2022秋苏科版九年级数学上册 典中点 第2章 习题课件

圆的认识2.1.1

苏科版九年级上第2章对称图形——圆AB12345A678106.5cm或2.5cmBD11答案呈现温馨提示：点击进入讲评习题链接98cmBC12B8cm＜r＜10cmD131415答案呈现温馨提示：点击进入讲评习题链接3.5平面内已知点P，以点P为圆心，3cm为半径作圆，这样的圆可以作(

)A．1个

B．2个

C．3个

D．无数个1A【2021春·杭州萧山月考】下列各组图形中，四个顶点一定在同一圆上的是(

)A．矩形，菱形

B．矩形，正方形C．菱形，正方形

D．平行四边形，菱形2B【2021春·泰州兴化期末】已知⊙O的半径为4cm，点P到圆心O的距离为5cm，则点P与⊙O的位置关系是(

)A．点P在⊙O内

B．点P在⊙O上

C．点P在⊙O外

D．无法确定3C【2020秋·徐州期末】已知⊙O的半径为3cm，若点P在⊙O内，则OP的长可能是(

)A．2cm

B．3cmC．4cm

D．5cm4A在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心，⊙O的半径为10，则点P(－10，1)与⊙O的位置关系为(

)A．点P在⊙O上

B．点P在⊙O外

C．点P在⊙O内

D．无法确定5B6【点拨】【答案】D已知⊙O的半径为6cm，OP＝2cm，则点P到⊙O上的最大距离为________．78cm【2021·青海】点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是______________．86.5cm或2.5cm在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，0)，(a，0)，⊙A的半径为2.下列说法中不正确的是(

)A．当a＝－1时，点B在⊙A上

B．当a＜1时，点B在⊙A内C．当a＜－1时，点B在⊙A外

D．当－1＜a＜3时，点B在⊙A内9【点拨】如图．∵A(1，0)，⊙A的半径是2，∴AC＝AE＝2.∴OE＝1，OC＝3.A中当a＝－1时，点B在E处，即点B在⊙A上，正确；B中当a＝－3时，点B在⊙A外，即当a＜1时，点B在⊙A内错误；C中当a＜－1时，AB＞2，即点B在⊙A外正确；D中当－1＜a＜3时，点B在⊙A内正确.【答案】BA，B两点的距离为4厘米，用图形表示具有下列性质的点的集合，并指出它们是怎样的图形：(1)到点A的距离等于3厘米的点的集合；解：到点A的距离等于3厘米的点的集合，如图①；10(2)到点B的距离等于3厘米的点的集合；解：到点B的距离等于3厘米的点的集合，如图②；(3)到A，B两点的距离都等于3厘米的点的集合；解：点C，D即为符合条件的点的集合，如图③；(4)到A，B两点的距离都不大于3厘米的点的集合．解：阴影部分即为符合条件的点的集合(含边界)，如图④.如图，∠ABC＝∠ADC＝∠AEC＝90°.求证：点A，B，C，D，E在同一个圆上．11已知点C在线段AB上(不与点A，B重合)，过点A，B的圆记作⊙O1，过点B，C的圆记作⊙O2，过点C，A的圆记作⊙O3，则下列说法中正确的是(

)A．⊙O1经过点C

B．点C在⊙O1的内部C．点A在⊙O2的内部

D．点B在⊙O3的内部12【点拨】∵点C在线段AB上(不与点A，B重合)，过点A，B的圆记作⊙O1，∴点C在⊙O1的内部，故A错误，B正确.∵过点B，C的圆记作⊙O2，∴点A在⊙O2的外部，故C错误；∵过点C，A的圆记作⊙O3，∴点B在⊙O3的外部，故D错误.【答案】B如图，已知矩形ABCD的边AB＝6cm，AD＝8cm.若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中有两个点在⊙A内，有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是_______________．138cm＜r＜10cm如图，若正方形、矩形、圆的面积相等，则周长L的大小关系是(

)A．LA＞LB＞LC

B．LA＜LB＜LC

C．LB＞LC＞LA

D．LC＜LA＜LB14【点拨】【答案】D【2021·西昌模拟】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，4)，(3，0)，以点A为圆心，2为半径作⊙A，P为⊙A上一动点，M为OP的中点，则BM的最大值为________．153.5【点拨】与圆有关的概念2.1.2

苏科版九年级上第2章对称图形——圆CA1234567810CD1211答案呈现温馨提示：点击进入讲评习题链接9140°B301213习题链接下图中∠ACB是圆心角的是(

)1C【2020秋·武安期末】如图，是⊙O弦的是(

)A．线段AB

B．线段AC

C．线段AE

D．线段DE2A如图，图中的弦共有(

)A．1条

B．2条

C．3条

D．4条3B如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点P是OB上的任意一点(不包括点O，B)，CD，EF是过点P的两条弦，则图中的弦有____________________，以B为端点的劣弧有______________________．4AB，CD，EFBD，BC，BE，BF︵︵︵︵【2020秋·扬州期末】A，B是半径为5cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是(

)A．AB＞0

B．0＜AB＜5C．0＜AB＜10

D．0＜AB≤105D如图，在平面直角坐标系中，动点P在以点O为圆心，10为半径的圆上运动，整数点(横、纵坐标均为整数)P有______个．612如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是正方形．(1)求证：OC＝OF；7证明：如图，连接OD，OE，则OD＝OE.∵∠OCD＝∠OFE＝90°，DC＝EF，∴Rt△ODC≌Rt△OEF(HL)，∴OC＝OF.(2)在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK，点G在AB上，点H在半圆上，点K在EF上．若正方形CDEF的边长为2，求正方形FGHK的面积．解：如图，连接OH.∵CF＝EF＝2，OC＝OF，∴OF＝1，∴OH2＝OE2＝OF2＋EF2＝12＋22＝5.设FG＝GH＝x，则OG＝x＋1.∵OG2＋GH2＝OH2，∴(x＋1)2＋x2＝5，∴x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2(不合题意，舍去).∴S正方形FGHK＝FG2＝12＝1.【2021春·荷泽巨野县期末】下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆．其中错误的有(

)A．1个

B．2个

C．3个

D．4个8【点拨】①直径是弦，故错误，符合题意；②半圆是弧，正确，不符合题意；③过圆心的弦是直径，故错误，符合题意；④圆心相同，半径相等的两个圆是等圆，故错误，符合题意，错误的有3个.【答案】C【2020秋·咸宁嘉鱼县期末】如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝80°，∠C＝60°，则∠B的度数为_____．9140°如图，OA，OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠AOB＝40°，∠OBC＝50°，则∠OAC＝______°.3010【点拨】如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF.OE与OF相等吗？为什么？11解：OE与OF相等．理由如下：连接OA，OB，则OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.又∵AE＝BF，∴△OAE≌△OBF(SAS).∴OE＝OF.如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，P是弦AB上一动点，当OP长为整数时，满足题意的P点共有几个？12如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的⊙O交AB于点D，P是⊙O上一动点，连接AP，则AP的最大值和最小值分别是多少？13解：由题意知，AP为点A到⊙O上的距离，如图，连接AO，OP，且AO交⊙O于点E.在△APO中，∵AP＋PO>AO＝AE＋EO，且PO＝EO.∴AP>AE，且当点P与点E重合时有AP＝AE.∴当点P在点E处时，AP取得最小值.圆心角、弧、弦之间的关系2.2.1

苏科版九年级上第2章对称图形——圆圆心42°12345B67810C36°311答案呈现温馨提示：点击进入讲评习题链接9DA12圆是中心对称图形，它的对称中心是________．1圆心【2021秋·南京玄武区校级月考】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E点，若AB＝2DE，∠E＝14°，则AC的度数为________．242°︵如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为(只考虑小于90°的角)(

)A．54°

B．55°C．56°

D．57°3【点拨】连接O1P，O2P，如图.∵点P在小量角器上对应的刻度为63°，即∠O1O2P＝63°，而O1P＝O2O1，∴∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°，∴∠PO1O2＝180°－∠O1PO2－∠O1O2P＝∠180°－63°－63°＝54°，即点P在大量角器上对应的刻度为54°(只考虑小于90°的角).【答案】A【2020·苏州姑苏区月考】如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交OA于点C，则AD的度数为(

)A．40°

B．50°C．60°

D．70°4B︵︵【2020秋·南京玄武区校级月考】已知弦AB把圆周分成1∶9两部分，则弦AB所对圆心角的度数为______．536°如图，AB，DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝________．63如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有(

)①AB＝CD；②BD＝AC；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC.A．1个

B．2个

C．3个

D．4个7D︵︵︵︵如图，在⊙O中，AC＝2AB，则下列数量关系正确的是(

)A．AB＝AC

B．AC＝2AB

C．AC＜2AB

D．AC＞2AB8︵︵【点拨】如图．连接BC.∵AC＝2AB，∴AB＝BC.∴AB＝BC.∴AB＋BC＞AC.∴2AB＞AC.【答案】C︵︵︵︵【2021秋·扬州邗江区校级月考】如图，在⊙O中，AB＝CD.求证：AD＝BC.9证明：∵AB＝CD，∴AB＝CD.∴AB－BD＝CD－BD.∴AD＝BC.︵︵︵︵︵︵︵︵︵︵如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AC＝DB.求证：∠OEF＝∠OFE.10︵︵证明：连接OA，OB，如图.∵OA＝OB，∴∠A＝∠B.∵AC＝DB，∴∠AOE＝∠BOF.︵︵如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB长为半径作⊙A，分别交BC，AD于点E，F，交BA的延长线于点G.11(1)求证：EF＝FG；证明：连接AE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠EAF＝∠AEB，∠GAF＝∠B.∵AE＝AB，∴∠B＝∠AEB，∴∠EAF＝∠GAF，∴EF＝FG.︵︵︵︵(2)若EG为140°，求∠EGB的度数．︵︵(1)如图①，在⊙O中，∠AOB＝90°，且C，D是AB的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.求证：AE＝BF＝CD；12︵证明：连接AC，BD.∵C，D是AB的三等分点，

∴AC＝CD＝BD，∴AC＝CD＝BD.∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°.∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°.∵OA＝OC，∠AOC＝30°，︵︵︵︵(2)在(1)中，如果∠AOB＝120°，其他条件不变，如图②，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．解：成立．证明过程同(1).垂径定理2.2.2

苏科版九年级上第2章对称图形——圆A123451267810BD11答案呈现温馨提示：点击进入讲评习题链接9A下列图形：平行四边形、矩形、菱形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图形，而不是中心对称图形的有(

)A．1个

B．2个C．3个

D．4个1A【2021·牡丹江】半径为12cm的圆中，垂直平分半径的弦长为_________．2【2021·西宁】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC＝_______．3【2020·南通】⊙O的半径为13，弦AB的长度是10，则圆心O到弦AB的距离为________．412【2021·凉山州】点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为(

)A．3cm

B．4cmC．5cm

D．6cm5B【2021·淄博】“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是(

)A．12寸

B．24寸C．13寸

D．26寸6D下列说法正确的是(

)A．在同圆中，等弧所对的弦相等

B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧C．相等的弦所对的圆心角相等

D．相等的圆心角所对的弧相等7【点拨】选项B是错误的，应该是平分弦(此弦非直径)的直径垂直弦并平分弦所对的弧；选项C是错误的，必须在同圆或等圆中；选项D是错误的，必须在同圆或等圆中.【答案】A【2020秋·南京玄武区期中】如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形，拱的跨度AB为24m，点O是AB所在圆的圆心，⊙O的半径为13m，求桥拱的高度．(弧的中点到弦的距离)8︵︵如图，⊙O的半径OA⊥OC，垂足为O，点D在AC上，且AD＝2CD，OA＝4.(1)∠COD＝________°；930︵︵︵(2)求弦AD的长；解：∠AOD＝2∠COD＝2×30°＝60°.又∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴AD＝OA＝4.(3)P是半径OC上一动点，连接AP，PD，请求出AP＋PD的最小值，并说明理由．解：如图，延长AO交⊙O于点B，连接BD交OC于点P，连接AP，此时AP＋PD的值最小.∵OA⊥OC，OA＝OB，∴PA＝PB.∴PA＋PD＝PB＋PD.∵两点之间，线段最短，∴AP＋PD的最小值为BD的长.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，AB＝BF，CE＝1，AB＝6，求弦AF的长．10︵︵︵︵如图，A，C为半径是8的圆周上的两动点，B是AC的中点，以线段BA，BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆半径的中点上，求该菱形的边长．11︵︵确定圆的条件2.3

苏科版九年级上第2章对称图形——圆CD1234556781083答案呈现温馨提示：点击进入讲评习题链接9CC如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意三个点，能画的圆有(

)A．1个

B．2个C．3个

D．4个1C确定一个圆的条件是(

)A．已知圆心

B．已知半径C．过两个已知点

D．过一个三角形的三个顶点2D平面上有四个点，过其中任意三个点一共能确定圆的个数为(

)A．0或3或4

B．0或1或3C．0或1或3或4

D．0或1或43【点拨】如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作1个圆，当三点在同一直线上时，可以作3个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定4个圆.【答案】C【2020秋·盐城亭湖区校级期末】直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径为________．45【2021·南京鼓楼区一模】如图，O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E，M，N分别是OD，OE的中点，连接MN，若MN＝2，则BC＝_______．58【2021·北京海淀区校级模拟】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)，若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则符合条件的C点有________个．637【点拨】由题意可得，存在两种情况，当△ABC为钝角三角形时，如图中的△A1BC，当△ABC为锐角三角形时，如图中的△A2BC.连接A1A2，交BC于点D.∵A1B＝A1C，A2B＝A2C，∴A1A2垂直平分BC.∴A1A2是⊙O的直径，BD＝CD＝1.【答案】C如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，求⊙O的半径．8解：连接OA，OB.∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，∴AO⊥BC，∴∠BAO＝60°.又∵OA＝OB，∴△ABO为等边三角形，∴OA＝AB＝8，即⊙O的半径为8.如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为(2，2)，(－6，4)，(2，－4)．(1)求△ABC的外接圆的圆心M的坐标；9解：∵点B，C的坐标分别为(－6，－4)，(2，－4)，∴线段BC的垂直平分线是直线x＝－2.∵点A，C的坐标分别为(2，2)，(2，－4)，∴线段AC的垂直平分线是直线y＝－1，∴△ABC的外接圆的圆心M的坐标为(－2，－1).(2)求△ABC的外接圆在x轴上所截弦DE的长．【2020·嘉兴】如图，等边三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A′B′C′，求它们重叠部分的面积．10解：过点O作AM⊥BC，垂足为M，如图，易知重叠部分是正六边形，连接点O和正六边形的各个顶点，则所得的三角形都是全等的等边三角形.圆周角的概念与圆周角定理2.4.1

苏科版九年级上第2章对称图形——圆CB12345C6781035C11答案呈现温馨提示：点击进入讲评习题链接940°或140°C下列四个图中，∠x为圆周角的是(

)1C【2021·阜新】如图，点A，B，C在⊙O上，若∠O＝70°，则∠C的度数是(

)A．40°B．35°C．30°

D．25°2B【2021·常州】如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝60°，则∠OAB的度数是(

)A．20°

B．25°C．30°

D．35°3C4C【2021·丹阳二模】如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，CD∥AB，若∠COD＝40°，则∠A的度数为________°.535【2021·盐城建湖县二模】如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，若∠ABD＝63°，∠DCO＝24°，则∠BDC的度数是(

)A．15°

B．24°C．39°

D．63°6C在⊙O中，点A，B在⊙O上，∠AOB＝80°，则弦AB所对的圆周角为____________．740°或140°【点拨】如图，在⊙O中，弦AB⊥弦CD，垂足为E.求证：∠BOC＋∠AOD＝180°.8证明：连接AC.∵圆周角∠BAC与圆心角∠BOC同是BC所对的角，∴∠BOC＝2∠BAC.∵圆周角∠ACD与圆心角∠AOD同是AD所对的角，∴∠AOD＝2∠ACD.在Rt△ACE中，∵∠EAC＋∠ACE＝90°，即∠BAC＋∠ACD＝90°.∴∠BOC＋∠AOD＝2∠BAC＋2∠ACD＝2(∠BAC＋∠ACD)＝2×90°＝180°.︵︵【2020·襄阳】在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，求弦BC所对的圆周角的度数．9︵如图，点A，B，C，D在⊙O上，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；解：∵BC＝DC，∴∠CBD＝∠CDB＝39°.∴∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°(同弧所对的圆周角相等).∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝39°＋39°＝78°.10(2)求证：∠1＝∠2.证明：∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠CBE.∵∠CEB＝∠2＋∠BAE，∠CBE＝∠1＋∠CBD，∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠CBD.∵∠BAE＝∠CDB＝∠CBD，∴∠1＝∠2.【2021·临沂】如图，已知在⊙O中，AB＝BC＝CD，OC与AD相交于点E.求证：(1)AD∥BC；11证明：连接BD.∵AB＝CD，∴∠ADB＝∠CBD.∴AD∥BC.︵︵︵︵︵(2)四边形BCDE是菱形．证明：设BD交OC于点F.∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BCF.∵BC＝CD，OC经过圆心，∴BF＝DF，OC⊥BD.又∵∠DFE＝∠BFC，∴△DEF≌△BCF(AAS)，∴DE＝BC.∵AD∥BC，即DE∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形.又∵OC⊥BD，即EC⊥BD，∴四边形BCDE是菱形.︵︵圆周角定理的推论2.4.2

苏科版九年级上第2章对称图形——圆B321234513°67810①③60°或120°答案呈现温馨提示：点击进入讲评习题链接9D【2021·桂林】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，则∠C的度数是(

)A．60°

B．90°C．120°

D．150°1B【2021·徐州】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ADC＝58°，则∠BAC＝________°.232如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED.其中一定成立的是(

)A．②④⑤⑥

B．①③⑤⑥C．②③④⑥

D．①③④⑤3【点拨】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD.因此①正确；∠AOC＝2∠ABC，∠AEC＝∠ABC＋∠BAD，若∠AOC＝∠AEC，则∠BAD＝∠ABC，则AC＝BD，而由已知无法推断出AC＝BD，因此②错误；∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.∴∠CBD＝∠OBC.即BC平分∠ABD.因此③正确；︵︵︵︵∵AD⊥BD，OC∥BD，∴OC⊥AD.∵点O为圆心，∴AF＝DF.因此④正确；∵AF＝DF，AO＝BO，∴BD＝2OF.因此⑤正确；若△CEF≌△BED成立，则CF＝BD，此时CF＝2OF，而由已知无法推断出CF＝2OF，故⑥错误，因此①③④⑤一定成立，故选D.【答案】D【2021·宿迁】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B，C在⊙O上，边AB，AC分别交⊙O于D，E两点，B是CD的中点，则∠ABE＝_______．413°︵【2021秋·泰州海陵区校级月考】如图，点P在以AB为直径的半圆内，连接AP，BP，并延长分别交半圆于点C，D，连接AD，BC并延长交于点F，作直线PF，下列说法：①BD⊥AF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④FP平分∠AFB.其中一定正确的序号为________．5①③660°或120°【点拨】如图，当点P(P1)在弦AB所对的优弧上时，过点O作OC⊥AB于点C，连接OA，OB.由垂径定理可得AC＝2，∠AOC＝∠BOC.【2021春·盐城亭湖区校级期末】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E.7(1)求证：E是BC的中点；证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，即E是BC的中点.(2)若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．【2020秋·扬州期末】如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.8︵(1)求证：CF＝BF；证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°.∴∠2＝90°－∠ABC＝∠A.又∵C是BD的中点，∴∠1＝∠A.∴∠1＝∠2.∴CF＝BF.︵(2)若CD＝12，AC＝16，求⊙O的半径和CE的长．︵︵︵如图，已知ED是⊙O的直径且ED＝4，A(不与点E，D重合)是⊙O上一个动点，线段AB经过点E，且EA＝EB，F是⊙O上一点，∠FEB＝90°，BF的延长线与AD的延长线交于点C.9(1)求证：△EFB≌△ADE；证明：如图，连接FA.∵∠FEB＝90°，∴EF⊥AB.∵BE＝AE，∴BF＝AF.∵∠FEA＝∠FEB＝90°，∴AF是⊙O的直径．∴AF＝DE.∴BF＝ED.∵DE是⊙O的直径，∴∠EAD＝90°.(2)当点A在⊙O上移动时，直接回答四边形FCDE的最大面积为多少．解：四边形FCDE的最大面积为8.【中考·宜昌】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆形交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.10(1)求证：四边形ABFC是菱形；证明：∵AB为半圆形的直径，∴∠AEB＝90°.∵AB＝AC，∴CE＝BE.又∵EF＝AE，∴四边形ABFC是平行四边形.又∵AB＝AC，∴平行四边形ABFC是菱形.(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆形和菱形ABFC的面积．解：设CD＝x，则AB＝AC＝7＋x，∵CE＝BE＝2，∴BC＝4.连接BD，如图，圆内接四边形2.4.3

苏科版九年级上第2章对称图形——圆BA12345A67810C6011答案呈现温馨提示：点击进入讲评习题链接9C80下列说法中正确的是(

)A．在圆内部的多边形叫做圆内接多边形B．过四边形四个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆C．任意一个四边形都有外接圆D．一个圆只有唯一一个内接四边形1B下列多边形中一定有外接圆的是(

)A．三角形

B．四边形

C．五边形

D．六边形2A【2021·盐城】如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝________°.380【2021·海南】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE.若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数为(

)A．30°

B．35°C．45°

D．60°4A5C【2021·常州金坛区模拟】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的一个外角，若∠CBE＝60°，则∠ADC＝________°.660如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为(

)A．50°B．60°C．80°D．85°7C【2020秋·南京秦淮区校级月考】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC，BD是四边形ABCD的对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点

E．求证：EC＝AC.8证明：∵AE∥BC，∴∠E＋∠ECB＝180°，∠BCA＝∠CAE.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD＋∠ECB＝180°.∴∠E＝∠BAD.∵∠BCA＝∠BAD，∴∠E＝∠CAE.∴EC＝AC.【2020·苏州张家港模拟】如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E.9(1)若∠BAC＝40°，求∠ADC的度数；(2)求证：∠BAC＝2∠DAC.证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°.∴∠ACB＝90°－∠CBD.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°－∠CBD.∴∠BAC＝180°－2∠ABC＝2∠CBD.∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，E是AD延长线上一点，且AC＝BC.求证：DC平分∠BDE.10证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.∵∠3＋∠ADC＝180°，∴∠3＝∠ABC.∵AC＝BC，∴∠1＝∠ABC.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠ABC.∴∠2＝∠3.即DC平分∠BDE.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E.11(1)求证：MD＝ME；证明：在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴MA＝MB.∴∠A＝∠ABM.连接DE，则四边形ABED是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠BED＝180°，∠ABE＋∠ADE＝180°.∵∠ADE＋∠MDE＝180°，∠BED＋∠MED＝180°，∴∠A＝∠MED，∠ABE＝∠MDE.∵∠A＝∠ABM，即∠A＝∠ABE，∴∠MDE＝∠MED.∴MD＝ME.(2)连接OD，OE，当∠C＝30°时，求证：四边形ODME是菱形．证明：∵∠C＝30°，∠ABC＝90°，∴∠A＝60°，∴∠ABM＝60°.∵OB＝OE，∴△OBE是等边三角形.∴∠BOE＝60°.∴∠BOE＝∠A.∴OE∥AC.同理可得OD∥BM.∴四边形ODME是平行四边形.∵OD＝OE，∴四边形ODME是菱形.直线与圆的位置关系2.5.1

苏科版九年级上第2章对称图形——圆CA12345C67810AC答案呈现温馨提示：点击进入讲评习题链接93cm或5cmD若直线m与⊙O的公共点个数不小于1，则直线m与⊙O的位置关系为(

)A．相交

B．相切C．相交或相切

D．相离1C【2021·江阴模拟】已知⊙O的圆心O到直线l的距离为5，⊙O的半径为3，则直线l与⊙O的位置关系为(

)A．相离

B．相切C．相交

D．相交或相切2A【2021·嘉兴】已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为(

)A．相离

B．相交C．相切

D．相交或相切3D【中考·广州】⊙O的半径为1，点P到点O的距离为2，过点P可作⊙O切线的条数为(

)A．0条

B．1条C．2条

D．无数条4C【2020秋·扬州高邮市期末】若直线l与半径为5的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d满足(

)A．d＜5

B．d＞5C．d＝5

D．d≤55A已知⊙O的半径为r＝3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列结论：①若d＞5，则m＝0；②若d＝5，则m＝1；③若1＜d＜5，则m＝3；④若d＝1，则m＝2；⑤若d＜1，则m＝4.其中正确的个数是(

)A．1

B．2

C．3

D．56C【2020·泰州】如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为____________．73cm或5cm【点拨】需要分两种情况讨论，点O在直线a的左侧和点O在直线a的右侧.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.(1)先作∠ACB的平分线交AB于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)8解：如图所示.(2)请你判断直线BC与(1)中⊙P的位置关系，并说明理由．解：直线BC与⊙P相切.如图，过点P作PD⊥BC，垂足为D.∵CP是∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，∴PD＝PA.∴点P到BC的距离等于⊙P的半径.∴直线BC与⊙P相切.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是BC的中点，过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD.9︵(1)求证：∠A＝∠DOB；︵︵︵(2)直线DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．解：直线DE与⊙O相切.∵∠A＝∠DOB，∴AE∥OD.∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，∴直线DE与⊙O相切(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线).已知∠MAN＝30°，点O在AN上，以点O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于点D，E，设AD＝x.(1)如图①，当x取何值时，直线AM与⊙O相切？解：如图①，过点O作OF⊥AM，垂足为F，当OF＝r＝2时，直线AM与⊙O相切，此时OA＝4，故AD＝2.即当x＝2时，直线AM与⊙O相切.10(2)如图②，当x取何值时，直线AM交⊙O于点B、C，且∠BOC＝90°？圆的切线的判定与性质2.5.2

苏科版九年级上第2章对称图形——圆CA12345C67810B答案呈现温馨提示：点击进入讲评习题链接9A下列四个命题：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径端点，且垂直于此直径的直线是圆的切线．其中是真命题的是(

)A．①②

B．②③

C．③④

D．①④1C如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是(

)A．DE＝DO

B．AB＝ACC．CD＝DB

D．AC∥OD2A【2021·镇江】如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于(

)A．27°

B．29°C．35°

D．37°3A【2021·苏州二模】如图，菱形ABCD的两边与⊙O分别相切于点A，C，点D在⊙O上，则∠B的度数是(

)A．45°

B．50°C．60°

D．65°4C5如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为(

)A．2.3B．2.4C．2.5D．2.66【点拨】【答案】B【2021·郴州】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，D是BC的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E.7︵(1)求证：直线DE与⊙O相切；证明：连接OD，如图.∵D是BC的中点，∴OD⊥BC.∵DE∥BC，∴DE⊥OD，∴直线DE与⊙O相切(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线).︵(2)若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB为半径作⊙D.求证：直线AC与⊙D相切．8证明：如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E.又∵AD平分∠BAC，BD⊥AB，∴DE＝DB，即点D到AC的距离等于⊙D的半径，∴直线AC与⊙D相切.【中考·绥化】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E.求证：9(1)DE⊥AE；证明：连接OD，如图.∵OA＝OD，AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠ODA，∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴AE∥OD.∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE⊥AE.(2)AE＋CE＝AB.︵︵【2021·锦州】如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF.10(1)求证：CE是⊙O的切线；证明：连接OC，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°(圆内接四边形的对角互补).∵∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠ABC，即∠CDE＝∠OCB.∵CE⊥AD，∴∠E＝∠CDE＋∠ECD＝90°.∵∠ECD＝∠BCF，∴∠OCB＋∠BCF＝90°，∴∠OCE＝90°，即OC⊥EF.∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线.(2)若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．三角形的内切圆2.5.3

苏科版九年级上第2章对称图形——圆C(2，3)12345C67810AC答案呈现温馨提示：点击进入讲评习题链接91.5下列说法中错误的是(

)A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切B．一个三角形一定有唯一一个内切圆C．一个圆一定有唯一一个外切三角形D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆1C【2020·泰州】如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在直角坐标系中的坐标分别为(3，6)，(－3，3)，(7，－2)，则△ABC的内心的坐标为________．2(2，3)【2020秋·无锡滨湖区期末】设两直角边分别为3，4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R和r，则R－r＝________．31.5《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有一个问题：“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”(

)A．3步

B．5步

C．6步

D．8步4C5A6【点拨】如图．∵△ABC是等边三角形，∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O，连接AO并延长，交BC于点D.设AC与△ABC的内切圆切于点E，连接OE，易知AD⊥BC，则OE＝r，AO＝R，AD＝h，∴h＝R＋r，故A正确；【答案】C如图，以点O为圆心的圆与△ABC的三边分别交于点E，F，G，H，M，N，且EF＝GH＝MN，求证：O是△ABC的内心．7证明：如图，过点O作OD⊥AB，OP⊥BC，OQ⊥AC，垂足分别为D，P，Q，连接OE，OF，OG，OH，OM，ON.∵EF＝GH＝MN，OE＝OF＝OG＝OH＝OM＝ON，∴△OEF≌△OGH≌△OMN(SSS).∴OD＝OP＝OQ.∴O是△ABC的内心.8(1)用海伦公式求△ABC的面积；(2)求△ABC的内切圆的半径r.【中考·鄂州节选】如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于点E，过点A作AB⊥PO于点D，交⊙O于点B，连接BC，PB.求证：9(1)PB是⊙O的切线；(2)点E是△PAB的内心．证明：连接AE，如图.∵PA是⊙O的切线，∴∠PAE＋∠OAE＝90°.∵AD⊥ED，∴∠DAE＋∠AED＝90°.∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，∴∠PAE＝∠DAE，即AE平分∠PAD.易知PD平分∠APB交∠PAD的平分线于点E.∴E是△PAB的内心.【2021·南京鼓楼区一模】如图①，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，DO，EO，FO的延长线分别交⊙O于点G，H，I，过点G，H，I分别作AB，BC，AC的平行线，从△ABC上截得六边形JKMNPQ.通常，在六边形中，我们把相间两个内角的内角称为六边形的对角，把相邻两角的夹边和它们的对角的夹边称为六边形的对边．10(1)求证：六边形JKMNPQ的对角相等；证明：∵JQ∥AB，∴∠A＋∠AJQ＝180°，∵NP∥AC，∴∠A＋∠ANP＝180°，∴∠AJQ＝∠ANP，同理可得∠BMK＝∠BQJ，∠CKM＝∠CPN，即六边形JKMNPQ的对角相等.(2)小明在完成(1)的证明后继续探索，如图②，连接OJ，OM，ON，OQ，他发现△DOM≌△GOQ，△DON≌△GOJ，于是猜想六边形JKMNPQ的对边也相等．请你证明他的发现与猜想．切线长定理2.5.4

苏科版九年级上第2章对称图形——圆DD12345A67831答案呈现温馨提示：点击进入讲评习题链接9D如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，若PA＝5，则PB的长是(

)A．2B．3C．4D．51D【中考·益阳】如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定成立的是(

)A．PA＝PB

B．∠BPD＝∠APDC．AB⊥PD

D．AB平分PD2D3D4A【2021·哈尔滨模拟】如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，点C在AB上，过点C的切线分别交PA，PB于点E，F.若△PEF的周长为6，则线段PA的长为________．53︵【2020·青海】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝________．61【点拨】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理，得AB＝5，如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D，E，F，连接OD，OE，OF.∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，可得矩形EOFC，根据切线长定理，得CE＝CF，∴矩形EOFC是正方形.设CE＝CF＝r，则AF＝AD＝AC－FC＝3－r，BE＝BD＝BC－CE＝4－r，∵AD＋BD＝AB，∴3－r＋4－r＝5，解得r＝1.∴△ABC的内切圆半径r＝1.【2021·盐城滨海县一模】如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，点E在AB上，过点E的切线分别交PA，PB于点C，D.△PCD的周长为12，∠APB＝60°.求：7︵(1)求PA的长；解：∵CA、CE都是⊙O的切线，∴CA＝CE(过圆外一点所画的圆的两条切线长相等).同理DE＝DB，PA＝PB，∴△PCD的周长＝PD＋CD＋PC＝PD＋CE＋DE＋PC＝PD＋CA＋DB＋PC＝PA＋PB＝2PA＝12，即PA的长为6.(2)求∠COD的度数．(1)如图①，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E，F，G，H，说明AB＋CD与BC＋AD的大小关系；8解：由切线长定理，得AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH，∴AB＋CD＝AE＋BE＋CG＋DG＝AH＋BF＋CF＋DH＝AH＋DH＋BF＋CF＝BC＋AD，即AB＋CD＝BC＋AD.(2)如图②，四边形ABCD的三边与⊙O分别相切于点F，G，H，说明AB＋CD与BC＋AD的大小关系．解：过点B作⊙O的切线，交AD于点M.由(1)可知BM＋CD＝BC＋MD.∵AB＜AM＋BM，∴AB＋BM＋CD＜AM＋BM＋BC＋MD，∴AB＋CD＜BC＋AD.已知：AB是⊙O的直径，AB＝2，弦DE＝1，直线AD与BE相交于点C，弦DE在⊙O上运动且保持长度不变，过点D的切线交BC于点F.(1)如图①，若DE∥AB，求证：CF＝EF；9证明：如图，连接OD，OE.∵AB＝2，∴OA＝OD＝OE＝OB＝1.∵DE＝1，∴OD＝OE＝DE.∴△ODE是等边三角形.∴∠ODE＝∠OED＝60°.∵DE∥AB，∴∠AOD＝∠ODE＝60°，∠BOE＝∠OED＝60°.∴△AOD和△BOE都是等边三角形．∴∠OAD＝∠OBE＝60°.∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠OAD＝60°，∠CED＝∠OBE＝60°.∴△CDE是等边三角形.∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD.∴∠ODF＝90°.∴∠EDF＝90°－∠CED＝90°－60°＝30°.∴∠DFE＝180°－∠EDF－∠CED＝180°－30°－60°＝90°.∴DF⊥CE.∴CF＝EF.(2)如图②，当点E运动至与点B重合时，试判断CF与BF是否相等，并说明理由．解：CF与BF相等.当点E与运动至与点B重合时，BC与⊙O只有一个公共点，即BC是⊙O的切线.∵⊙O的切线DF交BC于点F，∴BF＝DF(过圆外一点所画的圆的两条切线长相等).∴∠BDF＝∠DBF.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.∴∠BDF＋∠FDC＝∠C＋∠DBF＝90°.∴∠FDC＝∠C.∴DF＝CF.∴BF＝CF.正多边形与圆2.6

苏科版九年级上第2章对称图形——圆24123457267810AD11答案呈现温馨提示：点击进入讲评习题链接930°12

【2020秋·江阴期末】一个半径为4cm的圆内接正六边形的周长等于________cm.124【2021·绥化】边长为4cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是________．2【2021·徐州模拟】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD，则∠CBD的度数是________．330°【2021·南京玄武区二模】如图，直线PQ经过正五边形ABCDE的中心O，与AB，CD边分别交于点P，Q，点C1是点C关于直线PQ的对称点，连接CC1，AC1，则∠CC1A的度数为________°.472【2020秋·苏州期末】刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为Δn，如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内