【解析】吉林省东北师大附中2022-2023学年下册高三第七次模拟考试数学试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】交集及其运算

【解析】【解答】A集合不等式的解集为[-1，4]，B集合不等式解集为（1，+∞），二者交集为（1，4].

故答案为：D.

【分析】解A集合不等式，先把右边4移项到左边，运用十字相乘法或求根公式得出零点为-1和4，根据抛物线开口向上画出图像，取图像小于等于零部分的x取值。解B集合结合指数函数图象，图像为单调递增，不等式左边大于右边，则左边指数大于右边指数，右边指数为一次，所以x＞1.

2．已知复数满足(其中为虚数单位)，则复数的虚部为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】设z=a+bi，等式右边=5，等式左边=（a+bi）（1+2i）=a-2b+(b+2a)i=5，

所以a-2b=5，b+2a=0，

解得a=1，b=-2.

即复数的虚部为-2.

故答案为：A.

【分析】先把复数z写成有实部加虚部的形式，再进行乘法计算。等式右边直接看出勾三股四弦五，等式左边整理出实部加虚部的形式，其中左边实部等于右边实部等于五，左边虚部等于右边虚部等于零。建立方程组求出a和b.

3．若，则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】同角三角函数基本关系的运用

【解析】【解答】因为tanα=，

所以=，

整理得：sinα=，

所以sin2=，cos2α=；

所求=cos2α=cos2-sin2=，

故答案为：C.

【分析】从条件入手分析：等式右边有sin和cos，那么把左边tan化成sin/cos，整理求出sin，进而求出sin2和cos2；从问题入手分析：运用奇变偶不变，符号看象限，还有二倍角公式，化成cos2α=cos2-sin2，代入前面算出的值即可.

4．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那他至少经过（）小时才能驾驶．（参考数据）

A．5B．6C．7D．8

【答案】D

【知识点】对数函数图象与性质的综合应用

【解析】【解答】设x小时后才能驾驶，100×（1-20％）x＜20，0.8x＜0.2，x＞log0.80.2==lg2--1=lg2--1≈7.206，所以x＞7.206，

故答案为：D

【分析】根据问题设未知数x小时，原来100mL里有100mg酒精，需要减少到20mg以下才可以驾驶，所以列出不等式。通过换底公式和真数乘除把式子化成只含lg2，然后代入数值计算结果.

5．在矩形中，与相交于点，过点作于，则（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量的线性运算

【解析】【解答】在三角形ABC中，AB=1，BC=2，

所以AC=，AO=AC=，

根据等面积法：AB×AD=AE×BD，

所以AE=，

在直角三角形AEO中，

cos∠EAO==，

问题所求==.

故选D.

【分析】从问题入手分析，向量相乘等于两个向量的长度相乘再乘cos角度，所以要把矩形中三角形的边都用勾股定理求出来.

6．（2023·广东模拟）现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征

【解析】【解答】作轴截面图如下：为圆锥的轴截面，点为与侧面相切球的球心，点为切点，

由已知，可得，，，，

在中，，，，

所以，又，

所以，所以圆台的母线长为，

因为，，

所以为等边三角形，所以，

所以圆台的侧面积.

故答案为：D.

【分析】作轴截面图，求出圆台的母线长，底面半径长，结合侧面积公式可得其解.

7．已知双曲线的左、右焦点分为，，左、右顶点分别为，，点M，N在y轴上，且满足（O为坐标原点）．直线，与C的左、右支分别交于另外两点P，Q，若四边形为矩形，且P，N，三点共线，则C的离心率为（）

A．3B．2C．D．

【答案】A

【知识点】双曲线的简单性质

【解析】【解答】如图，

由，得，

设N（0，n），M(0，-2n)，

因为PQF2F1是矩形，所以Q和F2横坐标相等，都是c，

因为Q在双曲线上，

所以当x=c时，，

解得y=±，

所以P（-c，-），Q（c，-）；

因为PNA2三点共线，则斜率相等：kPN=kNA2，

整理得n=-；

因为PMA1三点共线，

所以得2n=，与n=-

联合得：，

整理得：c=3a，所以离心率e=c/a=3，

故答案为：A

【分析】根据OM和ON的方向相反且两倍关系，设M，N坐标，根据矩形图像定P，Q横坐标，由于P，Q在双曲线上，把横坐标带入双曲线方程求出纵坐标；MNPQA1A2各点坐标呈现之后，用两次三点共线斜率相等的关系，把n替换成abc之间的关系，通过整理把b消去，只剩下a和c的关系

8．已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，设函数．若对任意恒成立，则实数的最大值为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】偶函数

【解析】【解答】因为f（x）-x是偶函数，f(x)+x2是奇函数，所以f（x）-x=f（-x）+x，-f(x)-x2=f（-x）+x2，

整理得：f（x）=x-x2，当x∈[0，1]时，g(x)=f(x)，当x∈（1，2），g(x)=2g(x-1)，

以此类推，当x∈（4，5），g（x）=16f（x-4），

因为要使g(x)≤3，

所以16（x-4-(x-4)2）≤3，

解得x≤或x大于等于，

故选B.

【分析】先用奇偶函数的性质列出式子，表达出f(x)，再用g（x）的分段函数表达出每段的函数表达，取函数值等于三时的x取值.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（2023高三上·江阴开学考）已知的最小正周期为，则下列说法正确的有（）

A．

B．函数在上为增函数

C．直线是函数图象的一条对称轴

D．是函数图象的一个对称中心

【答案】B,D

【知识点】三角函数中的恒等变换应用；余弦函数的图象；余弦函数的性质

【解析】【解答】，

，

，A不正确；

当时，是函数的单调递增区间，B符合题意；

当时，，，所以不是函数的对称轴，C不正确；

当时，，，所以是函数的一个对称中心，D符合题意.

故答案为：BD

【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论.

10．数列首项，对一切正整数，都有，则（）

A．数列是等差数列

B．对一切正整数都有

C．存在正整数，使得

D．对任意小的正数，存在，使得

【答案】A,B,D

【知识点】等差数列概念与表示

【解析】【解答】A、因为an+1=2-，所以an+1-1=1-，通分得：an+1-1=，倒数得：，数列后项减前项得：-=-=1，所以数列{}的公差为1，故A正确；

B、因为a1=2＞1，所以0＜＜1，a2=2-＞1，以此类推，往后每项都大于1，故B正确；

C、由A知数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，通项公式为=n，则an=+1，如果存在n，使得an=2a2n，则+1=2×(+1)，无解，故C错误；

D、由C可以知道an=+1，an单调递减，由B可以知道an恒大于1，所以后项减前项的差无限小，接近0，故D正确

故答案为：ABD.

【分析】A用构造法，用已知条件构造出所问数列，把构造出的与作差，若差为定值，则为等差数列；B用推演可以推出a2，a3，a4…然后总结出每项大于1；C用假设法，假设成立，用A的数列表示出an表达式，带入方程发现无解，反证出C项不成立；D项的表达意思是，an+1与an无限接近，他们之间的距离会小于任意小的数，根据B我们知道an恒大于1，根据A知道an=+1，是单调递减的，那么an是一直变小但恒大于1，也就是说无限接近1，所以后项会跟前项越来越紧密，越来越靠近，符合D的表达意思.

11．已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦，记线段的中点分别为，则下列结论正确的是（）

A．圆的方程为

B．四边形面积的最大值为

C．弦的长度的取值范围为

D．直线恒过定点

【答案】A,C,D

【知识点】圆的切线方程

【解析】

【解答】

故选ACD.

【分析】

12．如图，平面四边形中，是等边三角形，且，是的中点.沿将翻折，折成三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（）

A．存在某个位置，使得与所成角为锐角

B．棱上总会有一点，使得平面

C．当三棱锥的体积最大时，

D．当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积是

【答案】B,C

【知识点】棱锥的结构特征；直线与平面平行的判定

【解析】【解答】A、取BD中点G，连接CG，MG，因为△BCD是等边三角形，所以CG⊥BD，又因为M是AD中点，所以MG∥AB，因为AB⊥BD，所以MG⊥BD，因为MG∩CG=G，MG，CG平面MCG，所以BD⊥平面MCG，因为MC平面MCG，所以BD⊥MC，故A错误；

B、取CD中点H，连接HM，因为M是AD的中点，所以HM∥AC，因为HM不在平面ABC上，AC平面ABC，所以HM∥平面ABC，故B正确；

C、设C到平面ABD的距离为h，因为AB⊥BD且AB=BD=2，所以S三角形ABD=×2×2=2，所以VC-ABD=S三角形ABD×h=h，故要使三棱锥C-ABD的体积最大，则h最大，所以当C的投影在棱BD上时，h最大，且hMAX=CG，此时CG⊥平面ABD，AB平面ABD，所以CG⊥AB，因为AB⊥BD，CG∩BD=G，CG，BD平面BCD，所以AB⊥平面BCD，BC平面BCD，所以AB⊥BC，故C正确；

D、因为△ABD为直角三角形，所以过M作MF⊥ABD，设F为三棱锥C-ABD的外接球球心，外接球半径为R，因为平面ABD⊥平面BDC，平面ABD∩平面BDC=BD，CG平面BDC，CG⊥BD，所以CG⊥平面ABD，所以CG∥MF，过点F作FE∥MG交CG于E，所以四边形MFEG为矩形，所以MF=EG，FD=FC=R，所以在Rt△MFD中，R2=MD2+MF2，即R2=2+MF2，在Rt△EFC中，R2=EF2+CE2，即R2=1+（-EG）2，进而解得R2=，所以三棱锥C-ABD的外接圆表面积为4πR2=，故D错误.

故答案为：BC.

【分析】等边三角形三线合一，CG是等边三角形的中线，也是高；MG是△ABD中位线，中位线与底边平行；因为BD与平面MCG里面两条线垂直，所以BD与平面MCG垂直，所以BD与平面MCG内所有线垂直；；中位线HM平行底边AC，HM与平面ABC内的一条线平行，则HM∥平面ABC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（2023·湖南模拟）已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为.

【答案】-84

【知识点】二项式定理；二项式系数的性质

【解析】【解答】由题意，

在中，展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，

∴，解得：，

因此的展开式的通项为：，

故的展开式中的常数项为.

故答案为：-84.

【分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得n值，在二项式展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值.

14．已知随机变量，则的最小值为．

【答案】

【知识点】离散型随机变量及其分布列

【解析】【解答】~N（1，2），可知正态分布曲线对称轴为x=1，

因为P(≤0）=P（≥a），

所以=1，a=2，

令f（x）=，

则f'(x)=，

当x∈（0，），f'(x)＜0，f(x)单调递减，

当x∈（，2），f'(x)＞0，f(x)单调递增，则f(x)最小值为f()=+3=.

故填：.

【分析】求出a之后，用导数求单调性和最值

15．已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为．

【答案】

【知识点】椭圆的简单性质

【解析】【解答】设直线方程为y=x+b，A（x1，y1），B（x2，y2），

因为直线与椭圆相交AB两点，所以联立方程组得：，

韦达定理得：x1+x2=，y1+y2=(x1+x2)+2b=b，

所以AB中点M（）=()，

由M点坐标可知，无论b为何值，M在y=-2x直线上，

所以M的轨迹为直线y=-2x与椭圆所交的弦长，联立方程组解得：，则弦长为

故答案为：.

【分析】通过设直线方程，表达出A和B点坐标，通过AB坐标表达出中点M坐标，再用M坐标得出弦长方程，弦长方程与椭圆方程联立求出交点，再用交点坐标求出弦长，即M的运动轨迹.

16．设函数，若不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是．

【答案】

【知识点】指、对数不等式的解法

【解析】【解答】f(x)=axex-ax+a-ex(a>0)，f(x)0，则>x-+e-x，令h(x)=x-+e-x，可得h'(x)=，令=ex+x-2，可得'(x)=ex+1>0，所以单调递增，又因为（0）=-1＜0，（1）=e-1＞0，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得（x0）=0，当x∈（-，x0）时，＜0，可得h'(x)＜0，所以h(x)单调递减，当x∈（x0，+）时，＞0，可得h'(x)＞0，所以h(x)单调递增，且x0∈（0，1），又因为h(0)=1，h(1)=1，h(-1)=2e-1，h(2)=2-，所以当原不等式有且仅有两个整数解时，则满足1＜≤2-，解得，即实数a的取值范围为[，1)

【分析】

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知中角的对边分别为，．

（1）求；

（2）若，且的面积为，求周长．

【答案】（1）解：由和正弦定理可得，

，

因为，所以，

所以，，，

，；

（2）解：，，

又，

，

，

的周长为.

【知识点】解三角形；三角形中的几何计算

【解析】【分析】（1）运用正弦定理，把条件中的边长都变为角度，等式中含有ABC三个角，把其中一个角换成另外两个角表达∠B=180°-(∠A+∠C)，奇变偶不变符号看象限，所以sinB=sin(A+C)，运用三角和差公式化简，因为A∈（0，π），所以A-∈（，），所以在此范围内找到sin值为的角，即可求A；

（2）已知A和面积，利用三角形面积公式，求出bc，利用余弦定理求出b+c，进而求出周长.

18．已知数列是公比为的等比数列，前项和为，且满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和．

【答案】（1）解：由题意得，故，，

即；

（2）解：由已知，得n为奇数时，；

当n为偶数时，

，

则

．

【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和

【解析】【分析】（1）给定两个条件都可以写成a1与q的关系，联立方程即可求出

（2）利用数列a的通项公式，表达出b的通项公式，求2n项和分成奇数项求和+偶数项求和，相当于两个数列求和

19．如图，在四面体中，．点为棱上的点，且，三棱锥的体积为．

（1）求点A到平面的距离；

（2）求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】（1）解：取中点，连接，因为，所以，

又平面，

所以平面，而平面，所以，

由已知，所以，

由平面平面，得平面平面，

因此在平面内的射影就是直线，

设在面的射影为，则在直线上，

由题意知，则，

所以，

所以，又因为，所以与重合，所以平面，

以为原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

所以点坐标为，

．

设平面的一个法向量是，

则，取，则，即，

所以点A到平面的距离．

（2）解：设平面的法向量为，

则，取，则，

故，

所以，

由于平面与平面夹角范围为，

所以平面与平面夹角的余弦值是．

【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间向量的正交分解及坐标表示

【解析】【分析】（1）通过建立直角坐标系，用向量求点到面的距离，因为△ACD是等腰三角形，所以作底边中线即为AC的高，得到一个垂直，根据线面垂直证明得到AC⊥面DEF，所以AC垂直该面内所有线，得到第二个垂直，可以由此建立空间直角坐标系；

（2）求两个平面的夹角余弦值，先求两个平面法向量的余弦值，再根据平面夹角的范围判断正负.

20．概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．马尔科夫不等式的形式如下：

设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，

马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系．当为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：

设的分布列为其中，则对任意，，其中符号表示对所有满足的指标所对应的求和．

切比雪夫不等式的形式如下：

设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有

（1）根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量成立．

（2）某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为．现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．

【答案】（1）解：法一：对非负离散型随机变量及正数使用马尔科夫不等式，

有．

法二：设的分布列为

其中，记，则对任意，

（2）解：设在100名患者中治愈的人数为．假设药企关于此新药有效率的宣传内容是客观真实的，

那么在此假设下，．

由切比雪夫不等式，有．

即在假设下，100名患者中治愈人数不超过60人的概率不超过0.04，此概率很小，

据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信．

【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差

21．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为的准线交轴于点，过的直线与拋物线相切于点，且交轴正半轴于点．已知的面积为2．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点的直线交于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足．证明：直线过定点．

【答案】（1）解：由题可知，，准线，

.

因为直线的斜率存在且不为0，所以设，

联立，消去，得，

因为与相切，所以，所以（舍去）．

因此，解得，所以，

故，所以，所以（负值舍去），

所以抛物线的方程为．

（2）解：由（1）知，又，所以．

因为斜率存在且不为零，所以设：，

联立，消去，得，

则，所以且．

又直线，令，得，所以，

因为，所以，所以，

所以直线的方程为，

所以

，

因为，

所以直线为，所以恒过定点．

【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质

【解析】【分析】（1）利用抛物线表达式设出F、K点坐标（含未知数p），利用K坐标设直线方程（含未知数m），因为抛物线和直线相切，所以联立方程，有唯一解，△=0，得到m=1，求出y（含p），得到切点A的坐标表达，已知三角形面积为2，求出p；

（2）利用坐标表达向量，用已知向量关系求出直线HN的斜率，进一步得到直线表达式，观察直线方程得出定点.

22．已知函数，其中．

（1）若直线为曲线的一条切线，求实数的值；

（2）若对任意两个不相等的正实数，均有，求实数的取值范围．

【答案】（1）解：设直线与曲线切于点，

则由题意有，即，

消去，整理得．（*）

令，则且为增函数，

由此，方程（*）存在唯一解，

综上，实数的值为．

（2）解：不妨设，原不等式即，

约去，整理得，

令，则由题意，．

．

令，则在区间内单调递增．

①若，即，则当时，，从而，

在区间内单调递增，所以，当时，，符合题意．

②若，即，则，且．

由零点存在性定理及的单调性知，存在，使得，

且当时，在内单调递减．

由此，当时，，与已知矛盾．

综上，实数的取值范围为．

【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点

1/1吉林省东北师大附中2022-2023学年下册高三第七次模拟考试数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则（）

A．B．C．D．

2．已知复数满足(其中为虚数单位)，则复数的虚部为（）

A．B．C．D．

3．若，则（）

A．B．C．D．

4．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那他至少经过（）小时才能驾驶．（参考数据）

A．5B．6C．7D．8

5．在矩形中，与相交于点，过点作于，则（）

A．B．C．D．

6．（2023·广东模拟）现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（）

A．B．C．D．

7．已知双曲线的左、右焦点分为，，左、右顶点分别为，，点M，N在y轴上，且满足（O为坐标原点）．直线，与C的左、右支分别交于另外两点P，Q，若四边形为矩形，且P，N，三点共线，则C的离心率为（）

A．3B．2C．D．

8．已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，设函数．若对任意恒成立，则实数的最大值为（）

A．B．C．D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（2023高三上·江阴开学考）已知的最小正周期为，则下列说法正确的有（）

A．

B．函数在上为增函数

C．直线是函数图象的一条对称轴

D．是函数图象的一个对称中心

10．数列首项，对一切正整数，都有，则（）

A．数列是等差数列

B．对一切正整数都有

C．存在正整数，使得

D．对任意小的正数，存在，使得

11．已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦，记线段的中点分别为，则下列结论正确的是（）

A．圆的方程为

B．四边形面积的最大值为

C．弦的长度的取值范围为

D．直线恒过定点

12．如图，平面四边形中，是等边三角形，且，是的中点.沿将翻折，折成三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（）

A．存在某个位置，使得与所成角为锐角

B．棱上总会有一点，使得平面

C．当三棱锥的体积最大时，

D．当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（2023·湖南模拟）已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为.

14．已知随机变量，则的最小值为．

15．已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为．

16．设函数，若不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知中角的对边分别为，．

（1）求；

（2）若，且的面积为，求周长．

18．已知数列是公比为的等比数列，前项和为，且满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和．

19．如图，在四面体中，．点为棱上的点，且，三棱锥的体积为．

（1）求点A到平面的距离；

（2）求平面与平面夹角的余弦值．

20．概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．马尔科夫不等式的形式如下：

设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，

马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系．当为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：

设的分布列为其中，则对任意，，其中符号表示对所有满足的指标所对应的求和．

切比雪夫不等式的形式如下：

设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有

（1）根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量成立．

（2）某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为．现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．

21．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为的准线交轴于点，过的直线与拋物线相切于点，且交轴正半轴于点．已知的面积为2．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点的直线交于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足．证明：直线过定点．

22．已知函数，其中．

（1）若直线为曲线的一条切线，求实数的值；

（2）若对任意两个不相等的正实数，均有，求实数的取值范围．

答案解析部分

1．【答案】D

【知识点】交集及其运算

【解析】【解答】A集合不等式的解集为[-1，4]，B集合不等式解集为（1，+∞），二者交集为（1，4].

故答案为：D.

【分析】解A集合不等式，先把右边4移项到左边，运用十字相乘法或求根公式得出零点为-1和4，根据抛物线开口向上画出图像，取图像小于等于零部分的x取值。解B集合结合指数函数图象，图像为单调递增，不等式左边大于右边，则左边指数大于右边指数，右边指数为一次，所以x＞1.

2．【答案】A

【知识点】复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】设z=a+bi，等式右边=5，等式左边=（a+bi）（1+2i）=a-2b+(b+2a)i=5，

所以a-2b=5，b+2a=0，

解得a=1，b=-2.

即复数的虚部为-2.

故答案为：A.

【分析】先把复数z写成有实部加虚部的形式，再进行乘法计算。等式右边直接看出勾三股四弦五，等式左边整理出实部加虚部的形式，其中左边实部等于右边实部等于五，左边虚部等于右边虚部等于零。建立方程组求出a和b.

3．【答案】C

【知识点】同角三角函数基本关系的运用

【解析】【解答】因为tanα=，

所以=，

整理得：sinα=，

所以sin2=，cos2α=；

所求=cos2α=cos2-sin2=，

故答案为：C.

【分析】从条件入手分析：等式右边有sin和cos，那么把左边tan化成sin/cos，整理求出sin，进而求出sin2和cos2；从问题入手分析：运用奇变偶不变，符号看象限，还有二倍角公式，化成cos2α=cos2-sin2，代入前面算出的值即可.

4．【答案】D

【知识点】对数函数图象与性质的综合应用

【解析】【解答】设x小时后才能驾驶，100×（1-20％）x＜20，0.8x＜0.2，x＞log0.80.2==lg2--1=lg2--1≈7.206，所以x＞7.206，

故答案为：D

【分析】根据问题设未知数x小时，原来100mL里有100mg酒精，需要减少到20mg以下才可以驾驶，所以列出不等式。通过换底公式和真数乘除把式子化成只含lg2，然后代入数值计算结果.

5．【答案】D

【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量的线性运算

【解析】【解答】在三角形ABC中，AB=1，BC=2，

所以AC=，AO=AC=，

根据等面积法：AB×AD=AE×BD，

所以AE=，

在直角三角形AEO中，

cos∠EAO==，

问题所求==.

故选D.

【分析】从问题入手分析，向量相乘等于两个向量的长度相乘再乘cos角度，所以要把矩形中三角形的边都用勾股定理求出来.

6．【答案】D

【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征

【解析】【解答】作轴截面图如下：为圆锥的轴截面，点为与侧面相切球的球心，点为切点，

由已知，可得，，，，

在中，，，，

所以，又，

所以，所以圆台的母线长为，

因为，，

所以为等边三角形，所以，

所以圆台的侧面积.

故答案为：D.

【分析】作轴截面图，求出圆台的母线长，底面半径长，结合侧面积公式可得其解.

7．【答案】A

【知识点】双曲线的简单性质

【解析】【解答】如图，

由，得，

设N（0，n），M(0，-2n)，

因为PQF2F1是矩形，所以Q和F2横坐标相等，都是c，

因为Q在双曲线上，

所以当x=c时，，

解得y=±，

所以P（-c，-），Q（c，-）；

因为PNA2三点共线，则斜率相等：kPN=kNA2，

整理得n=-；

因为PMA1三点共线，

所以得2n=，与n=-

联合得：，

整理得：c=3a，所以离心率e=c/a=3，

故答案为：A

【分析】根据OM和ON的方向相反且两倍关系，设M，N坐标，根据矩形图像定P，Q横坐标，由于P，Q在双曲线上，把横坐标带入双曲线方程求出纵坐标；MNPQA1A2各点坐标呈现之后，用两次三点共线斜率相等的关系，把n替换成abc之间的关系，通过整理把b消去，只剩下a和c的关系

8．【答案】B

【知识点】偶函数

【解析】【解答】因为f（x）-x是偶函数，f(x)+x2是奇函数，所以f（x）-x=f（-x）+x，-f(x)-x2=f（-x）+x2，

整理得：f（x）=x-x2，当x∈[0，1]时，g(x)=f(x)，当x∈（1，2），g(x)=2g(x-1)，

以此类推，当x∈（4，5），g（x）=16f（x-4），

因为要使g(x)≤3，

所以16（x-4-(x-4)2）≤3，

解得x≤或x大于等于，

故选B.

【分析】先用奇偶函数的性质列出式子，表达出f(x)，再用g（x）的分段函数表达出每段的函数表达，取函数值等于三时的x取值.

9．【答案】B,D

【知识点】三角函数中的恒等变换应用；余弦函数的图象；余弦函数的性质

【解析】【解答】，

，

，A不正确；

当时，是函数的单调递增区间，B符合题意；

当时，，，所以不是函数的对称轴，C不正确；

当时，，，所以是函数的一个对称中心，D符合题意.

故答案为：BD

【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论.

10．【答案】A,B,D

【知识点】等差数列概念与表示

【解析】【解答】A、因为an+1=2-，所以an+1-1=1-，通分得：an+1-1=，倒数得：，数列后项减前项得：-=-=1，所以数列{}的公差为1，故A正确；

B、因为a1=2＞1，所以0＜＜1，a2=2-＞1，以此类推，往后每项都大于1，故B正确；

C、由A知数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，通项公式为=n，则an=+1，如果存在n，使得an=2a2n，则+1=2×(+1)，无解，故C错误；

D、由C可以知道an=+1，an单调递减，由B可以知道an恒大于1，所以后项减前项的差无限小，接近0，故D正确

故答案为：ABD.

【分析】A用构造法，用已知条件构造出所问数列，把构造出的与作差，若差为定值，则为等差数列；B用推演可以推出a2，a3，a4…然后总结出每项大于1；C用假设法，假设成立，用A的数列表示出an表达式，带入方程发现无解，反证出C项不成立；D项的表达意思是，an+1与an无限接近，他们之间的距离会小于任意小的数，根据B我们知道an恒大于1，根据A知道an=+1，是单调递减的，那么an是一直变小但恒大于1，也就是说无限接近1，所以后项会跟前项越来越紧密，越来越靠近，符合D的表达意思.

11．【答案】A,C,D

【知识点】圆的切线方程

【解析】

【解答】

故选ACD.

【分析】

12．【答案】B,C

【知识点】棱锥的结构特征；直线与平面平行的判定

【解析】【解答】A、取BD中点G，连接CG，MG，因为△BCD是等边三角形，所以CG⊥BD，又因为M是AD中点，所以MG∥AB，因为AB⊥BD，所以MG⊥BD，因为MG∩CG=G，MG，CG平面MCG，所以BD⊥平面MCG，因为MC平面MCG，所以BD⊥MC，故A错误；

B、取CD中点H，连接HM，因为M是AD的中点，所以HM∥AC，因为HM不在平面ABC上，AC平面ABC，所以HM∥平面ABC，故B正确；

C、设C到平面ABD的距离为h，因为AB⊥BD且AB=BD=2，所以S三角形ABD=×2×2=2，所以VC-ABD=S三角形ABD×h=h，故要使三棱锥C-ABD的体积最大，则h最大，所以当C的投影在棱BD上时，h最大，且hMAX=CG，此时CG⊥平面ABD，AB平面ABD，所以CG⊥AB，因为AB⊥BD，CG∩BD=G，CG，BD平面BCD，所以AB⊥平面BCD，BC平面BCD，所以AB⊥BC，故C正确；

D、因为△ABD为直角三角形，所以过M作MF⊥ABD，设F为三棱锥C-ABD的外接球球心，外接球半径为R，因为平面ABD⊥平面BDC，平面ABD∩平面BDC=BD，CG平面BDC，CG⊥BD，所以CG⊥平面ABD，所以CG∥MF，过点F作FE∥MG交CG于E，所以四边形MFEG为矩形，所以MF=EG，FD=FC=R，所以在Rt△MFD中，R2=MD2+MF2，即R2=2+MF2，在Rt△EFC中，R2=EF2+CE2，即R2=1+（-EG）2，进而解得R2=，所以三棱锥C-ABD的外接圆表面积为4πR2=，故D错误.

故答案为：BC.

【分析】等边三角形三线合一，CG是等边三角形的中线，也是高；MG是△ABD中位线，中位线与底边平行；因为BD与平面MCG里面两条线垂直，所以BD与平面MCG垂直，所以BD与平面MCG内所有线垂直；；中位线HM平行底边AC，HM与平面ABC内的一条线平行，则HM∥平面ABC.

13．【答案】-84

【知识点】二项式定理；二项式系数的性质

【解析】【解答】由题意，

在中，展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，

∴，解得：，

因此的展开式的通项为：，

故的展开式中的常数项为.

故答案为：-84.

【分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得n值，在二项式展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值.

14．【答案】

【知识点】离散型随机变量及其分布列

【解析】【解答】~N（1，2），可知正态分布曲线对称轴为x=1，

因为P(≤0）=P（≥a），

所以=1，a=2，

令f（x）=，

则f'(x)=，

当x∈（0，），f'(x)＜0，f(x)单调递减，

当x∈（，2），f'(x)＞0，f(x)单调递增，则f(x)最小值为f()=+3=.

故填：.

【分析】求出a之后，用导数求单调性和最值

15．【答案】

【知识点】椭圆的简单性质

【解析】【解答】设直线方程为y=x+b，A（x1，y1），B（x2，y2），

因为直线与椭圆相交AB两点，所以联立方程组得：，

韦达定理得：x1+x2=，y1+y2=(x1+x2)+2b=b，

所以AB中点M（）=()，

由M点坐标可知，无论b为何值，M在y=-2x直线上，

所以M的轨迹为直线y=-2x与椭圆所交的弦长，联立方程组解得：，则弦长为

故答案为：.

【分析】通过设直线方程，表达出A和B点坐标，通过AB坐标表达出中点M坐标，再用M坐标得出弦长方程，弦长方程与椭圆方程联立求出交点，再用交点坐标求出弦长，即M的运动轨迹.

16．【答案】

【知识点】指、对数不等式的解法

【解析】【解答】f(x)=axex-ax+a-ex(a>0)，f(x)0，则>x-+e-x，令h(x)=x-+e-x，可得h'(x)=，令=ex+x-2，可得'(x)=ex+1>0，所以单调递增，又因为（0）=-1＜0，（1）=e-1＞0，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得（x0）=0，当x∈（-，x0）时，＜0，可得h'(x)＜0，所以h(x)单调递减，当x∈（x0，+）时，＞0，可得h'(x)＞0，所以h(x)单调递增，且x0∈（0，1），又因为h(0)=1，h(1)=1，h(-1)=2e-1，h(2)=2-，所以当原不等式有且仅有两个整数解时，则满足1＜≤2-，解得，即实数a的取值范围为[，1)

【分析】

17．【答案】（1）解：由和正弦定理可得，

，

因为，所以，

所以，，，

，；

（2）解：，，

又，

，

，

的周长为.

【知识点】解三角形；三角形中的几何计算

【解析】【分析】（1）运用正弦定理，把条件