第二章：解析函数

第二章：解析函数§1解析函数的概念1.

复变函数的导数与微分(1)导数的定义定义设是定义在区域D上的复变函数,存在，则称在点可导,并把这个极限值称为

z0是区域D内的一点.若极限

在点的导数，记做或

定义中的极限式可以写为注意的方式是任意的.若在区域D内每一点都可导,则称在区域D内可导.的导数。例1求例2问是否可导。z(2)可导与连续的关系

函数f(z)在z0处可导，则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.

由知,在复平面上处处不可导.但是二元实函数连续,于是根据知,函数连续.(3)求导法则(1)其中c为复常数.(2)其中n为正整数.其中其中与是两个互为反函数的单值函数,且

复变函数可微的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.

微分定义设函数在的某邻域内有定义,若存在复常数A,使得

则称在点可微，称A△z为(4)

微分的概念记作定理复变函数在点可导的充分必要条件是在点可微，且这个定理表明,函数在可导与在可微等价.如果函数在区域D内处处可微,则称在区域D内可微。2.

解析函数的概念定义设在区域D有定义.(1)设,若存在的一个邻域，使得在此邻域内处处可导,则称在处解析,也称是的解析点.(2)若在区域D内每一点都解析，则称在区域D内解析,或者称是区域D内的解析函数(全纯函数或正则函数).

(3)设G是一个区域，若闭区域且在G内解析，则称在闭区域上解析.若函数在处不解析，则称是的奇点.若是的奇点,但在的某邻域内,除外,没有其他的奇点，则称是函数的孤立奇点.δδ/2函数在处解析和在的某一个邻域内解析意义相同.

r=δ/2可导解析

复变函数在区域内解析与在该区域内可导是等价的.

事实上，复变函数在区域内解析显然在该区域内可导.

反之,设函数在区域D内可导,则对任意存在z的某一个邻域U,使得U

D,由在D内可导,可知在U内可导,即在z处解析.注:

上述结论对闭区域不成立。由例1和例2知,函数是全平面内不解析的连续函数.的解析函数，但是函数是处处例3：研究函数、和的解析性。根据求导法则，很容易得到下面的结论.1）设函数在区域D内解析,则也在D内解析.当时,是的解析点.特别地,多项式P(z)在全平面内解析,有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析,分母为零的点是有理分式的奇点.定理：2）设函数在z平面上的区域D内解析，函数在h平面上的区域G内解析。如果对D

内的每一个点z，函数的对应值h都属于G，那么复合函数在D内解析。GD§2.2

函数解析的充要条件

判断函数的解析性定义其他方法？（复杂）一、函数可导的充要条件定理一、复变函数处可微(即可导)的充分必要可微，并且在该点满足Cauchy-Riemann方程此时在区域D内有定义，则在D内一点条件是二元函数在处都),(yx证明：必要性因为在z可微，故由(2.1.2)式有对于充分小的其中设于是我们有从而由于所以由此可知，和在可微，且满足方程且满足Cauchy-Riemann方程.充分性.

设在处可微,由于由在处可微,有因此我们有再由柯西-黎曼方程有因为故，当△z趋向于零时，因此即函数在z=x+yi处可导。定理二复变函数在区域D内解析的充分必要条件是在区域D内可微,且在D内满足Cauchy-Riemann方程二、函数解析的充要条件解析函数的判定方法:(1)定义(2)Cauchy-Riemann方程,例1判定下列函数在何处可导，在何处解析。例2设其中a,b,c,d是常数，问它们取何值时,函数f(z)在复平面上解析.

例3

如果在区域D内处处为零,则f(z)在区域D内为常数.证明:由函数可导知所以都是常数.因此f(z)在区域D内为常数.例4：如果为一解析函数，且，那么曲线族与必互相正交。其中c1,c2为常数.§2.3

初等函数1指数函数2对数函数3幂函数4三角函数和双曲函数5反三角函数和反双曲函数1.指数函数目的:

将指数函数推广到复变数的情形.由42页例1可知,函数在z平面上解析，且当z为实数,即当y=0时,与通常实指数函数一致,因此给出下面定义.

定义假设则由定义复指数函数，或简记为记显然

定理设为指数函数，则在全平面解析，且从而其中n正整数;(1)(2)当时,其中(3)是周期函数,其周期是n非零整数,(4)的充分必要条件是n为整数.即2.

对数函数定义指数函数的反函数称为对数函数,即把满足方程的函数称为z的对数函数，记作令则由可得从而由复数的相等的定义知,即其中k为整数,或所以由于是多值的，所以是多值函数.如果记则对数函数可写为对应某个确定的k,称为对数函数的第k个个分支,对应k=0的分支，称为对数函数主支.

即是对数主支,称为对数函数的主值.

对数函数各分支之间，仅差的整数倍例1：求以及他们的相应主值。注：①负数也有对数②正实数的对数也是无穷多值的

定理设为任意复数，则注：①②对数函数的解析性.

考虑对数主支

其在即在除去原点与负实轴的复平面上,

处处连续.定理1.8对数主支在区域上解析(如图),并且D对于其他各给定的对数分支，因为(k确定),所以也有因此，对于确定的k,称为一个单值解析分支.补例求的值.解因为所以事实上，以上结果还可以由直接得到．3.

幂函数定义设z为不等于零的复变数,m为任意为一个复数，定义幂函数即当z为正实变数，m为实数时，它与实幂函数的定义一致，而z为复变数，m为复数时1.当m是整数时，是单值函数；2.当m为有理数时,其中为既约分数,那么是有限多值（q个）的，且3.当m为无理数或虚部不为零的复数时，是无穷多值的.注:上述定义实质上包含了复数的n次幂函数

与n次方根函数的定义.因为(1)当m=n(n是正整数)时,(指数为n项之和)(n个因子之积)(n个因子z之积)当z给定时，它与复数z的n次方根的定义完全一致.(2)当时，有因为的每一个分支都在区域上解析,所以幂函数在该区域上解析,并且根据复合函数求导公式,可得解例2求和的值.因为将两式相加与相减,得定义1.10定义三角函数与双曲函数如下:正弦函数余弦函数4三角函数和双曲函数双曲正弦函数双曲余弦函数

当z是实变数时，它们与实的正弦、余弦、双曲正弦、双曲余弦函数是一致的.由于在复平面上是解析的，所以正弦、余弦、双曲正弦、双曲余弦函数在整个复平面上都是解析的.容易证明并且具有下面的一些性质:是以(1)为周期的周期函数；是以为周期的周期函数.(2)为奇函数;为偶函数.(3)一些恒等式关系仍成立.(4)

三角函数与双曲函数满足关系式(5)

不是有界函数.因为所以虽然但是当时,所以当时,即是无界函数.这与实正弦函数有本质区别.余弦函数类似.补例解方程解由得到关于的二次方程其根为两边取对数，有例1.20解方程解因为所以原方程可改写为即所以可化简得