高中数学人教版必修2教案1-3-2球的体积和表面积3

1．3.2球的体积和表面积●三维目标1．知识与技能(1)了解球的表面积与体积公式(不要求记忆公式)．(2)培养学生空间想象能力和思维能力．2．过程与方法通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系．3．情感、态度与价值观让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣．●重点难点重点：球的表面积与体积的计算．难点：简单组合体的体积计算．重难点突破：以教材例题、习题为载体，通过题组训练，让学生熟悉并掌握球的表面积与体积公式；对于简单组合体的体积计算问题，可结合简单组合体的概念，采用分割求和的方式给予突破．●教学建议结合本节知识的特点，教学时教师可采用开门见山的方式，直接给出球的表面积及体积公式，对公式的推导及证明不必拓展补充；在此基础上，通过题目训练，使学生熟练掌握公式间的内在关系即可．●教学流程直接给出球的表面积及体积的运算公式．⇒eq\x(通过例1及其变式训练，使学生掌握球的表面积及体积公式.)⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握与球的截面有关的球的体积、表面积计算问题．课标解读1.了解并掌握球的体积和表面积公式．(易混点)2．会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点)3．会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．(难点)球的表面积与体积球的表面积与体积公式eq\x(球半径为R)表面积公式S＝4πR2体积公式V＝eq\f(4,3)πR3球的表面积与体积(2013·昭通高一检测)一个球的表面积是16π，则它的体积是()A．64πB.eq\f(64π,3)C．32πD.eq\f(32,3)π【思路探究】表面积→球的半径→球的体积【自主解答】设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半径为2，体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π.【答案】D球的表面积与体积的大小，只与球的半径有关，故充分利用题设条件求解球半径的大小，是解答此类问题的关键．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的()A．2倍 B．2eq\r(2)倍C.eq\r(2)倍 D.eq\r(3,2)倍【解析】设球变化前后的半径分别为r与r′，由已知得：4πr′2＝2·4πr2，∴r′＝eq\r(2)r，∴V′＝eq\f(4,3)πr′3＝2eq\r(2)·eq\f(4,3)πr3＝2eq\r(2)V，即体积变为原来体积的2eq\r(2)倍．【答案】B球的截面问题一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积．【思路探究】eq\x(两截面圆的面积)→eq\x(两截面圆的半径)eq\o(→,\s\up12(解直角三角形))eq\x(球的半径)【自主解答】(1)当截面在球心的同侧时，如图(1)所示为球的轴截面，由截面性质知AO1∥BO2，O1，O2为两截面圆的圆心，且OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，设球的半径为R，∵πO2B2＝49π，∴O2B＝7cm，同理得：O1A＝20cm.设OO1＝x，则OO2＝(x＋9)cm，在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，①在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，②联立①②可得x＝15，R＝25.∴S球＝4πR2＝2500πcm2，故球的表面积为2500πcm2.(2)当截面在球心的两侧时，如图(2)所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.设球的半径为R，∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7cm.∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20cm.设O1O＝xcm，则OO2＝(9－x)cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400.在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49.∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合题意，舍去．综上所述，球的表面积为2500πcm2.1．本题在求解过程中，常因漏掉两截面位于圆心两侧的情况而失分．2．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________．【解析】若两个平行截面在球心同侧，如图(1)，则两个截面间的距离为eq\r(52－32)－eq\r(52－42)＝1；若两个平行截面在球心异侧，如图(2)，则两个截面间的距离为eq\r(52－32)＋eq\r(52－42)＝7.【答案】1或7根据三视图计算球的体积与表面积某个几何体的三视图如图1－3－11所示(单位：m)．(1)求该几何体的表面积；(2)求该几何体的体积．图1－3－11【思路探究】本题条件中给出的是几何体的三视图及数据，解题时要先根据俯视图来确定几何体的上、下部分形状，然后根据侧视图与正视图确定几何体的形状，并根据有关数据计算．【自主解答】由三视图可知，此几何体是一个半径为1的半球和一个棱长为2的正方体组成．(1)S＝S半球＋S正方体表面积－S圆＝eq\f(1,2)×4π×12＋6×2×2－π×12＝24＋π(m2)(2)V＝V半球＋V正方体＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＋23＝8＋eq\f(2,3)π(m3)1．本题(1)在求解时，常因忘记去除“半球同正方体的重叠部分”而使所求表面积变大．2．由三视图求简单组合体的表面积或体积时，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义，根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．3．计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉等．一个几何体的三视图如图1－3－12所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.图1－3－12【解析】由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为eq\f(3,2)；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，所以V＝eq\f(4,3)π×eq\f(27,8)×2＋1×3×6＝9π＋18.【答案】18＋9π与球相关的“切”“接”问题(12分)有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．【思路点拨】作出三个几何体的截面图，分别求出三个球的半径．【规范解答】设正方体的棱长为a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图(1)，所以有2r1＝a，r1＝eq\f(a,2)，S1＝4πreq\o\al(2,1)＝πa2.4分(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2)，所以有2r2＝eq\r(2)a，r2＝eq\f(\r(2),2)a，所以S2＝4πreq\o\al(2,2)＝2πa2.7分(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)，所以有2r3＝eq\r(3)a，r3＝eq\f(\r(3),2)a，所以S3＝4πreq\o\al(2,3)＝3πa2.10分综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶1．解决此类问题的关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，从而把空间问题平面化．2．常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：eq\x(几何体与球的切、接问题)eq\x(内切球)eq\x(找过切点和球心的截面)eq\x(体积法)eq\x(外接球)eq\x(由球心和几何体顶点抽象得出新几何体)eq\x(找过球心的截面)3．球与其他几何体切接问题一般有下列结论：(1)长方体的8个顶点在同一球面上，则长方体的体对角线是球的直径；(2)球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；(3)球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线．(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．(5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．1．球的表面积、体积基本性质是解决有关问题的重要依据，它的轴截面图形，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．1．直径为6的球的表面积和体积分别是()A．36π，144πB．36π，36πC．144π，36π D．144π，144π【解析】球的半径为3，表面积S＝4π·32＝36π，体积V＝eq\f(4,3)π·33＝36π.【答案】B2．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的()A．2倍 B．4倍C．8倍 D．16倍【解析】设气球原来的半径为r，体积为V，则V＝eq\f(4,3)πr3，当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的23＝8倍．【答案】C3．一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是()A.eq\f(100π,3)cm3 B.eq\f(208π,3)cm3C.eq\f(500π,3)cm3 D.eq\f(416\r(13π),3)cm3【解析】根据球的截面性质，有R＝eq\r(r2＋d2)＝eq\r(32＋42)＝5，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500,3)π(cm3)．【答案】C4．将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高了4cm，求钢球的半径．【解】圆柱形玻璃容器中水面上升了4cm，则知钢球的体积V＝π·32·4＝36π.设钢球的半径为R，则eq\f(4,3)πR3＝36π，∴R＝3cm.所以钢球的半径为3cm.一、选择题1．(2013·武威高一检测)球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于()A.eq\f(1,2)B．1C．2D．3【解析】设球的半径为R，则由题意可知eq\f(4,3)πR3＝4πR2，∴R＝3.【答案】D2．(2013·临沂高一检测)设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是()A.eq\f(4,3)πB.eq\f(8π,3)C．4eq\r(3)πD．32eq\r(3)π【解析】由题意可知，6a2＝24，∴a＝2.设正方体外接球的半径为R，则eq\r(3)a＝2R，∴R＝eq\r(3)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.【答案】C3．(2012·全国高考)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为eq\r(2)，则此球的体积为()A.eq\r(6)πB．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3)π【解析】如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝eq\r(2)，O′M＝1，∴OM＝eq\r(\r(2)2＋1)＝eq\r(3)，即球的半径为eq\r(3)，∴V＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.【答案】B4．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为()A．RB．2RC．3RD．4R【解析】设圆柱的高为h，则πR2h＝3×eq\f(4,3)πR3，∴h＝4R.【答案】D5．(2013·日照高一检测)如图1－3－13是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()图1－3－13A．9π＋42B．36π＋18C.eq\f(9,2)π＋12D.eq\f(9,2)π＋18【解析】由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V＝eq\f(4,3)π(eq\f(3,2))3＋3×3×2＝eq\f(9,2)π＋18.【答案】D二、填空题6．已知一个球的体积为eq\f(4,3)π，则此球的表面积为________．【解析】设球的半径为R，则V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π，∴R＝1，∴球的表面积S＝4π.【答案】4π7．已知长方体的8个顶点在同一个球面上，且长方体的对角线长为4，则该球的体积是________．【解析】长方体的对角线即为球的直径，∴2R＝4，∴R＝2，∴该球的体积V＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32,3)π.【答案】eq\f(32π,3)图1－3－148．圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图1－3－14所示)，则球的半径是________cm.【解析】设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为πr2×6r＝6πr3，高度为8cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×eq\f(4,3)πr3＝4πr3，由题意6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4cm.【答案】4三、解答题图1－3－159．(2013·郑州高一检测)如图1－3－15，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．【解】因为V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×43＝eq\f(128,3)π(cm3)，V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×42×10＝eq\f(160,3)π(cm3)，因为V半球<V圆锥，所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．10．据说伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图1－3－16所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比．图1－3－16【解】设圆柱的底面半径为r，高为h，则V圆柱＝πr2h，由已知知圆锥的底面半径为r，高为h，∴V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h，球的半径为r，∴V球＝eq\f(4,3)πr3.又h＝2r，∴V圆锥∶V球∶V圆柱＝(eq\f(1,3)πr2h)∶(eq\f(4,3)πr3)∶(πr2h)＝(eq\f(2,3)πr3)∶(eq\f(4,3)πr3)∶(2πr3)＝1∶2∶3.图1－3－1711．(思维拓展题)如图1－3－17所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC＝30°)【解】如图所示，过C作CO1⊥AB于O1.在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝eq\r(3)R，BC＝R，CO1＝eq\f(\r(3),2)R，∴S球＝4πR2，S圆锥AO1侧＝π×eq\f(\r(3),2)R×eq\r(3)R＝eq\f(3,2)πR2，S圆锥BO1侧＝π×eq