【解析】上海市黄浦区格致中学2023届高三上学期数学期中考试试卷

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一、单选题

1．（2023高二上·阳高月考）一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）

A．55.2，3.6B．55.2，56.4C．64.8，63.6D．64.8，3.6

【答案】D

【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差

【解析】【解答】设这组数据分别为，

由其平均数为，方差是，则有，

方差，

若将这组数据中每一个数据都加上，则数据为，

则其平均数为，

方差为，

故答案为：D.

【分析】利用平均数公式和方差公式求出一组数据的平均数和方差，再利用一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，再结合将这组数据中每一个数据都加上，则变形求出所得新数据的平均数和方差。

2．（2023高三上·黄浦期中）已知平面，直线，满足，且互为异面直线，则“且”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面垂直的判定

【解析】【解答】充分性：互为异面直线，且，

则内必存在两条相交直线，使得，

若且，则且，，故充分性成立；

必要性：互为异面直线，且，

则内必存在两条相交直线，使得，

若，则且，且，故必要性成立，

“且”是“”的充要条件.

故答案为：C.

【分析】内必存在两条相交直线，使得，从而可推出.

3．（2023高三上·黄浦期中）设函数，若实数满足且，则的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】分段函数的应用

【解析】【解答】画出函数的图像如图所示：

互不相等的实数，满足，

可得，，，

，，，

，，，

则的取值范围是.

故答案为：C.

【分析】画出函数图象可得且，则可求出.

4．（2023高三上·黄浦期中）设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则，②对任意，若，则，下列说法正确的是（）

A．若有2个元素，则有3个元素

B．若有2个元素，则有4个元素

C．存在3个元素的集合，满足有5个元素

D．存在3个元素的集合，满足有4个元素

【答案】A

【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的个数问题

【解析】【解答】若有2个元素，不妨设，

以为中至少有两个元素，不妨设，

由②知，因此集合中的两个元素必为相反数，故可设，

由①得，由于集合中至少两个元素，故至少还有另外一个元素，

当集合有个元素时，由②得：，则或.

当集合有多于个元素时，不妨设，

其中，

由于，所以，

若，则，但此时，

即集合中至少有这三个元素，

若，则集合中至少有这三个元素，

这都与集合中只有2个运算矛盾，

综上，，A符合题意；

当集合有个元素，不妨设，

其中，则，所以，

集合中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合中至少个元素，与矛盾，排除C，D.

故答案为：A.

【分析】不妨设，由②知集合中的两个元素必为相反数，设，由①得，由于集合中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素，分集合有个元素和多于个元素分类讨论，即可求解.

二、填空题

5．（2023高三上·黄浦期中）函数的定义域为.

【答案】

【知识点】函数的定义域及其求法

【解析】【解答】依题意，由解得函数的定义域为.

故答案为：.

【分析】利用偶次方根的被开方数大于等于0和分式的分母不等于0，即求得答案.

6．（2023高二上·宝山期中）行列式中，6的代数余子式的值是．

【答案】6

【知识点】二阶行列式的定义

【解析】【解答】由题意，可得6的代数余子式．

故答案为6．

【分析】根据代数余子式的定义得到6的代数余子式，利用行列式的展开，即可求得答案．

7．（2023高三上·黄浦期中）若抛物线上一点到焦点的距离为4，则点的横坐标为.

【答案】3

【知识点】抛物线的定义

【解析】【解答】易见，抛物线的准线方程为，设，则到准线的距离为，等于到焦点的距离为4，即，故，即点的横坐标为3.

故答案为：3.

【分析】根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，列关系即得结果.

8．（2023高三上·黄浦期中）已知复数（，为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，且，则复数.

【答案】

【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模

【解析】【解答】因为，所以，解得.

又因为在复平面内对应的点位于第二象限，所以.

所以.

故答案为：

【分析】根据得到，解方程即可.

9．（2023高三上·黄浦期中）若的展开式中的系数为，则.

【答案】-1

【知识点】二项式定理

【解析】【解答】求得二项式的展开式的通项为，

当，解得，此时，

所以，解得.

故答案为：-1.

【分析】由题意，二项式展开式的通项为，结合题意，求得，进而得到关于的方程，即可求解.

10．（2023高三上·黄浦期中）关于的方程有大于的实数根，则实数的取值范围是.

【答案】

【知识点】对数函数的单调性与特殊点；其他不等式的解法

【解析】【解答】方程有大于的实数根，即，故，即，等价于，即得.

故答案为：.

【分析】利用方程有大于的实数根，得到范围，即得范围，再解分式不等式即得结果.

11．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．

【答案】（﹣7，3）

【知识点】函数单调性的性质；一元二次不等式及其解法

【解析】【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），

则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，

即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，

所以|x+2|＜5，

解得﹣7＜x＜3，

所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．

故答案为：（﹣7，3）．

【分析】由偶函数性质得：f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可变为f（|x+2|）＜5，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+2|的范围，再求x范围即可．

12．（2023高三上·黄浦期中）如果直线将圆：平分，且不经过第四象限，则的斜率取值范围是.

【答案】[0,2]

【知识点】斜率的计算公式

【解析】【解答】可变为，

由题意，直线过圆心，

在平面直角坐标系中作出直线，如图；

当直线过原点时，直线斜率，

数形结合可得，的斜率取值范围是[0,2].

故答案为：[0,2].

【分析】转化条件为直线过圆心，结合直线斜率的概念数形结合即可得解.

13．（2023高三上·黄浦期中）某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念.已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有种.

【答案】16

【知识点】简单计数与排列组合

【解析】【解答】农场主在中间共有种站法，

农场主在中间，两名男生相邻共有种站法，

故所求站法共有种.

故答案为：16

【分析】根据正难则反原理，可求男生相邻的情况，再拿所有情况减去即可.

14．（2023高三上·黄浦期中）已知数列的首项，函数为奇函数，记为数列的前项和，则的值为.

【答案】1010

【知识点】奇函数与偶函数的性质；数列的求和；数列的递推公式

【解析】【解答】解：因为是奇函数，，

所以，，

，

，

，

，

如此继续，

得..

故答案为：1010.

【分析】利用是奇函数，推出，推出函数的周期，然后转化求解即可.

15．（2023高二下·南充月考）已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为．

【答案】

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【解答】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，

∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|++|AF|=|PA|++|AF|+，

由于是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+最小，即P、A、共线，

∵，（－3,0），∴直线的方程为，即代入整理得，

解得或(舍)，所以P点的纵坐标为，

∴=.

【分析】由双曲线定义得到，由于是定值，得到P、A、共线时△APF的周长最小，把直线的方程代入双曲线方程，解得P点的纵坐标，即可求出该三角形的面积.

16．（2023高三上·黄浦期中）如图，已知，为的中点，分别以，为直径在的同侧作半圆，，分别为两半圆上的动点（不含端点，，），且，则的最大值为．

【答案】

【知识点】二次函数的性质；平面向量的数量积运算

【解析】【解答】解：以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，可得

以为直径的半圆方程为

以为直径的半圆方程为（，

设

可得

即有

即为

即有可得，即，

则

可得即β时，

的最大值为，

故答案为．

【分析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，求得的坐标，可得以为直径的半圆方程，以为直径的半圆方程，设出的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．

三、解答题

17．（2023高三上·黄浦期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱平面，为的中点，.

（1）证明：直线平面；

（2）求点到平面的距离.

【答案】（1）证明：连接交于，连接，因为底面为矩形，所以为中点，

因为为中点，在中，分别为两边中点，所以，

又因为平面，所以直线平面，

（2）解：建立如图所示空间坐标系，，，

所以，，，

设为平面的法向量，，

所以，令，其中一个法向量，

设点到平面的距离为，

所以.

【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算

【解析】【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线证明，结合线面平行的判定定理可完成证明；（2）建立空间直角坐标系，先求解出平面的法向量和，然后根据即可求解出结果.

18．（2023高三上·黄浦期中）设函数

（1）求函数的单调递增区间；

（2）在锐角中，若，求的面积.

【答案】（1）解：由已知得，

令，解得，

所以的单调递增区间为；

（2）解：因为，所以，又锐角中，，即，所以，所以，

由，，得，

所以，故，

由正弦定理得，，，故三角形面积.

【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质；同角三角函数间的基本关系；正弦定理

【解析】【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式和两角和与差的正弦公式的逆应用化简，再利用正弦型函数的单调性求单调递增区间即可；（2）先结合（1），利用解得，再利用解得角的正余弦，再计算B角的正弦，结合正弦定理和面积公式计算三角形面积即可.

19．（2023高三上·黄浦期中）新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率，A公司生产t万件防护服还需投入成本（万元）.

（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数；

（2）对任意的（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）

【答案】（1）解：因为公司生产万件防护服还需投入成本，政府以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，且提供（万元）的专项补贴，

所以，公司生产防护服的利润

；

（2）解：为使公司不产生亏损，只需利润在上恒成立；即在上恒成立；

因为，

令，因为，所以，

记，

任取，

则

因为，，所以，即，

所以，即，

所以函数在上单调递增；

因此，即的最大值为；

所以只需，即.

【知识点】函数的最大（小）值；根据实际问题选择函数类型

【解析】【分析】（1）根据题意，由利润等于收入减去成本，即可列出函数关系；（2）根据（1）的结果，由题意，只需在上恒成立，即在上恒成立，根据函数单调性，求出的最大值，即可得出结果.

20．（2023高三上·黄浦期中）已知椭圆的短轴为2，椭圆上的点到焦点的最短距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为，斜率为的直线与椭圆交于两点，求证：直线与的斜率之和为定值；

（3）过右焦点作相互垂直的弦，求的最小值.

【答案】（1）解：因为短轴为2，所以，

又因为椭圆上的点到焦点的最短距离为，所以，

又因为，解得，

所以椭圆的标准方程为；

（2）解：由题意得，

设直线为，与联立得：

设，则

所以，

所以与的斜率之和为定值；

（3）解：当直线斜率不存在时，

当直线斜率存在时，设直线为，直线为，

得，

所以，

所以，

同理，

所以

因为，所以，当且仅当时取等号，

所以的最小值为.

【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】（1）由题知，，再结合即可得椭圆的标准方程为；（2）由题意得，设，直线为，直线与椭圆联立化简得，进而；（3）当直线斜率不存在时，，当直线斜率存在时，设直线为，直线为，进而得，再结合基本不等式即可得答案.

21．（2023高三上·黄浦期中）若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.

（1）若具有性质，且，求；

（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；

（3）设是无穷数列，已知，求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

【答案】（1）解：因为具有性质，且，所以，所以，

所以，，所以，

（2）解：设无穷数列的公差为：，无穷数列的公比为，则，，所以，所以，

，所以，则，

因为，而，

，但是，所以不具有性质；

（3）解：充分性：若是常数列，设，则

若存在使得，则，故具有性质，

必要性：若对于任意具有性质，则，设函数

由图像可得，对于任意的，二者图象必有一个交点，所以一定能找到一个，使得，

所以，所以，故，所以是常数列.

【知识点】数列与函数的综合；等差数列与等比数列的综合

【解析】【分析】（1）由具有性质，可得，，则可求出；（2）求出的通项公式，可得出，但是，即可判断；（3）由充要条件的定义分别证明充分性和必要性成立.

1/1上海市黄浦区格致中学2023届高三上学期数学期中考试试卷

一、单选题

1．（2023高二上·阳高月考）一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）

A．55.2，3.6B．55.2，56.4C．64.8，63.6D．64.8，3.6

2．（2023高三上·黄浦期中）已知平面，直线，满足，且互为异面直线，则“且”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．（2023高三上·黄浦期中）设函数，若实数满足且，则的取值范围为（）

A．B．C．D．

4．（2023高三上·黄浦期中）设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则，②对任意，若，则，下列说法正确的是（）

A．若有2个元素，则有3个元素

B．若有2个元素，则有4个元素

C．存在3个元素的集合，满足有5个元素

D．存在3个元素的集合，满足有4个元素

二、填空题

5．（2023高三上·黄浦期中）函数的定义域为.

6．（2023高二上·宝山期中）行列式中，6的代数余子式的值是．

7．（2023高三上·黄浦期中）若抛物线上一点到焦点的距离为4，则点的横坐标为.

8．（2023高三上·黄浦期中）已知复数（，为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，且，则复数.

9．（2023高三上·黄浦期中）若的展开式中的系数为，则.

10．（2023高三上·黄浦期中）关于的方程有大于的实数根，则实数的取值范围是.

11．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．

12．（2023高三上·黄浦期中）如果直线将圆：平分，且不经过第四象限，则的斜率取值范围是.

13．（2023高三上·黄浦期中）某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念.已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有种.

14．（2023高三上·黄浦期中）已知数列的首项，函数为奇函数，记为数列的前项和，则的值为.

15．（2023高二下·南充月考）已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为．

16．（2023高三上·黄浦期中）如图，已知，为的中点，分别以，为直径在的同侧作半圆，，分别为两半圆上的动点（不含端点，，），且，则的最大值为．

三、解答题

17．（2023高三上·黄浦期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱平面，为的中点，.

（1）证明：直线平面；

（2）求点到平面的距离.

18．（2023高三上·黄浦期中）设函数

（1）求函数的单调递增区间；

（2）在锐角中，若，求的面积.

19．（2023高三上·黄浦期中）新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率，A公司生产t万件防护服还需投入成本（万元）.

（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数；

（2）对任意的（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）

20．（2023高三上·黄浦期中）已知椭圆的短轴为2，椭圆上的点到焦点的最短距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为，斜率为的直线与椭圆交于两点，求证：直线与的斜率之和为定值；

（3）过右焦点作相互垂直的弦，求的最小值.

21．（2023高三上·黄浦期中）若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.

（1）若具有性质，且，求；

（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；

（3）设是无穷数列，已知，求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

答案解析部分

1．【答案】D

【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差

【解析】【解答】设这组数据分别为，

由其平均数为，方差是，则有，

方差，

若将这组数据中每一个数据都加上，则数据为，

则其平均数为，

方差为，

故答案为：D.

【分析】利用平均数公式和方差公式求出一组数据的平均数和方差，再利用一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，再结合将这组数据中每一个数据都加上，则变形求出所得新数据的平均数和方差。

2．【答案】C

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面垂直的判定

【解析】【解答】充分性：互为异面直线，且，

则内必存在两条相交直线，使得，

若且，则且，，故充分性成立；

必要性：互为异面直线，且，

则内必存在两条相交直线，使得，

若，则且，且，故必要性成立，

“且”是“”的充要条件.

故答案为：C.

【分析】内必存在两条相交直线，使得，从而可推出.

3．【答案】C

【知识点】分段函数的应用

【解析】【解答】画出函数的图像如图所示：

互不相等的实数，满足，

可得，，，

，，，

，，，

则的取值范围是.

故答案为：C.

【分析】画出函数图象可得且，则可求出.

4．【答案】A

【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的个数问题

【解析】【解答】若有2个元素，不妨设，

以为中至少有两个元素，不妨设，

由②知，因此集合中的两个元素必为相反数，故可设，

由①得，由于集合中至少两个元素，故至少还有另外一个元素，

当集合有个元素时，由②得：，则或.

当集合有多于个元素时，不妨设，

其中，

由于，所以，

若，则，但此时，

即集合中至少有这三个元素，

若，则集合中至少有这三个元素，

这都与集合中只有2个运算矛盾，

综上，，A符合题意；

当集合有个元素，不妨设，

其中，则，所以，

集合中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合中至少个元素，与矛盾，排除C，D.

故答案为：A.

【分析】不妨设，由②知集合中的两个元素必为相反数，设，由①得，由于集合中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素，分集合有个元素和多于个元素分类讨论，即可求解.

5．【答案】

【知识点】函数的定义域及其求法

【解析】【解答】依题意，由解得函数的定义域为.

故答案为：.

【分析】利用偶次方根的被开方数大于等于0和分式的分母不等于0，即求得答案.

6．【答案】6

【知识点】二阶行列式的定义

【解析】【解答】由题意，可得6的代数余子式．

故答案为6．

【分析】根据代数余子式的定义得到6的代数余子式，利用行列式的展开，即可求得答案．

7．【答案】3

【知识点】抛物线的定义

【解析】【解答】易见，抛物线的准线方程为，设，则到准线的距离为，等于到焦点的距离为4，即，故，即点的横坐标为3.

故答案为：3.

【分析】根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，列关系即得结果.

8．【答案】

【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模

【解析】【解答】因为，所以，解得.

又因为在复平面内对应的点位于第二象限，所以.

所以.

故答案为：

【分析】根据得到，解方程即可.

9．【答案】-1

【知识点】二项式定理

【解析】【解答】求得二项式的展开式的通项为，

当，解得，此时，

所以，解得.

故答案为：-1.

【分析】由题意，二项式展开式的通项为，结合题意，求得，进而得到关于的方程，即可求解.

10．【答案】

【知识点】对数函数的单调性与特殊点；其他不等式的解法

【解析】【解答】方程有大于的实数根，即，故，即，等价于，即得.

故答案为：.

【分析】利用方程有大于的实数根，得到范围，即得范围，再解分式不等式即得结果.

11．【答案】（﹣7，3）

【知识点】函数单调性的性质；一元二次不等式及其解法

【解析】【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），

则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，

即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，

所以|x+2|＜5，

解得﹣7＜x＜3，

所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．

故答案为：（﹣7，3）．

【分析】由偶函数性质得：f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可变为f（|x+2|）＜5，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+2|的范围，再求x范围即可．

12．【答案】[0,2]

【知识点】斜率的计算公式

【解析】【解答】可变为，

由题意，直线过圆心，

在平面直角坐标系中作出直线，如图；

当直线过原点时，直线斜率，

数形结合可得，的斜率取值范围是[0,2].

故答案为：[0,2].

【分析】转化条件为直线过圆心，结合直线斜率的概念数形结合即可得解.

13．【答案】16

【知识点】简单计数与排列组合

【解析】【解答】农场主在中间共有种站法，

农场主在中间，两名男生相邻共有种站法，

故所求站法共有种.

故答案为：16

【分析】根据正难则反原理，可求男生相邻的情况，再拿所有情况减去即可.

14．【答案】1010

【知识点】奇函数与偶函数的性质；数列的求和；数列的递推公式

【解析】【解答】解：因为是奇函数，，

所以，，

，

，

，

，

如此继续，

得..

故答案为：1010.

【分析】利用是奇函数，推出，推出函数的周期，然后转化求解即可.

15．【答案】

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【解答】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，

∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|++|AF|=|PA|++|AF|+，

由于是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+最小，即P、A、共线，

∵，（－3,0），∴直线的方程为，即代入整理得，

解得或(舍)，所以P点的纵坐标为，

∴=.

【分析】由双曲线定义得到，由于是定值，得到P、A、共线时△APF的周长最小，把直线的方程代入双曲线方程，解得P点的纵坐标，即可求出该三角形的面积.

16．【答案】

【知识点】二次函数的性质；平面向量的数量积运算

【解析】【解答】解：以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，可得

以为直径的半圆方程为

以为直径的半圆方程为（，

设

可得

即有

即为

即有可得，即，

则

可得即β时，

的最大值为，

故答案为．

【分析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，求得的坐标，可得以为直径的半圆方程，以为直径的半圆方程，设出的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．

17．【答案】（1）证明：连接交于，连接，因为底面为矩形，所以为中点，

因为为中点，在中，分别为两边中点，所以，

又因为平面，所以直线平面，

（2）解：建立如图所示空间坐标系，，，

所以，，，

设为平面的法向量，，

所以，令，其中一个法向量，

设点到平面的距离为，

所以.

【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算

【解析】【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线证明，结合线面平行的判定定理可完成证明；（2）建立空间直角坐标系，先求解出平面的法向量和，然后根据即可求解出结果.

18．【答案】（1）解：由已知得，

令，解得，

所以的单调递增区间为；

（2）解：因为，所以，又锐角中，，即，所以，所以，

由，，得，

所以，故，

由正弦