三明会议的讲稿-高等代数课件

广义行列式及其应用

谭宜家（福州大学）厦门，集美，2013.11福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第十五次研讨会

广义行列式及其应用

谭宜家厦门，集美，2013.11福1一、引言对于数域上一个给定的n阶方阵，

的行列式是

其中是集合中所有置换组成的集合。表示置换的逆序数。矩阵的行列式在线性代数中起着重要的作用，它有很多有趣的性质。

一、引言其中是集合中2实际上，行列式、矩阵和线性方程组的解是紧密地联系在一起的;利用行列式，可直接找到可逆矩阵的逆矩阵的计算公式。Cramer法则是利用行列式解线性方程组。我们说，以上事实对于交换环上矩阵的行列式都是成立的，不同的是数域上的一个方阵可逆当且仅当它的行列式不等于0，而交换环上矩阵可逆当且仅当它的行列式在环中可逆（参看[10]）。实际上，行列式、矩阵和线性方程组的解是紧密地联系在一起3矩阵的积和式类似于矩阵的行列式。对于数域上一个给定的n阶矩阵，的积和式是

其中是集合中所有置换组成的集合。由于矩阵积和式不涉及到负号，所以矩阵积和式在一般交换半环上也可以定义。

矩阵的积和式类似于矩阵的行列式。对于数域上一个给定的4矩阵积和式的概念首先由Binet[1]和Cauchy[3]引入。自那以后，出版了大量关于积和式理论的研究工作。1978年,H.Minc[11]给出了关于积和式理论和应用的一些论述。自1980年以来，许多数学工作者研究了一些特殊半环上矩阵的积和式(例如，参看[5,7,8,9,13,16,18]).这些特殊半环包括了模糊代数，分配格和坡代数。矩阵积和式的概念首先由Binet[1]和5由上述可以看出，矩阵的行列式只能在交换环上定义，而积和式可以在一般交换半环上定义。那么，是否有一个方法可以将行列式与积和式统一起来呢？本文将引入一般交换半环上矩阵的行列式（或称广义行列式），并讨论它的一些基本性质。同时利用行列式给出半环上矩阵的可逆条件，并在半环上建立Cramer法则．所得的主要结论推广了交换环上矩阵的行列式[10]（特别是数域上矩阵的行列式），模糊矩阵的积和式[9,13],格矩阵的积和式[18]以及坡矩阵的积和式[8]中相应的结果。由上述可以看出，矩阵的行列式只能在交换环上定义，而积和式6二、基本概念与记号

定义1[6].一个代数系统称为一个半环。如果是一个交换幺半群（其恒等元为0），是另一个幺半群（其恒等元为1）；同时,均有,并且.

设是一个半环。称为交换的，如果,均有；

二、基本概念与记号设是一个半环。7称为一个零和自由半环[6]，如果,由可推出.零和自由半环又称为反环[14，17]。

一个半环称为加法幂,均有任何加法幂等半环是零和自由半环。等的[6]，如果。显然，

半环的例子是相当丰富的。例如，任何带有单位元的环都是半环，它不是零和自由的。特别地，我们所熟知的整数环，有理数域，实数域与复数域都是半环（实际上，它们都是特殊的环）。

称为一个零和自由半环[6]，如果8又如，每一个布尔代数，模糊代数，每一个有界分配格以及任何坡代数都是半环[2]（实际上，它们均为加法幂等半环，但它们不是环）。再如，max-plus代数和min-plus代数都是交换半环，它们均为加法幂等半环[4,19]，但它们不是环。另外，所有非负实数组成之集对于普通的加法与乘法构成一个半环称为非负实数半环。显然，非负实数半环既不是加法幂等半环也不是环。

又如，每一个布尔代数，模糊代9设是一个半环，。称为加法可逆的，如果存在，使得，称为的负元。加法可逆元构成的集合。设表示半环中所有仅当是零和自由半环，而当且仅当是一个环。显然，当且设是一个交换半环，表示上所有矩阵组成之集。

对于任意用表示中处的元素，

并记

的

设是一个半环，。10转置为.

设，.定义设是一个交换半环，，表示中所有偶置换构成的集合，表示中所有奇置换构成的集合。

定义的正行列式和负行列式如下转置为.设，.定义设是一个交换半环，，表11显然。

当是一个交换环时，

设是一个半环，上的一个映射称为上的一个-函数如果对于任意

均有

显然

显然。当是12注1：任何半环至少有一个-函数，因为上的恒等映射：是上的一个-函数。如果是一个交换环，那么映射：是上的一个-函数。定义2.设是一个交换半环，是一个-函数，。

上的定义的-行列式如下其中是集合中所有置换组成的集合，

表示置换的逆序数。

注1：任何半环至少有一个-函数，因为13定义为

是正整数。

因为，所以注2：如果是一个交换环，那么映射：是上的一个-函数。此时注3：对于任何交换半环

，恒等映射：是R上的一个-函数。此时定义为是正整数。因为，所以注2：如果是一个交14三、基本结论

1.定理1：对于任何，我们有(1)如果矩阵B是由A的某一行（或一列）乘以中的一个元素而得到，那么

(2)如果A的第i行（或第i列）是矩阵B的第i行（或第i列）与矩阵C的第i行（或第i列）的和，而它们其他的行（或列）都相同，那么三、基本结论(2)如果A的第i行（或第i列）是矩阵B的第15(3)(4)如果矩阵B是由A交换两行（或两列）而得到，那么(5)如果A的某两行（或两列）相同，那么(6)如果矩阵B是由A的第i行乘以一个元素加到A的第j行而得到，那么中的其中表示由A的第i行代替A的第j行而得到的矩阵。(3)(6)如果矩阵B是由A的第i行乘以一个元素加到162.定理2：设，那么对于任何

这里表示A中划去第i行第j行所得到的阶矩阵。3.定理3：对于任何，存在使得2.定理2：设，那么对于任何174.定理4：设是一个交换半环，是上的一个-函数，,那么对于任何当且仅当交换环并且对于任何

是一个均有

设是一个交换半环，是上的一个-函数，

定义的-伴随矩阵如下4.定理4：设是一个交换半环，是上的185.定理5：对于任何，我们有（1）（2）6.定理6:对于任何，存在，使得这里如果是一个交换环，那么映射：是上的一个-函数。此时由定理6,我们有

5.定理5：对于任何19推论1：如果是一个交换环，那么对于任何,均有7.定理7：对于任何，我们有（1）

其中表示由A的第i列代替A的第j列而得到的矩阵。（2）存在，使得推论1：如果是一个交换环，那么对于任何20由定理7，我们有

推论2：如果是一个交换环，那么对于任何，均有（1）（2）由定理7，我们有21四、两个应用

1.交换半环上可逆矩阵的一个等价刻画。设是一个半环，。称为可逆的，果存在，使得。称为的逆元，记为

设，称为可逆的，如果存在，使得。称为的逆矩阵，记为。

四、两个应用1.交换半环上可逆矩阵的一个等价刻画。设22

定理8：设是一个交换半环，是上的一个-函数满足对于任意，均有，那么，对于任何（1）可逆当且仅当在中可逆并且对于任何，均有在中加法可逆。（2）可逆当且仅当在中可逆并且对于任何，均有在中加法可逆。如果可逆，那么定理8：设是一个交换半环，是23由定理8，我们有推论3：如果是一个交换环，那么对于任何，可逆当且仅当在中可逆,特别地,当是一个域(数域)时,可逆当且仅当。如果可逆，那么由定理8，我们有242.交换半环上的Cramer法则

定理9：设是一个交换半环，是上的一个-函数满足对于任意，均有，，是上的维列向量。如果可逆，那么矩阵方程有唯一解其中，，是由中第列用向量代替所得到的矩阵。2.交换半环上的Cramer法则定理9：设是一25由定理9，我们有

推论4：设是一个交换环，，是上的维列向量。如果可逆，那么矩阵方程有唯一解其中，，是由中第列用向量代替所得到的矩阵。由定理9，我们有26

五、意义与价值1.理论意义：统一了行列式与积和式，方法需要创新。2.应用价值：在许多应用学科领域（例如：并行计算机系统、形式语言理论、最优化理论、自动化理论、离散动力系统、流程图模式分析以及开关电路分析等）涉及到的代数系统除了环（或域）之外，还涉及大量的其他类型的半环，如布尔代数，模糊代数，分配格，坡代数格，max-plus代数和min-plus代数以及非负实数半环等。五、意义与价值273.教学参考：对于本科生，研究生论文的选题具有一定的参考价值。六、参考文献[1]J.P.M.Binet,Memoiresurunsystµemedeformulesanalytiques,etleurapplicationµadesconsiderationsgeometriques,J.Ec.Polyt.9(1812)280-302[2]Z.Q.Cao,K.H.Kim,F.W.Roush,InclineAlgebraandApplications,JohnWiley,NewYork,1984

3.教学参考：对于本科生，研究生论文的选题具有一定的参考价值28[3]A.L.Cauchy,Memoiresurlesfonctionsquinepeuventobtenirquedeuxvaleursegalesetdesignescontrairesparsuitedestraspositionsopereesentrelesvariablesqu'ellesrenferment,J.Ec.Polyt.10(1812)29-11220[4]R.A.Cuninghame-Green,Minimaxalgebra,LectureNotesinEconomicsandMathematicalSystems166,Springer-Verlag,Berlin,1979[5]J.S.Duan,Thetransitiveclosure,convergenceofpowersandadjointofgeneralizedfuzzymatrices.FuzzySetsandSystems145(2004)301-311[3]A.L.Cauchy,Memoiresur29[6]J.S.Golan,SemiringsandTheirApplications,KluwerAcademicPublishers,1999[7]S.C.Han,H.X.Li,InvertibleinclinematricesandCramer'sruleoverinclines,LinearAlgebraanditsApplications389(2004)121-138[8]Y.Huang,Y.J.Tan,Aproblemoninclinematrices,J.ofFuzhouUniversity37(2009)12-18(inChinese)[9]J.B.Kim,A.Baartmans,N.S.Sahadin,Determinanttheoryforfuzzymatrices,FuzzySetsandSystems29(1989)349-356.[6]J.S.Golan,Semiringsand30[10]B.R.Mcdonald,LinearAlgebraoverCommutativeRings,MarcelDekker,INC.NewYork,1984.[11]H.Minc,Permanents,Addison-WesleyPublishingCompany,Massachusetts,U.S.A.1978.[12]P.L.Poplin,R.E.Hartwig,Determinantalidentitiesovercommutativesemirings,LinearAlgebraanditsApplications387(2004)99-132[13]M.Z.Ragab,E.G.Emam,Thedeterminantandadjointofasquarefuzzymatrix,FuzzySetsandSystems61(1994)297-307[10]B.R.Mcdonald,LinearAl31[14]Y.J.Tan,Oninvertiblematrices