【解析】湖北省襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中四校2023-2023学年高三上学期理数期中考试试卷

第第页【解析】湖北省襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中四校2023-2023学年高三上学期理数期中考试试卷湖北省襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中四校2023-2023学年高三上学期理数期中考试试卷

一、单选题

1．（2023高三上·宜城期中）设集合，，则

A．{2}B．

C．D．

【答案】A

【知识点】交集及其运算

【解析】【解答】解：，

所以，

故答案为：A.

【分析】先对集合B化简，再求交集.

2．（2023高三上·宜城期中）已知，为第三象限角，则

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值

【解析】【解答】解：，

即，为第三象限角，

，

则，

故答案为：A.

【分析】已知等式利用诱导公式化简求出的值，根据为第三象限角，利用同角三角函数间基本关系求出的值，即可确定出的值.

3．（2023·江西模拟）设等差数列的前项和为，若，，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】等差数列的通项公式

【解析】【解答】设等差数列的公差为，因为，，

所以，解得；

因此.

故答案为：B

【分析】利用等差数列的通项公式结合等差数列前n项和公式求出等差数列的公差和首项，从而求出等差数列的通项公式，从而利用等差数列通项公式求出等差数列第五项。

4．（2023高三上·宜城期中）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】奇偶性与单调性的综合

【解析】【解答】解：因为A的定义域为不关于原点对称，故不是偶函数，则A不符合题意；

因为在单调递减，lnx在单调递增，由复合函数的性质可知，在单调递减，B不符合题意；

函数是偶函数，且在单调递增，C符合题意；

由的图象知在不单调，D不符合题意.

故答案为：C.

【分析】直接利用偶函数和增函数的性质判断即可得出答案．

5．（2023高三上·宜城期中）函数的图象是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知识点】分段函数的应用

【解析】【解答】解：由，即

由解析式可以看出，函数图象先是反比例函数的一部分，接着是直线的一部分，

考察四个选项，只有A选项符合题意.

故答案为：A.

【分析】由函数解析式，此函数是一个指数型函数，且在指数位置带有绝对值号，先去绝对值号变为分段函数，再依据此分段函数的性质来确定符合题意的答案．

6．（2023高一下·元氏期中）已知等比数列的各项均为正数，若，则＝（）

A．1B．3C．6D．9

【答案】D

【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的性质

【解析】【解答】由，

可得，进而可得，

.

故答案为：D

【分析】首先根据对数运算法则，可知，再根据等比数列的性质可知，最后计算的值.

7．（2023高三上·宜城期中）已知定义域为R的函数是偶函数，且对任意，，，设，，，则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】奇偶性与单调性的综合

【解析】【解答】解：由题意：

对任意，，

在上为减函数；

函数是偶函数

关于y轴对称；

，

，

故答案为：C.

【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，再比较大小，即可得到结论.

8．（2023高三上·宜城期中）函数的图象可由的图象如何得到（）

A．向左平移个单位B．向右平移个单位

C．向左平移个单位D．向右平移个单位

【答案】D

【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

【解析】【解答】解：，

，

即的图象可由的图象向右平移个单位得到，

故答案为：D.

【分析】利用三角函数的诱导公式进行化简，结合三角函数的图象变换关系进行判断即可．

9．（2023高三上·宜城期中）已知函数，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】函数的图象；分段函数的应用

【解析】【解答】由解析式可得函数的第一部分为指数函数的一部分，且随着a的变化而上下平移，

右半部分为直线的一部分且是固定的，作图如下：

结合图象分析可得，当左半部分的图象介于两红线之间时符合题意，

而红线与y轴的交点纵坐标为1-a，且只需0≤1-a＜1，即即可，

故答案为：B．

【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用函数的零点与函数与x轴交点的横坐标等价的关系，从而结合已知条件求出实数a的取值范围。

10．（2023高三上·宜城期中）下列四个命题：

函数的最大值为1；“，”的否定是“”；若为锐角三角形，则有；“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件．

其中错误的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用

【解析】【解答】解：由，得的最大值为，故错误；

“，”的否定是“”，故正确；

为锐角三角形，，则，

在上是增函数，，同理可得，，，故正确；

，函数的零点是，0，结合二次函数的对称轴，

可得函数在区间内单调递增；

若函数在区间内单调递增，结合二次函数的对称轴，可得，

，

“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件，故正确．

其中错误的个数是1.

故答案为：A.

【分析】由正弦的二倍角公式和正弦函数的值域判断；写出全称命题的否定判断；由锐角三角形的定义和正弦函数的单调性，结合诱导公式可判断；由二次函数的图象和性质，结合充分必要条件的定义可判断.

11．（2023高三上·宜城期中）设m、k为整数，方程在区间内有两个不相等的实数根，则的最小值为（）

A．-8B．-3C．3D．8

【答案】C

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：设，要使已知方程在区间内有两个不同的根，即的图象在区间内与x轴有两个不同的交点，

由题意可得：或，

即或(经分析此种不情况不存在最小值故舍)；

化简得，

在直角坐标系中作出满足不等式可行域，可行域阴影部分如图所示，

设，则直线经过图中的可行域中的整点时，

取得最小值，即．

故答案为：C.

【分析】本题为一元二次方程的实根分布问题，分别讨论和，根据一元二次函数的图象依次根据开口方向，对称轴，判别式，区间端点列出不等式组，得到满足的条件，所求的最小值为线性规划问题，画出满足条件的可行域，数形结合解这个线性规划问题即可．

12．（2023高三上·宜城期中）某学生对函数的性质进行研究，得出如下的结论：

函数在上单调递减，在上单调递增；点是函数图象的一个对称中心；函数图象关于直线对称；存在常数，使对一切实数x均成立，

其中正确命题的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【知识点】三角函数的单调性

【解析】【解答】解：，，当时，，

在上单调递增，又，

是偶函数，因此在上为减函数，故正确；

，，，故点不是函数图象的一个对称中心，故错误；

，

，若，

则恒成立即，不满足对任意恒成立，函数图象不关于直线对称，故错误；

取即可说明结论是正确的，故正确．

正确命题的个数是2．

故答案为：B.

【分析】判断函数的奇偶性，再由导数研究单调性判断正误；找出关于点的对称点是否关于对称即可判断正误；说明不恒成立，判断错误；找出一个常数M，使对一切实数均成立即可.

二、填空题

13．（2023高三上·宜城期中）已知函数是幂函数，且是上的减函数，则m的值为．

【答案】2

【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用

【解析】【解答】解：函数是幂函数,

则,即,

解得或;

当时,,函数是上的减函数,满足题意;

当时,,函数不是上的减函数,不满足题意;

所以的值为2．

故答案为：2．

【分析】根据函数是幂函数列方程求得m的值，再讨论是否满足是上的减函数．

14．（2023高三上·宜城期中）已知定义在R上的奇函数满足：当时，，则．

【答案】2

【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值

【解析】【解答】解：因为在R上的奇函数,当时,，,,

;

故答案为：2．

【分析】利用函数的性质以及奇函数的定义,逐层从里面脱括号即可得到答案．

15．（2023高二下·越秀期中）设函数，函数，若对于任意的，总存在，使得，则实数m的取值范围是．

【答案】

【知识点】利用导数研究函数的单调性

【解析】【解答】由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值.

，当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增.

，即函数在上的最小值为-1.

函数为直线，

当时，，显然不符合题意；

当时，在上单调递增，的最小值为，则，与矛盾；

当时，在上单调递减，的最小值为，则，即，符合题意.

故实数m的取值范围是.

【分析】由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m的取值范围.

16．（2023·江门模拟）已知函数的图象与直线恰有四个公共点，，，，其中，则．

【答案】1

【知识点】正弦函数的图象

【解析】【解答】由题意画出图象如下：

根据题意，很明显，在D点处，

直线与函数的图象相切，D点即为切点．

则有，在点D处，，．而，

且，

∴．

∴．

故答案为：1．

【分析】根据题意画出图象，找到只有四个公共点的情况，明确D点即为直线与函数的图象相切点，然后代入运算，即可得到结果．

17．（2023高三上·宜城期中）命题p：实数a满足：的定义域为R；命题q：函数在上单调递减；如果命题为真命题，为假命题，求实数a的取值范围．

【答案】解：命题为真命题，为假命题；

一真一假．

命题：实数a满足：的定义域为R；

则恒成立，即，；

故：;

命题：函数在上单调递减;；

,故：;

若真假，则，解得；

若假真，则，解得；

综上所述，实数的取值范围是．

【知识点】复合命题的真假

【解析】【分析】根据命题为真命题,为假命题,则一真一假.先得出的等价不等式，然后分真假和假真两种情况讨论，得出结果即可．

三、解答题

18．（2023高三上·宜城期中）已知函数．

（1）求在区间上的最大值和最小值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）解：

，

．

，，

，则，；

（2）解：由，得，

．

．

【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；运用诱导公式化简求值

【解析】【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．由x的范围求得相位的范围，则函数最值可求；由已知求得，再由诱导公式及倍角公式求的值．

19．（2023高三上·宜城期中）已知数列是递增的等差数列，，是方程的根.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）解：因为是递增的等差数列，所以，即，

又因为，是方程的根，

所以，，

即，，

所以数列的通项公式为.

（2）解：由（1）得，

所以，

∴.

【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和

【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解.（2）利用裂项求和法即可求解.

20．（2023高三上·宜城期中）中国“一带一路”战术构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本万元，当年产量不足60台时，万元；当年产量不小于60台时，万元若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．

（1）求年利润万元关于年产量台的函数关系式；

（2）当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？

【答案】（1）解：设利润为y万元,由题得,

当时,;

当时,,

则;

（2）解：由得，当时，，所以时y取最大值为1100万元；

当时，有，当且仅当时即时取等，此时y最大值为1300万元，

综上：当年产量为70台时，该企业的设备的生产中所获得的利润最大为1300万元．

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；分段函数的应用

【解析】【分析】（1）根据条件，利润为分段函数，分别表示即可；（2）分别求出各段上利润y的最大值，利用二次函数最值和基本不等式求最值方法即可．

21．（2023高三上·宜城期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求A和B的大小；

（2）若M，N是边AB上的点，，求的面积的最小值．

【答案】（1）解：，

由正弦定理得：，

，，

可得，即;

,

,

由．

由余弦定理可得：，

，

．

（2）解：如图所示:

设，,

在中由正弦定理,得,

由（1）可知,,

所以:,

同理,

由于,

故，此时．

故的面积的最小值为．

【知识点】正弦定理；余弦定理

【解析】【分析】（1）利用正余弦定理化简即求解A和B的大小．（2）利用正弦定理把CN、CM表示出来，结合三角函数的性质，即可求解的面积的最小值．

22．（2023高三上·宜城期中）已知函数．

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若时，，求实数a的取值范围．

【答案】（1）解：当时,函数的解析式为,则:,

时恒成立,函数在上单调递增;时,则函数在区间单调递减，

函数的最小值为：．

（2）解：若时，，即

令，则；

令，则；

函数在区间上单调递增，．

若，则，即，

函数在区间上单调递增，．

式成立．

若，则．

．

故，使得．

则当时，．

即．

函数在区间上单调递减；

，即式不恒成立．

综上所述：实数a的取值范围是．

【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性

【解析】【分析】（1）当时,代入解析式,求导判断函数的单调性,求出的最小值即可．（2）若时,,即,构造函数,讨论的单调性,求出使得的最小值大于等于零的的取值范围即可．

1/1湖北省襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中四校2023-2023学年高三上学期理数期中考试试卷

一、单选题

1．（2023高三上·宜城期中）设集合，，则

A．{2}B．

C．D．

2．（2023高三上·宜城期中）已知，为第三象限角，则

A．B．C．D．

3．（2023·江西模拟）设等差数列的前项和为，若，，则（）

A．B．C．D．

4．（2023高三上·宜城期中）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（）

A．B．C．D．

5．（2023高三上·宜城期中）函数的图象是（）

A．B．

C．D．

6．（2023高一下·元氏期中）已知等比数列的各项均为正数，若，则＝（）

A．1B．3C．6D．9

7．（2023高三上·宜城期中）已知定义域为R的函数是偶函数，且对任意，，，设，，，则（）

A．B．C．D．

8．（2023高三上·宜城期中）函数的图象可由的图象如何得到（）

A．向左平移个单位B．向右平移个单位

C．向左平移个单位D．向右平移个单位

9．（2023高三上·宜城期中）已知函数，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

10．（2023高三上·宜城期中）下列四个命题：

函数的最大值为1；“，”的否定是“”；若为锐角三角形，则有；“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件．

其中错误的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

11．（2023高三上·宜城期中）设m、k为整数，方程在区间内有两个不相等的实数根，则的最小值为（）

A．-8B．-3C．3D．8

12．（2023高三上·宜城期中）某学生对函数的性质进行研究，得出如下的结论：

函数在上单调递减，在上单调递增；点是函数图象的一个对称中心；函数图象关于直线对称；存在常数，使对一切实数x均成立，

其中正确命题的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

二、填空题

13．（2023高三上·宜城期中）已知函数是幂函数，且是上的减函数，则m的值为．

14．（2023高三上·宜城期中）已知定义在R上的奇函数满足：当时，，则．

15．（2023高二下·越秀期中）设函数，函数，若对于任意的，总存在，使得，则实数m的取值范围是．

16．（2023·江门模拟）已知函数的图象与直线恰有四个公共点，，，，其中，则．

17．（2023高三上·宜城期中）命题p：实数a满足：的定义域为R；命题q：函数在上单调递减；如果命题为真命题，为假命题，求实数a的取值范围．

三、解答题

18．（2023高三上·宜城期中）已知函数．

（1）求在区间上的最大值和最小值；

（2）若，求的值．

19．（2023高三上·宜城期中）已知数列是递增的等差数列，，是方程的根.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

20．（2023高三上·宜城期中）中国“一带一路”战术构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本万元，当年产量不足60台时，万元；当年产量不小于60台时，万元若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．

（1）求年利润万元关于年产量台的函数关系式；

（2）当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？

21．（2023高三上·宜城期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求A和B的大小；

（2）若M，N是边AB上的点，，求的面积的最小值．

22．（2023高三上·宜城期中）已知函数．

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若时，，求实数a的取值范围．

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】交集及其运算

【解析】【解答】解：，

所以，

故答案为：A.

【分析】先对集合B化简，再求交集.

2．【答案】A

【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值

【解析】【解答】解：，

即，为第三象限角，

，

则，

故答案为：A.

【分析】已知等式利用诱导公式化简求出的值，根据为第三象限角，利用同角三角函数间基本关系求出的值，即可确定出的值.

3．【答案】B

【知识点】等差数列的通项公式

【解析】【解答】设等差数列的公差为，因为，，

所以，解得；

因此.

故答案为：B

【分析】利用等差数列的通项公式结合等差数列前n项和公式求出等差数列的公差和首项，从而求出等差数列的通项公式，从而利用等差数列通项公式求出等差数列第五项。

4．【答案】C

【知识点】奇偶性与单调性的综合

【解析】【解答】解：因为A的定义域为不关于原点对称，故不是偶函数，则A不符合题意；

因为在单调递减，lnx在单调递增，由复合函数的性质可知，在单调递减，B不符合题意；

函数是偶函数，且在单调递增，C符合题意；

由的图象知在不单调，D不符合题意.

故答案为：C.

【分析】直接利用偶函数和增函数的性质判断即可得出答案．

5．【答案】A

【知识点】分段函数的应用

【解析】【解答】解：由，即

由解析式可以看出，函数图象先是反比例函数的一部分，接着是直线的一部分，

考察四个选项，只有A选项符合题意.

故答案为：A.

【分析】由函数解析式，此函数是一个指数型函数，且在指数位置带有绝对值号，先去绝对值号变为分段函数，再依据此分段函数的性质来确定符合题意的答案．

6．【答案】D

【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的性质

【解析】【解答】由，

可得，进而可得，

.

故答案为：D

【分析】首先根据对数运算法则，可知，再根据等比数列的性质可知，最后计算的值.

7．【答案】C

【知识点】奇偶性与单调性的综合

【解析】【解答】解：由题意：

对任意，，

在上为减函数；

函数是偶函数

关于y轴对称；

，

，

故答案为：C.

【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，再比较大小，即可得到结论.

8．【答案】D

【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

【解析】【解答】解：，

，

即的图象可由的图象向右平移个单位得到，

故答案为：D.

【分析】利用三角函数的诱导公式进行化简，结合三角函数的图象变换关系进行判断即可．

9．【答案】B

【知识点】函数的图象；分段函数的应用

【解析】【解答】由解析式可得函数的第一部分为指数函数的一部分，且随着a的变化而上下平移，

右半部分为直线的一部分且是固定的，作图如下：

结合图象分析可得，当左半部分的图象介于两红线之间时符合题意，

而红线与y轴的交点纵坐标为1-a，且只需0≤1-a＜1，即即可，

故答案为：B．

【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用函数的零点与函数与x轴交点的横坐标等价的关系，从而结合已知条件求出实数a的取值范围。

10．【答案】A

【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用

【解析】【解答】解：由，得的最大值为，故错误；

“，”的否定是“”，故正确；

为锐角三角形，，则，

在上是增函数，，同理可得，，，故正确；

，函数的零点是，0，结合二次函数的对称轴，

可得函数在区间内单调递增；

若函数在区间内单调递增，结合二次函数的对称轴，可得，

，

“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件，故正确．

其中错误的个数是1.

故答案为：A.

【分析】由正弦的二倍角公式和正弦函数的值域判断；写出全称命题的否定判断；由锐角三角形的定义和正弦函数的单调性，结合诱导公式可判断；由二次函数的图象和性质，结合充分必要条件的定义可判断.

11．【答案】C

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：设，要使已知方程在区间内有两个不同的根，即的图象在区间内与x轴有两个不同的交点，

由题意可得：或，

即或(经分析此种不情况不存在最小值故舍)；

化简得，

在直角坐标系中作出满足不等式可行域，可行域阴影部分如图所示，

设，则直线经过图中的可行域中的整点时，

取得最小值，即．

故答案为：C.

【分析】本题为一元二次方程的实根分布问题，分别讨论和，根据一元二次函数的图象依次根据开口方向，对称轴，判别式，区间端点列出不等式组，得到满足的条件，所求的最小值为线性规划问题，画出满足条件的可行域，数形结合解这个线性规划问题即可．

12．【答案】B

【知识点】三角函数的单调性

【解析】【解答】解：，，当时，，

在上单调递增，又，

是偶函数，因此在上为减函数，故正确；

，，，故点不是函数图象的一个对称中心，故错误；

，

，若，

则恒成立即，不满足对任意恒成立，函数图象不关于直线对称，故错误；

取即可说明结论是正确的，故正确．

正确命题的个数是2．

故答案为：B.

【分析】判断函数的奇偶性，再由导数研究单调性判断正误；找出关于点的对称点是否关于对称即可判断正误；说明不恒成立，判断错误；找出一个常数M，使对一切实数均成立即可.

13．【答案】2

【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用

【解析】【解答】解：函数是幂函数,

则,即,

解得或;

当时,,函数是上的减函数,满足题意;

当时,,函数不是上的减函数,不满足题意;

所以的值为2．

故答案为：2．

【分析】根据函数是幂函数列方程求得m的值，再讨论是否满足是上的减函数．

14．【答案】2

【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值

【解析】【解答】解：因为在R上的奇函数,当时,，,,

;

故答案为：2．

【分析】利用函数的性质以及奇函数的定义,逐层从里面脱括号即可得到答案．

15．【答案】

【知识点】利用导数研究函数的单调性

【解析】【解答】由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值.

，当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增.

，即函数在上的最小值为-1.

函数为直线，

当时，，显然不符合题意；

当时，在上单调递增，的最小值为，则，与矛盾；

当时，在上单调递减，的最小值为，则，即，符合题意.

故实数m的取值范围是.

【分析】由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m的取值范围.

16．【答案】1

【知识点】正弦函数的图象

【解析】【解答】由题意画出图象如下：

根据题意，很明显，在D点处，

直线与函数的图象相切，D点即为切点．

则有，在点D处，，．而，

且，

∴．

∴．

故答案为：1．

【分析】根据题意画出图象，找到只有四个公共点的情况，明确D点即为直线与函数的图象相切点，然后代入运算，即可得到结果．

17．【答案】解：命题为真命题，为假命题；

一真一假．

命题：实数a满足：的定义域为R；

则恒成立，即，；

故：;

命题：函数在上单调递减;；

,故：;

若真假，则，解得；

若假真，则，解得；

综上所述，实数的取值范围是．

【知识点】复合命题的真假

【解析】【分析】根据命题为真命题,为假命题,则一真