【例2】过点任作一直线与曲线交于两点,直线与直线分别交于点为坐标原点,求证:以线段为直径的圆经过点.【解析】证明设直线的方程为,,,则直线方程:,直线方程:.联立,得.同理得,∴,..联立得,∴,则.因此,以线段为直径的圆经过点.【例3】过点且斜率为的动直线交椭圆:于两点,在轴上是否存在定点,使以为直径的圆恒过这个点?若存在,求出的坐标,若不存在,说明理由.【解析】设直线,代入得.设,,则,.若轴上存在定点满足题设,则,.,如果成立,即对成立.∴,解得.∴在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过点.方法二:参数无关法【例1】若过的直线与曲线:交于两点,直线与直线分别交于两点,试判断以为直径的圆是否经过定点.若是,求出定点坐标.若不是,请说明理由.【解析】设直线的方程为,,联立,整理得,,,,直线的方程为.同理,直线的方程为.令得,,设的中点的坐标为,则,,∴..圆的半径为.∴以为直径的圆的方程为.展开可得,令,可得,【解析】得或.从而以为直径的圆经过定点和.【例2】如下图所示,在平面直角坐标系中,椭圆的左顶点为,过原点的直线(与坐标轴不重合)与椭圆交于两点,直线分别与轴交于两点,试问以为直径的圆是否过定点(与的斜率无关)?请证明你的结论.
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