第2章 正弦交流电路

第二章正弦交流电路第一节

正弦量第二节

交流电的有效值第三节正弦量的相量表示法第四节电阻元件的交流电路第五节电感元件的交流电路第六节电容元件的交流电路返回主目录第七节相量形式的基尔霍夫定律第八节

RLC串联电路的相量分析第一节正弦量在正弦交流电路中，由于电流或电压的大小和方向都随时间按正弦规律发生变化，因此，在所标参考方向下的值也在正负交替。图2-1a所示电路，交流电路的参考方向已经标出，其电流波形如图2-1b所示。

图2-1一、正弦量的三要素

1.振幅值（最大值）正弦量在任一时刻的值称为瞬时值，用小写字母表示，如、

,分别表示电流及电压的瞬时值。正弦量瞬时值中的最大值称为振幅值也叫最大值或峰值，用大写字母加下标m表示，如Im、Um,分别表示电流、电压的振幅值。图2-2所示波形分别表示两个振幅不同的正弦交流电压。图2-22.角频率

角频率是描述正弦量变化快慢的物理量。正弦量在单位时间内所经历的电角度，称为角频率，用字母ω表示，即

式中，ω的单位为弧度/秒（）

正弦量完成一次周期性变化所需要的时间，称为正弦量的周期，用T表示，其单位是秒（S）。正弦量在1秒钟内完成周期性变化的次数，称为正弦量的频率，用f

表示。其单位是赫兹，（HZ）。（2-1）根据定义，周期和频率的关系应互为倒数，即3.初相在正弦量的解析式中，角度（）称为正弦量的相位角，简称相位，它是一个随时间变化的量，不仅确定正弦量的瞬时值的大小和方向，而且还能描述正弦量变化的趋势。

初相是指t=0时的相位,用ψ符号表示。正弦量的初相确定了正弦量在计时起点的瞬时值。计时起点不同，正弦量的初相不同，因此初相与计时起点的选择有关。我们规定初相|ψ|不超过π弧度，即-π≤ψ≤π。图2-3所示是不同初相时的几种正弦电流的波形图。图2-3在选定参考方向下，已知正弦量的解析式为。试求正弦量的振幅、频率、周期、角频率和初相。例2-1解已知一正弦电压，频率为工频，试求时的瞬时值。当时，角频率当时，

由于例2-2解二、相位差两个同频率正弦量的相位之差，称为相位差，用

表示。例如则两个正弦量的相位差为：上式表明，同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差，不随时间改变，是个常量，与计时起点的选择无关。如图2-4所示，相位差就是相邻两个零点（或正峰值）之间所间隔的电角度。规定其绝对值不超过图2-4当即两个同频率正弦量的相位差为，称这两个正弦量反相，波形如图2-5b所示。当即两个同频率正弦量的相位差为零，这两个正弦量为同相，波形如图2-5a所示。当图2-5两个同频率正弦交流电流的波形如图2-6所示，试写出它们的解析式，并计算二者之间的相位差

解析式

相位差比超前，或滞后。图2-6例2-3解第二节交流电的有效值

把一个交流电i与直流电I分别通过两个相同的电阻，如果在相同的时间内产生的热量相等，则这个直流电I的数值就叫做交流电i的有效值。直流电流通过电阻在交流一个周期的时间内所产生的热量为

交流电流通过电阻，在一个周期内所产生的热量为

热量相等，所以

一、有效值的定义若交流电流为正弦交流则

这表明振幅为1A的正弦电流，在能量转换方面与0.707A的直流电流的实际效果相同。同理，正弦电压的有效值为人们常说的交流电压220V，380V指的就是有效值。二、正弦量的有效值有一电容器，耐压为250V，问能否接在民用电电压为220V的电源上。

因为民用电是正弦交流电，电压的最大值这个电压超过了电容器的耐压，可能击穿电容器，所以不能接在220V的电源上。例2-4解

一、复数

1.复数的表示电工中常用j代表虚单位，即(1)代数式

(2)极坐标式

a

——实部，b——虚部。r——模，θ——幅角。由代数式可知，复数可在复平面上用一个点来表示，还可用该点对应的矢量来表示。图2-8复数的表示第三节正弦量的相量表示法

(3)三角函数式

复数的代数式、三角函数式和极坐标式可以按以下公式相互转换。换算公式写出复数5－j8的极坐标式写出复数18∠108.6o的极坐标式，，则解解例2-5例2-6则

(2)乘除运算例如则

2.复数的运算

(1)加减运算例如已知复数A=6∠68.5o

，B=11∠-130o

，求A+B和A-B。解例2-7已知复数，求AB和A/B。解例2-8图2-9复数加减运算矢量图a)复数加运算矢量图;b)复数减运算矢量图

复数的加减运算的作图法

旋转因子由于复数对应的矢量逆时针旋转θ角。故复数称为旋转因子。乘以

因此复数后，反映到复平面上，就是将两个复数相等的条件：实部与实部相等、虚部与虚部相等，或模与模相等、幅角与幅角相等。

特殊复数

一个正弦量可以表示为根据此正弦量的三要素，可以作一个复数让它的模为，幅角为，即

上式j=,为虚单位，这一复数的虚部为一正弦时间函数，正好是已知的正弦量，所以一个正弦量给定后，总可以作出一个复数使其虚部等于这个正弦量。因此我们就可以用一个复数表示一个正弦量，其意义在于把正弦量之间的三角函数运算变成了复数的运算，使正弦交流电路的计算问题简化。二、正弦量的相量表示法由于正弦交流电路中的电压，电流都是同频率的正弦量，故角频率这一共同拥有的要素在分析计算过程中可以略去，只在结果中补上即可。这样在分析计算过程中，只需考虑最大值和初相两个要素，故表示正弦量的复数可简化成上式为正弦量的极坐标式，我们就把这一复数称为相量，以“”表示，并习惯上把最大值换成有效值，即（2-12）

在表示相量的大写字母上打点“”是为了与一般的复数相区别，这就是正弦量的相量表示法。需要强调的是，相量只表示正弦量，并不等于正弦量；只有同频率的正弦量其相量才能相互运算，才能画在同一个复平面上。画在同一个复平面上表示相量的图称为相量图。

对应关系不相等！！相量与正弦量的关系已知正弦电压、电流为，写出和对应的相量，并画出相量图。的相量为

的相量为相量图如图2-10所示。图2-10例2-9解

写出下列相量对应的正弦量。

（1）

（2）

（1）（2）解例2-10已知

试用相量计算，并画相量图。

正弦量和对应的相量分别为它们的相量和为对应的解析式为相量图如图2-11所示。

例2-11解图2-11如图2-12为一个电阻元件的交流电路，在关联参考方向下，根据欧姆定律，电压和电流的关系为若则得或两正弦量对应的相量为第四节电阻元件的交流电路图2-12一、电阻元件上电压和电流的相量关系两相量的关系为即此式就是电阻元件上电压与电流的相量关系式。（2-13）

由复数知识可知，式（2-13）包含着电压与电流的有效值关系和相位关系，即

通过以上分析可知，在电阻元件的交流电路中1）电压与电流是两个同频率的正弦量。2）电压与电流的有效值关系为。3）在关联参考方向下，电阻上的电压与电流同相位图2-13a、b所示分别是电阻元件上电压与电流的波形图和相量图。图2-13二、电阻元件上的功率

在交流电路中，电压与电流瞬时值的乘积叫做瞬时功率，用小写的字母表示，在关联参考方向下

从式中可以看出≥0，表明电阻元件总是消耗能量，是一个耗能元件。电阻元件上瞬时功率随时间变化的波形如图2-14所示。

正弦交流电路中电阻元件的瞬时功率图2-14通常所说的功率并不是瞬时功率，而是瞬时功率在一个周期内的平均值，称为平均功率，简称功率，用大写字母表示，则正弦交流电路中电阻元件的平均功率为即（2-15）

上式与直流电路功率的计算公式在形式上完全一样，但这里的U和I是有效值，是平均功率。例2-8一电阻（2）电阻消耗的功率（3）作相量图

一电阻，两端电压

求:（1）

通过电阻的电流

和所以（1）电压相量，则

（2）或（3）相量图如图2-15所示例2-12解图2-15额定电压为100V，功率分别为100W和40W的电烙铁，其电阻各是多少欧姆？

100W电烙铁的电阻40W电烙铁的电阻可见，电压一定时，功率越大电阻越小，功率越小电阻越大。解例2-13第五节电感元件的交流电路设电流,由上式得式中，

两正弦量对应的相量分别为

图2-16所示电路是一个纯电感的交流电路，选择电压与电流为关联参考方向，则电压与电流的关系为图2-16一、电压与电流的相量关系两相量的关系：即

（2-16）

上式就是电感元件上电压与电流的相量关系式。

由复数知识可知，它包含着电压与电流的有效值关系和相位关系，即通过以上分析可知，在电感元件的交流电路中：1）电压与电流是两个同频率的正弦量。2）电压与电流的有效值关系为。3）在关联参考方向下，电压的相位上超前电流

图2-17a、b分别为电感元件上电压、电流的波形图和相量图图2-17

把有效值关系式与欧姆定律相比较，可以看出，具有电阻的单位欧姆，也同样具有阻碍电流的物理特性，故称为感抗。

（2-17）

当电感两端的电压及电感一定时，通过的电流及感抗随频率变化的关系曲线如图2-18所示。

图2-18二、电感元件的功率

在电压与电流参考方向一致时，电感元件的瞬时功率为

上式说明，电感元件的瞬时功率也是随时间变化的正弦函数，其频率为电源频率的两倍，振幅为,波形图如图2-19所示

图2-19电感元件的平均功率为

上式表明：电感是储能元件,它在吸收和释放能量的过程中并不消耗能量。

为了描述电感于外电路之间能量交换的规模,引入瞬时功率的最大值,并称之为无功功率,用表示,即

（2-18）

也具有功率的单位,但为了和有功功率区别,把无功功率的单位定义为乏（）应该注意:

无功功率反映了电感与外电路之间能量交换的规模,“无功”不能理解为“无用”,这里“无功”二字的实际含义是交换而不消耗.以后学习变压器,电动机的工作原理时就会知道,没有无功功率,它们无法工作。

在电压为220V，频率为50Hz的电源上，接入电感的线圈（电阻不计），试求：1）线圈的感抗。2）线圈中的电流。3）线圈的无功功率。4）若线圈接在的信号源上，感抗为多少？

(1)

(2)

(3)

(4)

例2-14

解第六节电容元件的交流电路

图2-20所示为一个纯电容的交流电路，选择电压与电流为关联参考方向，设电容元件两端电压为正弦电压则电路中的电流，根据公式

得式中，即一、电压与电流的相量关系图2-20上述两正弦量对应的相量分别为上式就是电容元件上电压与电流的相量关系式。它们的关系为即（2-19）

由复数知识可知，它包含着电压与电流的有效值关系和相位关系，即通过以上分析可以得出，在电容元件的交流电路中1）电压与电流是两个同频率的正弦量。2）电压与电流的有效值关系为。3）在关联参考方向下，电压滞后电流

图2-21a、b所示分别为电容元件两端电压与电流的波形图和相量图。图2-21

由有效值关系式可知，具有同电阻一样的单位欧姆，也具有阻碍电流通过的物理特性，故称为容抗。

（2-20）容抗与电容、频率成反比。当电容一定时，频率越高，容抗越小。因此，电容对高频电流的阻碍作用小，对低频电流的阻碍作用大，而对直流，由于频率，故容抗为无穷大，相当于开路，即电容元件有隔直作用。二、电容元件的功率

在关联参考方向下，电容元件的瞬时功率为

由上式可见，电容元件的瞬时功率也是随时间变化的正弦函数，其频率为电源频率的2倍，图2-22所示是电容元件瞬时功率的变化曲线。电容元件在一周期内的平均功率

平均功率为零，说明电容元件不消耗能量，只与电源进行能量的相互转换。这种能量转换的大小用瞬时功率的最大值来衡量，称为无功功率，用表示，即

式中，的单位为乏

图2-22图2-23

有一电容，接在的电源上。试求：(1)电容的容抗。(2)电流的有效值。(3)电流的瞬时值。(4)电路的有功功率及无功功率。(5)电压与电流的相量图。

(1)容抗

（2）电流的有效值

（3）电流的瞬时值

电流超前电压，即则（4）电路的有功功率

无功功率

（5）相量图如图2-23所示。例2-16

解第七节相量形式的基尔霍夫定律

基尔霍夫定律是电路的基本定律，不仅适用于直流电路，而且适用于交流电路。在正弦交流电路中，所有电压、电流都是同频率的正弦量，它们的瞬时值和对应的相量都遵守基尔霍夫定律。

1．基尔霍夫电流定律

瞬时值形式

（2-22）相量形式（2-23）2．基尔霍夫电压定律瞬时值形式（2-24）相量形式

（2-25）

图2-24所示电路中，已知电流表A1、A2的读数均是5A,试求电路中电流表A的读数。

设两端电压

a图中电压、电流为关联参考方向，电阻上的电流与电压同相，故电感上的电流滞后电压，故根据相量形式的KCL

得即电流表A的读数为7.07A。b图中电流与电压为关联参考方向，电容上的电流超前电压，故

电感上的电流滞后电压，故根据相量形式的KCL得即电流表A的读数为0。例2-18

解图2-24图2-25

图2-25所示电路中，已知电压表V1、V2的读数均为100V，试求电路中电压表V的读数。

设图2-25a：根据相量形式的KVL电压表的读数为141.4V。

图2-25b：根据相量形式的KVL电压表的读数为0。例2-19

解一．电压与电流的相量关系

在图2-26所示电路中，设电流，对应的相量为

则电阻上的电压电感上的电压

电容上的电压根据相量形式的KVL即（2-26）式中，称为电抗（Ω），它反映了电感和电容共同对电流的阻碍作用。X可正、可负；称为复阻抗（Ω）。第八节、RLC串联电路的相量分析图2-26图2-27图2-28复阻抗是关联参考方向下，电压相量与电流相量之比。但是复阻抗不是正弦量，因此，只用大写字母Z表示，而不加黑点。Z的实部R为电路的电阻，虚部X为电路的电抗。复阻抗也可以表示成极坐标形式。其中（2-27）|Z|是复阻抗的模，称为阻抗，它反映了串联电路对正弦电流的阻碍作用，阻抗的大小只与元件的参数和电源频率有关，而与电压、电流无关。是复阻抗的幅角，称为阻抗角。它也是关联参考方向下电路的端电压与电流的相位差。即式中，二．电路的性质

（1）感性电路（2）容性电路当XL＜XC时，UL＜UC，如前所述作相量图如图2-27b所示。由图可见，电流超前电压，，电路呈容性，称为容性电路。（3）阻性电路（谐振电路）当XL=XC

，UL=UC，相量图如图2-27c所示，电压与电流同相，。电路呈电阻性。我们把电路的这种特殊状态，称为谐振。当XL＞XC时，UL＞UC。以电流为参考相量，分别画出与电流同相的，超前电流的，滞后于电流的，然后合并和为，再合并和即得到总电压。相量图如图2-27a所示。从相量图中可以看出，电压超前电流的角度为，＞0，电路呈感性，称为感性电路。由图2-27可以看出，电感电压和电容电压的相量和与电阻电压以及总电压构成一个直角三角形，称为电压三角形。由电压三角形可以看出，总电压的有效值与各元件电压的有效值的关系是相量和而不是代数和。这正体现了正弦交流电路的特点。把电压三角形三条边的电压有效值同时除以电流的有效值，就得到一个和电压三角形相似的三角形，它的三条边分别是电阻R、电抗X和阻抗|Z|，所以称它为阻抗三角形，如图2-28所示。由于阻抗三角形三条边代表的不是正弦量，所画的三条边是线段而不是相量。关于阻抗的一些公式都可以由阻抗三角形得出，它可以帮助我们记忆公式。在R-L串联电路中，已知，外加电压，求电路的电流、电阻的电压和电感的电压，并画相量图。电路的复阻抗相量图如图2-29所示。例2-20

解图2-29图2-30在电子技术中，常利用RC串联作移相电路，如图2-30a所示。已知输入电压频率。需输出电压在相位上滞后输入电压为，求阻。即时，输出电压就滞后于输入电压。而所以例2-21

解

设以电流为参考相量，作相量图，如图2-30b所示。已知输出电压（即）滞后于输入电压为，则电压与电流的相位差。

RL串联电路和RC串联电路均视可为RLC串联电路的特例。在RLC串联电路中当时，，即RL串联电路。当时，，即RC串联电路。由此推广，R、L、C单一元件也可看成RLC串联电路的特例。这表明，RLC串联电路中的公式对单一元件也同样适用。在RLC串联电路中，已知，，。电源电压。求此电路的电流和各元件电压的相量，并画出相量图。电路的复阻抗电流相量各元件的电压相量相量如图2-31所示。例2-22

解图2-31图2-32三．功率在RLC串联电路中，既有耗能元件，又有储能元件，所以电路既有有功功率又有无功功率。电路中只有电阻元件消耗能量，所以电路的有功功率就是电阻上消耗的功率由电压三角形可知所有上式为RLC串联电路的有功功率公式，它也适用于其它形式的正弦交流电路，具有普遍意义。

电路中的储