一元二次方程复习课(绝对经典)

第22章《一元二次方程》

复习一元二次方程一元二次方程的定义一元二次方程的解法一元二次方程的应用方程两边都是整式ax²+bx+c=0（a0）本章知识结构只含有一个未知数求知数的最高次数是2配方法求根公式法直接开平方法因式分解法二次项系数为1，而一次项系数为偶数考点透视一元二次方程的概念：1.（07兰州）下列方程中是一元二次方程的是（）A、2x＋1＝0B、y2＋x＝1C、x2＋1＝0D、C2.（08青岛）关于x的方程是一元二次方程，求m的值。一元二次方程三要素:1.一个未知数.2.含未知项的最高次数是2次.3.方程两边都是整式.二次项的系数不等于0.注意:m=-2一、一元二次方程的概念引例：判断下列方程是不是一元二次方程（1）4x-x²+=0（2）3x²-y-1=0（3）ax²+ｂx+c=0（4）x+=0注意：一元二次方程的三个要素1、已知关于x的方程（m²-1）x²+（m-1）x-2m+1=0，当m

时是一元二次方程，当m=

时是一元一次方程，当m=

时，x=0。2、若（m+2）x2+（m-2）x-2=0是关于x的一元二次方程则m

。是不是不是≠±1

≠－2-1½不是一元二次方程的一般式（a≠0）3x²-1=032-6-1402y2-6y+4=03x²-1=03202y2-6y+4=0一元二次方程一般形式二次项系数一次项系数常数项3x²=12y(y-3)=-4回顾2、若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为

。3.若x=2是方程x2+ax-8=0的解，则a=

;24、写出一个根为2，另一个根为5的一元二次方程

。1、若是关于x的一元二次方程则m

。≠－2填一填2（x-2）（x-5）=02、已知一元二次方程x2=2x的解是（）（A）0（B）2（C）0或-2（D）0或2D1、已知一元二次方程(x+1)(2x－1)=0的解是（）（A）-1（B）1/2（C）-1或-2（D）-1或1/2

D选一选用适当的方法解下列方程二、一元二次方程的解法因式分解法：1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解为两个因式的积,而右边等于0的方程;2.形如:ax2+bx=o(即常数C=0).因式分解法的一般步骤:一移-----方程的右边=0;二分-----方程的左边因式分解;三化-----方程化为两个一元一次方程;四解-----写出方程两个解;直接开平方法：1.用开平方法的条件是:缺少一次项的一元二次方程，用开平方法比较方便;2.形如:ax2+c=o(即没有一次项).

a(x+m)2=k配方法：用配方法的条件是:适应于任何一个一元二次方程，但是在没有特别要求的情况下，除了形如x2+2kx+c=0用配方法外，一般不用;(即二次项系数为1，一次项系数是偶数。）配方法的一般步骤:二移----把常数项移到方程的右边;三配----把方程的左边配成一个完全平方式;四开----利用开平方法求出原方程的两个解.★一除、二移、三配、四开、五解.一除----把二次项系数化为1;公式法：用公式法的条件是:适应于任何一个一元二次方程，先将方程化为一般形式，再求出b2-4ac的值，b2-4ac≥0则方程有实数根，b2-4ac<0则方程无实数根;方程根的情况与b2-4ac的值的关系:当b2-4ac>0

时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0

时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac<0

时，方程没有实数根.

公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）选择适当的方法解下列方程（5）x（2x-7）=2x（6）x²+4x=3（8）2x²-3x-1=0(9)(x-1)(x+1)=x(10)x(2x+5)=2(2x+5)(11)(2x－1)2=4(x+3)2(12)3(x-2)2－9=0（7）x²-5x=-4已知方程x2+kx=-3

的一个根是-1，则k=

,另一根为______4x=-36若a为方程的解，则的值为9、请写出一个一元二次方程，它的根为-1和211-1(x+1)(x-2)=0将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖线记成

一元二次方程根的判别式

两不相等实根两相等实根无实根一元二次方程一元二次方程根的判式是:判别式的情况根的情况定理与逆定理两个不相等实根

两个相等实根

无实根(无解)三、（1）（3）（2）解：（1）=

判别式的应用:所以，原方程有两个不相等的实根。说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出△，然后对△进行计算，使△的符号明朗化，进而说明△的符号情况，得出结论。1、不解方程，判别方程的根的情况

已知m为非负整数，且关于x的一元二次方程：有两个实数根，求m的值。说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意二次项系数不能为0，还要注意题目中待定字母的取值范围.试一试解得：解：∵方程有两个实数根∴∵m为非负数∴m=0或m=1且m为非负整数四、一元二次方程根与系数的关系

对任意的一元二次方程

，

若它的两根为，则

1.3.2.4.5.口答下列方程的两根之和与两根之积。无1.已知一元二次方程的两根分别为，则：2.已知一元二次方程的两根分别为，则：3.已知一元二次方程的的一个根为1，则方程的另一根为___，m=___：4.已知一元二次方程的两根分别为-2和1，则：p=__;q=__2-1-2261-2

1.已知方程

的一个根是2，求它的另一个根及k的值.

解：设方程

的两个根分别是、，其中。

2、若、是一元二次方程两个根的；求下列格式的值：解：由题意得，求关于两

根的对称式

或代数式

的值2、若、是一元二次方程两个根的；求下列格式的值：解：由题意得，求关于两

根的对称式

或代数式

的值2、若、是一元二次方程两个根的；求下列格式的值：解：由题意得，求关于两

根的对称式

或代数式

的值求关于两根的对称式或代数式的值*求未知系数的取值范围*例题:已知关于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0.(1)求证:无论k取何值时,方程总有两不相等的实数根.(2)当k取何值时,方程的一根大于1,另一根小于1?分析:(1)列出△的代数式,证其恒大于零(2)(x1-1)(x2-1)<0解:(1)∵△=(m+7)2-4(m-3)=(m+5)2+36>0∴方程总有两个不相等的实数根(2)由题意得:解得:当时方程的一根大于1,另一根小于19.(2010·成都中考)设x1