2023届高考数学二轮复习大题专讲专练第11讲求值问题1含解析

第11讲求值问题（1）在立体几何中,通常会涉及求角度和距离的问题.对于求角度问题,如果学过空间向量可以快速地解决这类问题,这里讲的求角度问题是按照一般的方法求解的,不涉及空间向量,所以可以把它作为一个思维拓展来学习.求体积求体积时我们需要找合理的高和底面,带入体积公式,当然有时候我们无法直接求解,需要进行一些转换,通常有四种解法:直接转化法、顶点转移法、割补法和同底缩放法.具体看下面例题,要在解题过程中慢慢总结出自己的方法.方法一:直接转化法直接转化法:证明或者找到一组线面垂直关系,选择线面垂直的线作为高,线面垂直的面作为底,带入锥体体积公式求解.【例1】如下图所示,在四棱锥中,底面为正方形,平面平面,点为的中点.(1)求证:平面.(2)求四棱锥的体积.【解析】(1)证明为的中点,,平面平面,平面平面,平面.(2),..【例2】如下图所示,在三棱锥中,平面平面为等边三角形,且,点,点分别为的中点.(1)求证:平面平面.(2)求三棱锥的体积.【解析】(1)证明：为的中点,.平面平面,平面平面,平面,平面.平面,平面平面.(2)且,点.为的中点,.又平面,.【例3】如右图所示,在四棱锥的底面四边形中,,在中,,平面平面.(1)证明:平面.(2)若为线段的中点,求三棱锥的体积.【解析】(1)证明如右图所示,取的中点,连接.在中,,则为等边三角形.点为的中点,.平面平面,平面平面平面,平面.平面.,平面.在四边形中,且四边形为平行四边形.平面.(2)由(1)题知,四边形为平行四边形.,四边形为正方形,.是边长4为等边三角形.平面到平面的距离.平面,平面平面.两点到平面的距离相等,均为.又为线段的中点,到平面的距离.由(1)题知,平面,又平面.方法二:顶点转移法顶点转移法:第一步:找线面平行或面面平行.在求锥体体积时,找到与底面平行的直线或者平面,该直线或者平面包含着顶点.第二步:顶点转移.利用线面平行或者面面平行距离相等的性质实现顶点转移,从而得到可直接求解的高线.第三步:带入体积公式.求出底面积,求出高线,代入体积公式,即可求出锥体体积.【例1】如下图所示,在六面体中,四边形是边长为4的正方形,,平面平面.求三棱锥的体积.【解析】平面平面,平面.点到平面的距离等于点到平面的距离..如下图所示,取的中点,连接.,平面平面,平面.棱锥的高.,.方法三:割补法割补法:若所求几何体的体积不容易直接求解出来,就通过切割组合的方式,先分别求出标准几何体体积,然后再通过组合切割的方式求解.【例1】如下图所示,四棱锥中,底面,点,点分别为的中点,.求三棱锥的体积.【解析】点为的中点,.又,.,,.【例2】如下图所示,已知四边形和均为平行四边形,点在平面内的射影恰好为点,以为直径的圆经过点的中点为点的中点为点,且.(1)求证:平面平面.(2)求几何体的体积。【解析】(1)证明点在平面内的射影恰好为点平面.又∵平面,∴平面平面.又∵以为直径的圆经过点点.,点为正方形.∵平面平面,∴平面.∵平面,又∵,∴.∵的中点为,∵.∵平面平面,平面.∵平面,∴平又平面.(2)连接(图略),由(1)题知,平面.又∵,∴平面.又∵,∴平面.∴.∴几何体的体积为4.【例3】如下图所示,四棱锥的侧面是正三角形,,且,点是的中点.(1)求证:平面.(2)若平面平面,且,求多面体的体积.【解析】(1)证明：如下图所示,取的中点