数学奥林匹克初中训练题

数学奥林匹克初中训练题第一试选择题(7,42分abc≠0ax2+bx+c0bx2+cx+a0cx2+ax

半径,R是其外接圆半径.AI△ABC的外接圆于点P,则IA·IP=( ).(A)2Rr (B)2R2r (C)2Rr2 (D)2R2r2填空题(7,28分若x 4b=0有公共根.则bc+ca+ab= ) b、已知正整数ab(a>b)使得a+b、a-bab a四个数的和为243.则具有这样b、性质的数对(a,b) )

x4-6x3-2x2+18x+x3-7x2+5x+ 一个自然数减去69后是一个完全平数.则这个自然数是.x1x2y1y2x2+25x2=10(A)有且只有1 (B)有且只有2 (C,1对(D1是二次函y=ax2+bx+c的图像的一部分M=a+b.M的取值范围是().-1<M 0<M<-1<M abc,

x2y1-x1y2=25x1y1+25x2y2= 55 则y2+25y2 在△ABC中,CD是高,CE是角平分线,且CD=12cm,AC=15cm,BC=20cm.则CE= 第二试1≤x2-3x+4 x2+3x+s=a+b+c,t=ab+bc+ca. (A)t<s2≤2 (B)2t≤s2<3(C)3t<s2≤4 (D)3t≤s2<4abcd

二、25分)2已知DABC的边BC上的任意一点 I1、I2ac-b bd-c a-2b+c b-2c+da-bc-(b-c)

= )

的内心,I1I′分别为这两个′ (B)±1(C IABC,r

(与边BC相切)的 ,P分别为△ABC的内切圆和旁切圆与边BC的切点.证明:PI.

s2=a2+b2+c22ab+bc+=a2+b2+c2+2ta2+b2+c2-ab-bc-ca≥0

,

,⋯,

故a2+b2+c2≥t x1

a2<ab+acb2<bc+bac2<ca+cb,2x<⋯<x,并满足 + +⋯+2

a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)=2t 2008.p

,

,⋯,

的值

t≤a2+b2+c22t3t≤s2<4t

第一 ac- bd-a-2b+c=b-2c+d=k设三个一元二次方程的公共根为(a+b+c)(x2+x+1)=

将x0

ac-k(a+c)=b2-2bkbd-k(b+d)=c2-2ck故(a-k)(c-k)=b-k2x2+

+1=

2 +3

>0

(b-k)(d-k)=(c-k)2

a-k)(d-k)=(b-k)(c-k)所以,a+b+c= 化简得k ad- 故a2+b2+ a-b-c+

ac-b2+bd-c2, k

a-b-c+a+b=-ba+b

a+-c+a

b+ a+b ad-bc=ac-b2+bd-c2=- b+c+c+a 即(a-bc-d)=b-c2

故a

) bc-d=

(b-c)(a+b)+(a-b)+ab+a=243b即2a+ab+a= bab243,ab的倍数.不妨设a=bk,代入式①得2bk+b2k+k=配方得b12=243=9

3ABC的D,联结IBID易知∠PQB==∠PAC= k=27,b=2,a=54;k=3,b=8,a=,符合条件的数对只有(542)(248a<0,b2-4ac>0,-b>02a-b+c=0,c=b=a1,-1<a0,0<b,-1<M

PQ=PB, IBC∠IBA,PBI=∠PIBPB=IPIA·IP2.-3因为x =4 ,则x2-8x+13=34x4-6x3-2x218x=(x2+2x+1)(x2-8x+13)-10=-10x3-7x2+5x+=(x+1)(x2-8x+13)+2= 故BE=BC=20=4,=-10=-22.2x-69=m2x+20=n2

BE4cmAE3DE=AD+AE12(cm故CE CD2+DE2 122+122=122(cm)第二试x2-3x+mn均为自然数n2-m289

x2+3x+

(n-m)(n+m)=n>m,89,,n-m=1n+m=n45x22

x23x4并化简整理得(y-1)x2+3(y+1)x+4(y-1)=0.x,因为Δ=9(y+1)2-16(y-1)2≥0即(7y-1)(y-7)(x2+ax2)(y2+ay2 1≤y =(x1y1+ax2y2)2+a(x2y1-x1y2)2a是任意实数

1≤x2-3x+4故 x2+3x+ 对于本题,取a=25,易求得y2+25y2=2 602cm7

EF,DI1DI2EI1FI2(1)如图4,若△ABCDAB上AD=9cmBD16 AB=AD+BD25(cm)1(15CE20CEsin45°=1×15 2CE

7602(cm)7

I1DI2

1(∠ADB+∠ADC)=2(2)如图5,△ABC,DBA的延长线上易知AD=9cmBD=16cmAB=BD-AD=7(cm)

DE=1(AD+BD-AB),CP=1(AC+BC-AB),CF=1(AC+CD-AD)2PF=CP-CF=1BC-AB-CD+AD)1

(AD+BD-AB)=2数学奥林匹克高中训练题选择题(6,36分

2.定义数列anai∈0, (i=1,2,⋯)21,AB

且a=1an-14

=为池塘边上的两对应O为池底中心(即抛物线顶点

n→+(A)4

an= )(B)

(C)4

Ctan∠CAB+tan应满足 )

3.如图2,长为1的正四面体ABCD,MN分别为ADBC的中点.MN的平面与此四积是(PE=Rt△DI1ERt△DI2FRt△I1DI2,

又由于x1<x2<⋯<xp,故2x1<2x2<⋯ <2pDI2=IE2+DE2,<2p

F2+DF2

2122+2p2008II2=I1D2+ID2 x-1 2x1(1+2x2-x1+2x3-x1+⋯+2p1)=23故I1I2=I1E2+DE2+I2F2+ x- x- x-p=(

E2+PE2)+(

F2+PF2)=

P2+

211+2P2

1+231+⋯+

,2251,,212,x13x-

x-

x-∠IDI=∠I

=

且12

1+2

1+⋯+2

1251

x-

x-

x-IIPD四点共圆

21+2

1+⋯+2

1=2501x-

x-

x-

即2

1(1+2

2+⋯+2

2)=2

x2-x11x2=x114,∠I12∠I1