河北省唐山市第四十二中学2022-2023学年高三数学文下学期摸底试题含解析

河北省唐山市第四十二中学2022-2023学年高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知的导函数，则的图象是参考答案：A略3.已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（

）A.6

B.5.5

C.5

D.4.5参考答案：C略4.将正整数随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：B将正整数随机分成两组，使得每组至少有一个数则有种，因为，所以要使两组中各数之和相，则有各组数字之和为14.则有；；；；；；；共8种，所以两组中各数之和相等的概率是，选B.5.已知双曲线的左、右焦点分别是Fl，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P,Q两点，若｜PF1｜＝｜F1F2｜，且3｜PF2｜=2｜QF2｜，则该双曲线的离心率为A、B、C、2D、参考答案：A

【知识点】双曲线的简单性质．H6解析：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1；∵，3|PF2|=2|QF2|；∴，；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：；∴解得d=；∵根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF2|=2c﹣2a；∴根据双曲线的第二定义，；整理成：；∴解得（舍去）；即该双曲线的离心率为．故选A．【思路点拨】先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，根据双曲线的第二定义即可求出Q到l的距离为．过Q作l的垂线QQ1，而过P作QQ1的垂线PM，交x轴于N，在△PMQ中有，这样即可求得d=，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF2|=2c﹣2a，所以根据双曲线的第二定义即可得到，进一步可整理成，这样解关于的方程即可．6.已知一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为（

）A． B． C．

D．参考答案：C7.已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则实数a＝（

）A. B. C.2 D.﹣2参考答案：D【分析】化简z＝（1+2i）（1+ai）=，再根据z∈R求解.【详解】因为z＝（1+2i）（1+ai）=，又因为z∈R，所以，解得a＝-2.故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C9.若，则tanθ=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，求得tanθ的值．【解答】解：若，则2sinθcos+2cosθsin=3sincosθ﹣3cossinθ，化简可得sinθ=cosθ，∴tanθ=，故选：B．10.已知数列{an}满足an=an+1，若a3+a4=2，则a4+a5=（）A． B．1 C．4 D．8参考答案：C【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据已知条件可以求得公比q=2．【解答】解：∵数列{an}满足an=an+1，∴=2．则该数列是以2为公比的等比数列．由a3+a4=2，得到：4a1+8a1=2，解得a1=，则a4+a5=8a1+16a1=24a1=24×=4，故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=||x﹣1|﹣1|，若关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是．参考答案：（﹣3，0）略12.设，若函数有零点，则的取值范围是__________.参考答案：.试题分析：，当且仅当即时等号成立，则，若函数有零点，则的取值范围是.考点：基本不等式及零点问题.13.已知数列中，（是与无关的实数常数），且满足，则实数的取值范围是____▲_______．参考答案：14.（几何证明选讲选做题）如图,是圆的直径,点在圆上,延长到使,过作圆的切线交于.若,则_________.参考答案：215.已知，且，则的最小值为

参考答案：316.若向量,若,则的最小值为_________.参考答案：略17.已知一正四棱柱(底面为正方形的直四棱柱)内接于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为参考答案：【分析】根据内接关系作出截面图，建立正四棱柱和圆锥之间的关系，从而可求.【详解】设正四棱柱的底面边长为，高为，如图由题意可得解得，正四棱柱的体积为，，当时，，为增函数；当时，，为减函数；所以当时，正四棱柱体积最大，此时正四棱柱的底面边长为.【点睛】本题主要考查组合体的内接问题，体积最大值的确定要根据目标式的特征来选择合适的方法，侧重考查直观想象的核心素养.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，恒成立，求的取值范围参考答案：考点：导数的综合运用利用导数研究函数的单调性导数的概念和几何意义试题解析：（Ⅰ）当时，所以切点为（1，,所以切线为：即切线。（Ⅱ）由题意即对一切恒成立令，则，当时，，故在上为增函数，即在上为增函数，故19.如图正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC；（Ⅲ）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理，结合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN，再由线面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；（II）由已知中正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，易得ED⊥平面ABCD，进而ED⊥BC，由勾股定理，我们易判断出△BCD中，BC⊥BD，由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BDE⊥平面BEC；（III）以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEC与平面ADEF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（I）取DE中点N，连接MN，AN在△EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且MN=CD．由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB，且MN=AB．所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN又因为AN?平面ADEF，且BM?平面ADEF，所以BM∥平面ADEF．（II）在正方形ADEF中，ED⊥AD，又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2在△BCD中，BD=BC=2，CD=4，所以BC⊥BD．所以BC⊥平面BDE，又因为BC?平面BCE，所以平面BDE⊥平面BEC．解：（III）由（2）知ED⊥平面ABCD，且AD⊥CD．以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2），平面ADEF的一个法向量为=（0，1，0）．设=（x，y，z）为平面BEC的一个法向量，因为，∴令x=1，得y=1，z=2所以=（1，1，2）为平面BEC的一个法向量设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为θ则cosθ==所以平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为余弦值为【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面不同位置关系（平行和垂直）的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答本题的关键．20.（14分）（2015?丽水一模）已知函数f（x）=|a2x2﹣1|+ax（a∈R，且a≠0）．（Ⅰ）当a＜0时，若函数y=f（x）﹣c恰有x1，x2，x3，x4四个零点，求x1+x2+x3+x4的值；（Ⅱ）若不等式f（x）≥|x|对一切x∈[b，+∞）都成立，求a2b2+（b﹣）2的最小值．参考答案：【考点】：分段函数的应用；函数的图象．【专题】：计算题；数形结合；分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：（Ⅰ）将函数f（x）写成分段函数式，画出简图，由图当时，y=f（x）﹣c有四个零点，再由二次方程的韦达定理，即可得到之和；（Ⅱ）f（x）≥|x|在[b，+∞）上恒成立，分（1）a≥1，b＞0，（2）a≥1，b＜0，（3）0＜a＜1，（4）a＜0则b＞0，运用不等式的性质和二次函数的性质，即可得到最小值．解：（Ⅰ）f（x）=|a2x2﹣1|+ax=，如图，当时，y=f（x）﹣c有四个零点，依次设为x1，x2，x3，x4则显然有x1，x4是方程a2x2+ax﹣1=0的两个根，因此，x2，x3，是方程﹣a2x2+ax+1=0的两个根，因此∴x1+x2+x3+x4=0．（Ⅱ）f（x）≥|x|在[b，+∞）上恒成立，则（1）a≥1，b＞0，此时；（2）a≥1，b＜0则必须满足a2b2≤ab+b+1，此时，由于a＞0，b＜0则；（3）0＜a＜1，则b＞0且a2b2≥b+1﹣ab，则=；（4）a＜0则b＞0且a2b2≥b+1﹣ab，则=．综上可得且时取等号．即有a2b2+（b﹣）2的最小值为．【点评】：本题考查绝对值函数的图象和运用，考查函数的零点和方程的根的关系，同时考查不等式恒成立问题，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．21.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，，，且，．(1)PA⊥平面ABCD；(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角大小为60°？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．参考答案：(1)见证明(2)见解析【分析】（1）推导出AB⊥AC，AP⊥AC，AB⊥PC，从而AB⊥平面PAC，进而PA⊥AB，由此能证明PA⊥平面ABCD；（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PD上，存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°，4﹣2．【详解】（1）∵在底面中，，且∴，∴又∵，，平面，平面∴平面

又∵平面

∴∵，

∴又∵，，平面，平面∴平面（2）方法一：在线段上取点，使

则又由（1）得平面

∴平面又∵平面

∴

作于又∵，平面，平面∴平面又∵平面∴又∵

∴是二面角的一个平面角设

则，这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、