2024届高三数学一轮复习-三角函数与解三角形第7练 函数y=Asin（ωx+φ）的图象及应用含答案

2024届高三数学一轮复习--三角函数与解三角形第7练函数y=Asin（ωx+φ）的图象及应用一、单选题1．（2023春·四川成都·高三统考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，其中.在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（

）A． B． C． D．2．（2023秋·高一课时练习）已知函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度得到如图所示的奇函数的图象，且的图象关于直线对称，则下列选项不正确的是（

）A．在区间上为增函数 B．C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在区间上的值域为（

）A． B．C． D．5．（2023·全国·高三专题练习）将函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），然后再将其图象向左平移单位得到图象，若函数图象关于y轴对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．若是函数的一个极值点，则的值为（

）A． B． C． D．7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于点对称B．的图象向右平移个单位后得到的图象C．在区间的最小值为D．为偶函数8．（2023·陕西·校联考三模）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为（

）A． B．2 C．3 D．二、多选题9．（2023春·云南昆明·高一校考阶段练习）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度B．所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D．向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变10．（2023春·河南南阳·高一河南省桐柏县第一高级中学校考阶段练习）函数（其中A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．的值域为B．的最小正周期为πC．D．将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数的图象11．（2023秋·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考期末）已知是的导函数，，则下列结论正确的是（

）A．将图象上所有的点向右平移个单位长度可得的图象B．与的图象关于直线对称C．与有相同的最大值D．当时，与都在区间上单调递增12．（2023春·河北·高一校联考期末）已知，函数，下列选项正确的有（

）A．若的最小正周期，则B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象C．若在区间上单调递增，则的取值范围是D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是13．（2023春·河南焦作·高二博爱县第一中学校考期末）已知函数（为正整数，）的最小正周期，将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数的说法正确的是（

）A．是函数的一个零点 B．函数的图象关于直线对称C．方程在上有三个解 D．函数在上单调递减14．（2023春·山东济南·高一济南外国语学校校考阶段练习）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则（

）A．是奇函数 B．的周期为C．的图象关于点对称 D．的单调递增区间为三、填空题15．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则.16．（2023秋·云南红河·高三开远市第一中学校校考开学考试）已知函数（，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为．17．（2023春·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考阶段练习）已知函数，将的图像向右平移个单位长度后的函数的图像，若为偶函数，则函数在上的值域为.18．（2023·全国·高一专题练习）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在区间上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为.四、解答题19．（2023·海南·校考模拟预测）已知函数的图象如图所示．将函数的图象向左平移个单位长度后得函数的图象．(1)求的解析式；(2)的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求的面积．20．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数的图象．(1)若，求函数在区间上的最大值；(2)若函数在区间上没有零点，求ω的取值范围．第7练函数y=Asin（ωx+φ）的图象及应用一、单选题1．（2023春·四川成都·高三统考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，其中.在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（

）A． B． C． D．2．（2023秋·高一课时练习）已知函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度得到如图所示的奇函数的图象，且的图象关于直线对称，则下列选项不正确的是（

）A．在区间上为增函数 B．C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在区间上的值域为（

）A． B．C． D．5．（2023·全国·高三专题练习）将函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），然后再将其图象向左平移单位得到图象，若函数图象关于y轴对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．若是函数的一个极值点，则的值为（

）A． B． C． D．7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于点对称B．的图象向右平移个单位后得到的图象C．在区间的最小值为D．为偶函数8．（2023·陕西·校联考三模）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为（

）A． B．2 C．3 D．二、多选题9．（2023春·云南昆明·高一校考阶段练习）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度B．所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D．向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变10．（2023春·河南南阳·高一河南省桐柏县第一高级中学校考阶段练习）函数（其中A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．的值域为B．的最小正周期为πC．D．将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数的图象11．（2023秋·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考期末）已知是的导函数，，则下列结论正确的是（

）A．将图象上所有的点向右平移个单位长度可得的图象B．与的图象关于直线对称C．与有相同的最大值D．当时，与都在区间上单调递增12．（2023春·河北·高一校联考期末）已知，函数，下列选项正确的有（

）A．若的最小正周期，则B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象C．若在区间上单调递增，则的取值范围是D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是13．（2023春·河南焦作·高二博爱县第一中学校考期末）已知函数（为正整数，）的最小正周期，将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数的说法正确的是（

）A．是函数的一个零点 B．函数的图象关于直线对称C．方程在上有三个解 D．函数在上单调递减14．（2023春·山东济南·高一济南外国语学校校考阶段练习）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则（

）A．是奇函数 B．的周期为C．的图象关于点对称 D．的单调递增区间为三、填空题15．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则.16．（2023秋·云南红河·高三开远市第一中学校校考开学考试）已知函数（，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为．17．（2023春·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考阶段练习）已知函数，将的图像向右平移个单位长度后的函数的图像，若为偶函数，则函数在上的值域为.18．（2023·全国·高一专题练习）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在区间上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为.四、解答题19．（2023·海南·校考模拟预测）已知函数的图象如图所示．将函数的图象向左平移个单位长度后得函数的图象．(1)求的解析式；(2)的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求的面积．20．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数的图象．(1)若，求函数在区间上的最大值；(2)若函数在区间上没有零点，求ω的取值范围．参考答案：1．B【分析】根据函数图象可知，是函数的两个零点，即可得，利用已知条件即可确定的值.【详解】根据图象可知，函数的图象是由向右平移个单位得到的；由图可知，利用整体代换可得，所以，若为已知，则可求得.故选：B2．A【分析】首先将函数化简为“一角一函数”的形式，根据三角函数图象的平移变换求出函数的解析式，然后利用函数图象的对称性建立的关系式，求其最小值．【详解】，所以，由题意可得，为偶函数，所以，解得，又，所以的最小值为．故选：A.3．D【分析】根据三角函数平移变换原则可知；根据图象、的对称轴和对称中心可确定最小正周期，从而得到；由为奇函数可知，由此可得，从而确定的解析式；利用代入检验法可确定A正确；根据特殊角三角函数值可知B正确；结合的单调性可判断出CD正误.【详解】由题意知：，由图象可知：，则与是相邻的对称轴和对称中心，，即，为奇函数，，解得：，又，，；对于A，当时，，则在上为增函数，A正确；对于B，，B正确；对于C，，，在上单调递减，，，C正确；对于D，，，在上单调递减，，，，即，D错误.故选：D.4．C【分析】根据最小正周期为可得，再根据三角函数图象平移的性质可得，结合三角函数图象的性质即可得值域【详解】因为的最小正周期为，所以．将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，当，，所以的值域为．故选：C5．C【分析】依题意由诱导公式知，根据图象变换规律可得，再利用三角函数的性质即可得出结果.【详解】,由，横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）得到，将其图象向左平移单位得到图象，而图象关于轴对称，∴，∵，∴当时，取最小值.故选：C.6．A【分析】利用二倍角公式和两角差的公式得到，利用平移变换得到，再根据是函数的一个极值点，即当时，函数取得最值求解.【详解】由，化简得，所以．又是函数的一个极值点，所以当时，函数取得最值，所以，解得．因为，所以．故选：A．7．D【分析】先由函数图象求出函数解析式，然后再逐个分析判断【详解】因为的图象过点，所以，因为，所以，因为的图象过点，所以由五点作图法可知，得，所以，对于A，因为，所以为的图象的一条对称轴，所以A错误，对于B，的图象向右平移个单位后，得，所以B错误，对于C，当时，，所以，所以在区间的最小值为，所以C错误，对于D，，令，因为，所以为偶函数，所以D正确，故选：D8．B【分析】先求出，又因为在上为增函数，则，且，即可求出最大值.【详解】函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则，又因为在上为增函数，所以，且，解得：，故的最大值为2.故选：B.9．AC【分析】根据三角函数的图象变换规律逐个分析可得答案.【详解】将函数的图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象，A正确.将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象，B不正确.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数的图象，C正确.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数，D不正确.故选：AC10．AB【分析】对A、B、C：根据函数图象求，即可分析判断；对D：根据图象变换结合诱导公式求解析式，即可得结果.【详解】对A：由图可知：，即，∵，则，故的值域为，A正确；对B：由图可得：，则，B正确；对C：∵，且，可得，∴，由图可得：的图象过点，即，则，且，可得，可得，则，C错误；对D：可得：，将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到，D错误；故选：AB.11．AC【分析】首先求得的导函数，然后根据三角函数图像平移验证A选项的正误，根据函数的对称性验证B选项的正误，根据求三角函数的值域验证C选项的正误，根据求解三角函数的单调性验证D选项的正误.【详解】，.将的图像向右平移个单位得的图像，故A选项正确；已知的图像与的图像关于直线对称，，故B选项错误；，其中，最大值为，，其中，最大值为，故C选项正确；当时，，，当时，在上单调递增，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递减，综上可知和在上单调性相同，但可能递增也可能递减，故D选项错误.故选：AC12．ACD【分析】由余弦函数周期的公式，可判定A正确；利用三角函数的图象变换，可判定B错误；根据在区间上单调递增，列出不等式组，求得的范围，得到当时，不等式有解，可判定C正确；由在区间上只有一个零点，列出不等式组，求得的范围，可判定D正确．【详解】解：由余弦函数图象与性质，可得，得，所以A正确；当时，可得，将函数的图象向右平移个单位长度后得，所以B错误；若在区间上单调递增，则，解得，又因为，所以只有当时，此不等式有解，即，所以C正确；若在区间上只有一个零点，则，解得，所以D正确．故选：ACD．13．ABD【分析】先由周期范围及为正整数求得，再由平移后关于原点对称求得，从而得到，对于AB，将与代入检验即可；对于C，利用换元法得到在内只有两个解，从而可以判断；对于D，利用整体法及的单调性即可判断.【详解】因为，，所以，解得，又为正整数，所以，所以，所以函数的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数，（点拨：函数的图象经过平移变换得到的图象时，不是平移个单位长度，而是平移个单位长度），由题意知，函数的图象关于原点对称，故，即，又，所以，，所以，对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于A，令，因为，所以，显然在内只有，两个解，即方程在上只有两个解，故C错误；对于A，当时，，因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：求解此类问题的关键是会根据三角函数的图象变换法则求出变换后所得图象对应的函数解析式，注意口诀“左加右减，上加下减，横变，纵变A”在解题中的应用.14．BCD【分析】根据函数作恒等变换化简成正弦型函数，确定平移后的解析式，即可根据三角函数图象性质逐项判断正误.【详解】的图象向左平移个单位得，所以为偶函数，故A不正确；的最小正周期,故B正确；又，所以函数的图象关于点对称，故C正确；则的单调递增区间满足，，解得，，即函数的单调递增区间为，故D正确.故选：BCD.15．【分析】根据三角函数图象的对称性，得到，求得，进而求得，得到，结合，即可求得的值.【详解】如图所示，根据三角函数图象的对称性，可得阴影部分的面积等于矩形和的面积之和，即，因为函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，所以，又因为图中阴影部分的面积为，所以，解得，又由图象可得，可得，所以，所以，所以，因为，可得，即，因为，所以.故答案为：16．【分析】根据图象求得，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，即可解决.【详解】由题知，函数（，）的部分图象如图所示，所以，即所以，所以，因为图象经过点，所以，所以，因为，所以，所以，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，所以所得函数图象的解析式为，故答案为：17．【分析】根据三角函数的变换规则得到的解析式，再根据为偶函数求出的值，即可求出的解析式，最后根据正弦函数的性质计算可得.【详解】解：因为，将的图像向右平移个单位长度得到，又为偶函数，所以，，解得，，因为，所以，所以，因为，则，所以，则.故答案为：18．（答案不唯一）【分析】由图象平移写出解析式，再由，根据正弦函数图象及零点个数求参数范围，即得结果.【详解】由题设，在，则，要使在区间上有且仅有一个零点，所以，即，故满足要求.故答案为：（答案不唯一）19．(1)(2)【分析】（1）运用三角函数周期性、五点法求出解析式，运用图象平移变换及诱导公式求出解析式.（2）运用二倍角公式、平方公式求得、、、的值，运用诱导公式及和角公式求得，结合正弦定理可求得c，运用三角形面积求解即可.【详解】（1）由图可知，，解得：，所以，即：，将点代入得，所以，，解得：，，所以，所以，因为将函数的图像向左平移个单位长度后得函数的图像，所以．（2）因为，所以，由，得，，因为，所以，即：，所以由，得，所以由，得，所以，由正弦定理，得，所以△的面积．20．(1)(2)．【分析】（1）由函数图象变换知识可得，后由单调性可得最值情况；（2）由（1）结合题意可知，.后由可进一步确认大致范围，后可得答案.【详解】（1）函数的图象先向右平移个单位长度，则解析式变为：，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），则解析式变为.则.当时，，因函数在上单调递减，在上单调递增，，.∴，∴在区间上的最大值为．（2），当时，，要使在上无零点，则，.，，，，当时，；当时，，当时，舍去．综上：的取值范围为．第8练正弦定理和余弦定理一、单选题1．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐101中学校考开学考试）在中，已知，，，则（

）A．1 B． C． D．32．（2023·河南郑州·校联考二模）在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最小值是（

）A． B． C． D．3．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（

）A． B． C． D．5．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，则（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角所对应的边分别是，若，，，则（

）A． B． C． D．7．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线l过点.若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．8．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·江苏南京·校考三模）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．10．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（

）A．点的横坐标的取值范围是B．的取值范围是C．面积的最大值为D．的取值范围是11．（2023春·全国·高一专题练习）已知圆锥顶点为S，高为1，底面圆的直径长为．若为底面圆周上不同于的任意一点，则下列说法中正确的是（

）A．圆锥的侧面积为B．面积的最大值为C．圆锥的外接球的表面积为D．若，为线段上的动点，则的最小值为12．（2023春·全国·高一专题练习）的内角A，，的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则此三角形为等腰三角形C．若，，，则解此三角形必有两解D．若是锐角三角形，则13．（2023·江苏南京·南京市第五高级中学校考二模）如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，点P为线段上的动点，则（

）A．两条异面直线和所成的角为B．存在点P，使得平面C．对任意点P，平面平面D．点到直线的距离为414．（2023春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）如图1，在中，，，，DE是的中位线，沿DE将进行翻折，连接AB，AC得到四棱锥（如图2），点F为AB的中点，在翻折过程中下列结论正确的是（

）A．当点A与点C重合时，三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为B．四棱锥的体积的最大值为C．若三角形ACE为正三角形，则点F到平面ACD的距离为D．若异面直线AC与BD所成角的余弦值为，则A、C两点间的距离为三、填空题15．（2023秋·四川成都·高二成都外国语学校校考阶段练习）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，，已知动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为.16．（2023·广西桂林·校考模拟预测）△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，c＝2b，若△ABC的面积为1，则BC的最小值是．17．（2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）在中，，D为BC的中点，则的最大值为．18．（2023·四川眉山·校考三模）在锐角中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且，则的取值范围是．四、解答题19．（2023秋·甘肃临夏·高三统考期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．20．（2023春·云南红河·高一开远市第一中学校校考阶段练习）记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．第8练正弦定理和余弦定理一、单选题1．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐101中学校考开学考试）在中，已知，，，则（

）A．1 B． C． D．32．（2023·河南郑州·校联考二模）在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最小值是（

）A． B． C． D．3．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（

）A． B． C． D．5．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，则（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角所对应的边分别是，若，，，则（

）A． B． C． D．7．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线l过点.若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．8．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·江苏南京·校考三模）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．10．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（

）A．点的横坐标的取值范围是B．的取值范围是C．面积的最大值为D．的取值范围是11．（2023春·全国·高一专题练习）已知圆锥顶点为S，高为1，底面圆的直径长为．若为底面圆周上不同于的任意一点，则下列说法中正确的是（

）A．圆锥的侧面积为B．面积的最大值为C．圆锥的外接球的表面积为D．若，为线段上的动点，则的最小值为12．（2023春·全国·高一专题练习）的内角A，，的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则此三角形为等腰三角形C．若，，，则解此三角形必有两解D．若是锐角三角形，则13．（2023·江苏南京·南京市第五高级中学校考二模）如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，点P为线段上的动点，则（

）A．两条异面直线和所成的角为B．存在点P，使得平面C．对任意点P，平面平面D．点到直线的距离为414．（2023春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）如图1，在中，，，，DE是的中位线，沿DE将进行翻折，连接AB，AC得到四棱锥（如图2），点F为AB的中点，在翻折过程中下列结论正确的是（

）A．当点A与点C重合时，三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为B．四棱锥的体积的最大值为C．若三角形ACE为正三角形，则点F到平面ACD的距离为D．若异面直线AC与BD所成角的余弦值为，则A、C两点间的距离为三、填空题15．（2023秋·四川成都·高二成都外国语学校校考阶段练习）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，，已知动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为.16．（2023·广西桂林·校考模拟预测）△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，c＝2b，若△ABC的面积为1，则BC的最小值是．17．（2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）在中，，D为BC的中点，则的最大值为．18．（2023·四川眉山·校考三模）在锐角中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且，则的取值范围是．四、解答题19．（2023秋·甘肃临夏·高三统考期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．20．（2023春·云南红河·高一开远市第一中学校校考阶段练习）记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．参考答案：1．D【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．2．B【分析】先解三角形得到为直角三角形，建立直角坐标系，通过表示出，借助三角函数求出最小值.【详解】由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A（－1，0），C（1，0），B（－，），设P的坐标为，所以，，，又，所以，所以，，所以，当且仅当时，等号成立．故选：B．3．A【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.【详解】因为，所以∽，设，则，设，则，．因为平分，由角平分线定理可知，，所以，所以，由双曲线定义知，即，，①又由得，所以，即是等边三角形，所以．在中，由余弦定理知，即，化简得，把①代入上式得，所以离心率为．故选：A．4．A【分析】由题意画出图，由已知求出的值，找出的坐标，由的内切圆圆心分别为，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出的底和高，利用三角形的面积公式计算即可.【详解】由题意如图所示：由双曲线，知，所以，所以，所以过作垂直于轴的直线为，代入中，解出，由题知的内切圆的半径相等，且，的内切圆圆心的连线垂直于轴于点，设为，在中，由等面积法得：由双曲线的定义可知：由，所以，所以，解得：，因为为的的角平分线，所以一定在上，即轴上，令圆半径为，在中，由等面积法得：，又所以，所以，所以，，所以，故选：A.5．B【分析】根据题意，利用正弦定理边化角，由三角形内角和定理，展开化简得．【详解】由，边化角得，又，所以，展开得，所以，因为，所以．故选：B．6．D【分析】利用余弦定理直接构造方程求解即可.【详解】由余弦定理得：，即，解得：（舍）或，.故选：D.7．C【分析】根据已知结合椭圆的定义可推得，.然后根据，可推得.最后根据余弦定理，即可得到关于的齐次方程，即可得出离心率.【详解】设，由已知可得，，根据椭圆的定义有.又，所以.在中，由余弦定理可得，，即，整理可得，等式两边同时除以可得，，解得，或（舍去），所以.故选：C.8．D【分析】由椭圆的定义及题设，求出、、，利用，由余弦定理建立方程化简即可得解.【详解】因为，由椭圆定义知，又，所以，再由椭圆定义，因为，所以，所以由余弦定理可得，即，化简可得，即，解得或（舍去）.故选：D9．AC【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一

M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，所以，因为，所以在双曲线的左支，，，，设，由即，则，选A情况二若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，所以，，，设，由，即，则，所以，即，所以双曲线的离心率选C[方法二]：答案回代法特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点都在左支,，，则，特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点在左右两支，在右支，，，则，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，若分别在左右支，因为，且，所以在双曲线的右支，又，，，设，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以双曲线的离心率若均在左支上，同理有，其中为钝角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故选：AC.10．BC【分析】设出点P的坐标，列出方程并化简整理，放缩解不等式判断A；利用几何意义并结合求函数值域判断B；利用三角形面积公式计算判断C；取点计算判断D作答.【详解】设点，依题意，，对于A，，当且仅当时取等号，解不等式得：，即点的横坐标的取值范围是，A错误；对于B，，则，显然，因此，B正确；对于C，的面积，当且仅当时取等号，当时，点P在以线段MN为直径的圆上，由解得，所以面积的最大值为，C正确；对于D，因为点在动点P的轨迹上，当点P为此点时，，D错误.故选：BC【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.11．BCD【分析】对A：根据圆锥的侧面积公式分析运算；对B：根据题意结合三角形的面积公式分析运算；对C：根据题意可得圆锥的外接球即为的外接圆，利用正弦定理求三角形的外接圆半径，即可得结果；对D：将平面与平面展开为一个平面，当三点共线时，取到最小值，结合余弦定理分析运算.【详解】对A：由题意可知：，故圆锥的侧面积为，A错误；对B：面积，在中，，故为钝角，由题意可得：，故当时，面积的最大值为，B正确；对C：由选项B可得：，为钝角，可得，由题意可得：圆锥的外接球半径即为的外接圆半径，设其半径为，则，即；故圆锥的外接球的表面积为，C正确；对D：将平面与平面展开为一个平面，如图所示，当三点共线时，取到最小值，此时，在，，则为锐角，则，在，则，由余弦定理可得，则，故的最小值为，D正确.故选：BCD.12．AD【分析】由正弦定理可求A，然后可判断A；根据角的范围直接求解可判断B；正弦定理直接求解可判断C；利用诱导公式和正弦函数单调性可判断D.【详解】由正弦定理可知，又，所以，可得，因为，所以，A正确；因为，且角2A，2最多有一个大于，所以由可知，或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；由正弦定理可得，因为，所以，故此三角形有唯一解，C错误；因为是锐角三角形，所以，即，又在上单调递增，所以，同理，所以，D正确.故选：AD13．BCD【分析】根据异面直线所成角的概念结合正方体的性质可判断A，根据线面平行的判定定理可判断B，根据线面垂直的判定定理可得平面，然后根据线线垂直的判定定理可判断C，利用余弦定理结合条件可判断D.【详解】对于A，由正方体的性质可知，两条异面直线和所成的角即为，所以A错误；对于B，当点P与点重合时，由题可知，所以，四边形为平行四边形，故，又平面，平面，则平面，所以B正确；对于C，连结，由于平面，平面，故，又，故，故，即，故，又相交，平面，故平面，又平面，故对任意点，平面平面，所以C正确；对于D，由正方体的性质可得，，所以，所以，所以点到直线的距离，所以D正确．故选：BCD．14．ABD【分析】A项，分析点A与点C重合时三角形ADE翻折旋转所得的几何体类型，即可得到几何体的表面积；B项，通过表达出的体积，即可求出四棱锥的体积的最大值；C项，通过三角形的等面积法即可求出点F到平面ACD的距离；D项，通过C项的三角形ACE为正三角形时，由余弦定理得到异面直线A