北师大版九年级数学上册 （菱形的性质与判定）特殊平行四边形 教学课件(第2课时)

北师大版九年级上册数学同步课件菱形的性质与判定第2课时

学习目标新课引入新知学习课堂小结12341.

经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理.2.

会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.

学习目标重点难点菱形的定义是什么？性质有哪些？有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

新课引入一组邻边相等平行四边形菱形怎样判定一个平行四边形是菱形？

新知学习你还能想到其他的判定方法吗？ABCD有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.∵四边形ABCD

是平行四边形，且AB

=

AD，∴四边形ABCD

是菱形.如图所示，小唯唯在一长一短两根木棍的中点处固定一个小钉，以小木棍作为四边形的对角线，四周围上一根橡皮筋，转动小木棍，探究什么时候橡皮筋所构成的四边形为菱形.探究我们发现当两根木棍互相垂直时，构成的四边形为菱形，你能证明它吗？已知：如图，四边形

ABCD

是平行四边形，对角线

AC

与

BD

相交于点

O，AC⊥BD.求证：□

ABCD

是菱形.ABCOD证明：∵

四边形

ABCD

是平行四边形，∴OA

=

OC.∵

AC⊥BD，∴

BD

是线段

AC

的垂直平分线.∴

BA

=

BC.∴四边形

ABCD

是菱形（菱形的定义）.归纳

定理

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.AC⊥BDABCD菱形ABCDABCD□ABCD∵在

□ABCD

中

AC⊥BD，∴□ABCD

是菱形.证明：在△AOB中，∴△AOB

是直角三角形，∠AOB是直角，∴AC⊥BD.∴□

ABCD

是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.ABCDO针对训练∵AB

=

，OA

=2，OB

=1，1.如图，在□ABCD

中，对角线

AC与BD

相交于点

O，AB

=

，AO

=2，BO

=1.

求证：□

ABCD

是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥FC，∴∠1=∠2.∵EF

垂直平分

AC，∴AO=OC.ABCDEFO122.如图，在□ABCD

中，对角线

AC

的垂直平分线分别与

AD、AC

、BC相交于点

E、O、F，求证：四边形

AFCE

是菱形．又∠AOE=∠COF，∴△AOE

≌

△COF，∴EO=

FO.∴四边形

AFCE

是平行四边形.又∵EF⊥AC，∴四边形

AFCE

是菱形.ABCDEFO12你还会用其他办法解答此题吗？这时构成的四边形是否也是菱形呢？CABD

已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？议一议分别以A

和

C为圆心,以大于AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B

和点

D，依次连接A、B、C、D四点.证明：∵AB

=BC=CD=AD;∴AB=CD,BC=AD.∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.ABCD已知：如图，四边形ABCD中,AB

=

BC

=CD

=AD.求证四边形ABCD是菱形.归纳

定理

四条边都相等的四边形是菱形.∵在四边形

ABCD

中，AB=BC=CD=AD，∴四边形

ABCD

是菱形.AB=BC=CD=ADABCD菱形ABCD四边形ABCDABCD证明：∵∠1

=∠2，又∵AE

=

AC，AD

=

AD，∴△ACD

≌

△AED

(SAS).同理△ACF

≌

△AEF

(SAS).∴CD

=

ED，CF

=

EF.针对训练2ACBEDF11.如图，在△ABC

中，AD是角平分线，点E、F分别在AB、AD上，且AE

=

AC，EF=ED.求证：四边形CDEF是菱形.又∵EF

=ED，∴CD

=ED

=

CF

=EF，∴四边形

ABCD

是菱形.2ACBEDF1证明：由平移变换的性质得CF=

AD=10cm，DF＝AC.∵∠B

=

90°，AB

=

6cm，BC

=

8cm，∴AC=DF

=AD

=CF

=10cm，∴四边形ACFD

是菱形．2.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．∴AC==10(cm)

课堂小结四边相等的四边形是菱形.定义法判定定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.菱形的判定北师大版九年级上册数学同步课件菱形的性质与判定第3课时

学习目标新课引入新知学习课堂小结12341.

能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法.

2.

经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会转化的思想方法.

学习目标重点难点如图，小明家有两块地，如图，CD=20m，AC=15m，CH=10m，EF=15m，FH=15m，EG=25m.求

▱ABCD和

▱EFGH的周长与面积.

新课引入20m15m10m25m15m15mABCDEFGHH∟∟C▱ABCD=70m，S▱ABCD=200m2.C▱EFGH=60m.

新知学习思考菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形

EFGH

的面积吗?EFGH∟PS菱形ABCD

=

底×高

=

EH·FP.EFGH∟O解：

∵四边形

EFGH

是菱形，

∴EG⊥FH，

∴S菱形EFGH

=

S△EFH

+

S△GFH

=

FH·EO

+

FH·GO=

FH(

EO+

GO)=

FH·EG.DBCAE1.如图，四边形

ABCD

是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm.求：(1)

对角线

AC的长度；解:∵四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点E，∴AC=

2AE=

2×12

=

24(cm)（菱形的对角线互相平分）.针对训练∴∠AED=

90°（菱形的对角线互相垂直），∴AE===12(cm).DE=BD=×10=5(cm)（菱形的对角线互相平分

）.DBCAE(2)

菱形

ABCD的面积.解：(2)

菱形

ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积=2×△ABD的面积

=120(cm2)=2×

×BD×AE=2××10×12

归纳菱形的面积计算有如下方法：(1)

一边长与这条边上的高(

即菱形的高

)的积；(2)

四个小直角三角形的面积之和

(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)

两条对角线长度乘积的一半．解：

∵花坛

ABCD

是菱形，

∴AC⟂BD，∠ABO=∠ABC=30°.在Rt△OAB中，AO=AB=10m，BO===10(m)，AC=2AO=20m，BD=2BO=20≈34.64(m)，∴S菱形ABCD

=4×S△OAB

=AC·BD=200≈346.4(m2)例3 如图，在菱形

ABCD

中，∠ABC

与∠BAD

的度数比为1：2，周长是

8cm．(1)两条对角线的长度.解：(1)∵四边形

ABCD

是菱形，∴AB=

BC，AC⊥BD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°.∵∠ABC与

∠BAD的度数比为1：2，∴∠ABC=

×180°

=

60°，∵菱形

ABCD的周长是

8cm．∴AB=

2cm，∴∠ABO=

×∠ABC=

30°，△ABC是等边三角形.∴OA=

AB=

1cm，AC

=

AB

=

2cm，∴OB==cm，∴BD=

2OB=2cm.

(2)菱形的面积．解：(2)S菱形ABCD

=

AC·BD=

×2×2=2(cm2)．归纳菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是

60°

时，菱形被分为以

60°

为顶角的两个等边三角形.

探究平行四边形如图两张不等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分是什么图形？两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分

ABCD

是什么图形？为什么？菱形分析：易知四边形

ABCD

是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可.由题意可知

BC边上的高和

CD边上的高相等，然后通过证

△ABE≌

△ADF，即得

AB=

AD.ACDBEF1.如图，在

△ABC

中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长

DE到点

F，使得

EF=BE，连接

CF.(1)

求证：四边形

BCFE

是菱形；证明：∵D、E分别是

AB、AC的中点，∴DE∥BC且

2DE

=BC.又∵

BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四边形

BCFE是平行四边形．又∵EF=BE，∴四边形

BCFE是菱形；针对训练解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC

是等边三角形，(2)若

CE＝4，∠BCF＝120°