【解析】广东省惠州市惠城区2023-2022学年九年级上学期期末数学试题

第第页【解析】广东省惠州市惠城区2023-2022学年九年级上学期期末数学试题广东省惠州市惠城区2023-2022学年九年级上学期期末数学试题

一、单选题

1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．

C．D．

2．（2023九上·望城期中）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A．m＜﹣1B．m＜1C．m＞﹣1D．m＞1

3．对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（）

A．图象的开口向下B．函数的最小值为1

C．图象的对称轴为直线x=﹣2D．图象的顶点坐标是（1，2）

4．（2023九上·城阳期末）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（）个．

A．8B．9C．14D．15

5．（2023·海南）如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（）

A．B．C．D．

6．若正三角形的周长为12，则这个正三角形的边心距为（）

A．B．C．D．

7．（2023·西青模拟）若点在反比例函数的图像上，则的大小关系为（）

A．B．C．D．

8．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数是（）

A．52°B．76°C．26°D．128°

9．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“蜻蜓”方程．已知关于的方程是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中一定正确的是（）

A．B．C．D．

10．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（2，0），其对称轴是直线x=﹣1，直线y=3恰好经过顶点．有下列判断：①当x＜﹣2时，y随x增大而减小；②ac＜0；③a﹣b+c＜0；④方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=2，x2=﹣4；⑤当m≤3时，方程ax2+bx+c=m有实数根．其中正确的是（）

A．①②③B．①②④C．②④⑤D．②③④

二、填空题

11．已知点A（a，1）与点B（4，b）关于原点对称，则a-b=．

12．二次函数y=（x+4）2+1的图象向右平移2个单位长度后，再向上平移5个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为．

13．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2023﹣2a﹣2b的值．

14．点P（﹣1，m﹣3）在第三象限，则反比例函数y=的图象在第象限．

15．（2023·连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为.

16．如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，P(2a，a)是反比例函数y＝的图象与正方形的边的一个交点，则图中阴影部分的面积是．

17．（2023九上·鄞州竞赛）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若OB=2，则阴影部分周长的最小值为．

三、解答题

18．（2023九上·澧县期中）解方程：.

19．有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有3张卡片，卡片上分别写着3cm、7cm、9cm；乙盒子中装有4张卡片，卡片上分别写着2cm、4cm、6cm、8cm；盒子外有一张写着5cm的卡片．所有卡片的形状、大小都完全相同．现随机从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片，与盒子外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作为一条线段的长度．

（1）请用树状图或列表的方法求这三条线段能组成三角形的概率；

（2）求这三条线段能组成直角三角形的概率．

20．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上．

⑴画出关于原点对称的；

⑵画出向上平移5个单位后的，并求出平移过程中线段扫过的面积．

21．（2023九上·东坡月考）某汽车销售公司2023年10月份销售一种新型低能耗汽车20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．

（1）求11月份和12月份的平均增长率；

（2）该型号汽车每辆的进价为10万元，且销售a辆汽车，汽车厂队销售公司每辆返利0.03a万元，该公司这种型号汽车的售价为11万元/辆，若使2023年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元，那么该公司1月份至少需要销售该型号汽车多少辆？此时总盈利至少是多少万元？（盈利＝销售利润+返利）

22．如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．若将绕点逆时针旋转90°后，得到．

（1）求的长；

（2）∠BPC度数．

23．（2023·徐州）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点、交反比例函数的图像于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、.

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求面积的最大值.

24．（2023九上·蓬莱期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC．

（1）求证：MN是⊙O的切线．

（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．

①求证：FD＝FG．

②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．

25．如图，已知抛物线的顶点坐标为Q，且与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PDy轴，交AC于点D．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；

B、既是中心对称图形也是轴对称图形，故符合题意；

C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；

D、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；

故答案为：B．

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。

2．【答案】B

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，

∴△=（-2）2-4m=4-4m＞0，

解得：m＜1．

故答案为：B．

【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出△=4-4m＞0，解之即可得出结论．

3．【答案】B

【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质

【解析】【解答】解：二次函数y=2（x-2）2+1，a=2＞0，

∴该函数的图象开口向上，A不符合题意，

函数的最小值是y=1，B符合题意，

图象的对称轴是直线x=2，C不符合题意，

抛物线的顶点坐标为（2，1），D不符合题意，

故答案为：B．

【分析】根据二次函数的顶点式的图象和性质求解即可。

4．【答案】C

【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用

【解析】【解答】解：∵摸到白球的频率约为30%，

∴不透明的袋子中一共有球为：6÷30%=20（个），

黑球有20-6=14（个），

故答案为：C．

【分析】根据摸到白球的频率约为30%，用6除以30%得出总球数，再计算求解即可。

5．【答案】B

【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；直角三角形的性质

【解析】【解答】解：∵

由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，

∴cm，

又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，

由旋转的性质可知：，且，

∴为等边三角形，

∴.

故答案为：B.

【分析】由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出.

6．【答案】B

【知识点】等边三角形的性质；勾股定理

【解析】【解答】如图，

连接OC，作OD⊥BC，

∵∠ACB=60°，CO平分∠ACB，

∴∠OCD=60°×=30°，

在Rt△ODC中，OD=OC，

设OD=x，则OC=2x．

又∵正三角形的周长为12，

∴BC=12×=4，

∴CD=4×=2，

根据勾股定理，（2x）2+x2=22，

解得x=．

【分析】连接OC，作OD⊥BC，设OD=x，则OC=2x，利用勾股定理可得（2x）2+x2=22，再求出x=即可。

7．【答案】C

【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征

【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，

∴，，，

∵，

∴，

故答案为：C．

【分析】分别将x=-1、2、3分别代入中，求出相对应的函数值，然后比较函数值的大小即可.

8．【答案】B

【知识点】圆周角定理；切线长定理

【解析】【解答】如图，连接OD，OF，

∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，

∴∠ADO=∠AFO=90°；

∴∠A+∠DOF=180°，

∵∠DEF=52°，∠DOF和∠DEF分别为所对的圆心角和圆周角，

∴∠DOF=2∠DEF=104°；

∴∠A=180°﹣∠DOF=76°．

故答案为：B．

【分析】连接OD，OF，根据圆周角的性质可得∠DOF=2∠DEF=104°，最后利用四边形的内角和求出∠A的度数即可。

9．【答案】C

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算

【解析】【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，

∴，

∵方程是“蜻蜓”方程，

∴，即，

∴，

∴．

故答案为：C．

【分析】根据“蜻蜓”方程的定义可得，即，再利用一元二次方程根的判别式可得，即可得到，最后化简可得。

10．【答案】C

【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质

【解析】【解答】①由图象知，当x＜-2时，y随x增大而增大，故不符合题意；

②抛物线开口方向向下，则a＜0，

抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，

所以ac＜0，故符合题意；

③由题意知，当x=-1时，y=3＞0，

所以a-b+c＞0，故不符合题意；

④由题意知，抛物线与x轴的另一交点与点（2，0）关于直线x=-1对称，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（-4，0），所以方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=2，x2=-4，故符合题意；

⑤由题意知，当m≤3时，直线y=m与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）有交点，所以，方程ax2+bx+c=m有实数根，故符合题意．

综上所述，正确的结论是：②④⑤．

故答案为：C．

【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系逐项判断即可。

11．【答案】-3

【知识点】关于原点对称的坐标特征

【解析】【解答】解：∵点A（a，1）与点B（4，b）关于原点对称，

∴a=-4，b=-1，

∴a-b的值为：-4-（-1）=-3．

故答案为：-3．

【分析】根据关于原点对称的点坐标的特征：横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数可得：a=-4，b=-1，再将其代入a-b计算即可。

12．【答案】y＝(x+2)2＋6

【知识点】二次函数图象的几何变换

【解析】【解答】解：∵y＝(x+4)2＋1把其图象向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，

得抛物线y＝(x+4-2)2+1＋5，

即为y＝(x+2)2＋6．

故答案为：y＝(x+2)2＋6．

【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。

13．【答案】2022

【知识点】代数式求值；一元二次方程的根

【解析】【解答】解：由题意知

∴

∴

故答案为：2022．

【分析】将x=1代入ax2+bx+5=0可得，再将其代入计算即可。

14．【答案】二、四

【知识点】反比例函数的图象；点的坐标与象限的关系

【解析】【解答】解：∵点P（﹣1，m﹣3）在第三象限，

∴，

解得m＜3，

∴m﹣4＜0，

∴反比例函数y=的图象在第二、四象限．

故答案为二、四．

【分析】根据第三象限点坐标的特征可得m＜3，再求出m﹣4＜0，最后根据反比例函数的图象与系数的关系可得答案。

15．【答案】3.75

【知识点】二次函数的其他应用

【解析】【解答】解：∵的对称轴为（min），

故：最佳加工时间为3.75min，

故答案为：3.75.

【分析】根据二次函数的对称轴公式直接计算即可.

16．【答案】4

【知识点】反比例函数系数k的几何意义；中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：把P(2a，a)代入y＝得：

2aa=2，

解得a=1或-1，

∵点P在第一象限，

∴a=1，

∴P点坐标为(2，1)，

∴正方形的面积=4×4=16，

∴图中阴影部分的面积=×正方形的面积=4．

故答案为4．

【分析】将点P的坐标代入y＝求出a的值，可得点P的坐标，再求出正方形的面积=4×4=16，最后根据中心对称的性质可得阴影部分的面积=×正方形的面积=4。

17．【答案】

【知识点】勾股定理；弧长的计算；轴对称的应用-最短距离问题

【解析】【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点F，连接CF交OB于G，分别连接OF、EF、DG，此时CE+DE的值最小，即阴影部分的周长最小，连接OF，

根据对称的性质得：OF=OD=2，

EF=ED，GF=GD，∠DOB=∠FOB，

∵OD平分∠BOC，

∴∠BOD=∠COD=30°，

∴∠COF=∠BOC+∠FOB=60°+30°=90°，

∴弧CD长=,

在Rt△COF中，OC=OF=2，

∴CF=，

∴阴影部分的周长=CE+ED+=CE+EF+≥CF+，

∴当E点与G点重合时，CE+EF最小，且最小值为CF的长，从而阴影部分的周长的最小值为；

故答案为：.

【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．

18．【答案】解：∵，

∴.

则或，

解得，.

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】观察方程特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解.

19．【答案】（1）解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，这三条线段能组成三角形的有7种情况，

∴这三条线段能组成三角形的概率为：；

（2）解：∵这三条线段能组成直角三角形的只有：3cm，4cm，5cm；

∴这三条线段能组成直角三角形的概率为：．

【知识点】列表法与树状图法

【解析】【分析】（1）根据题意先画树状图，再求出共有12种等可能的结果，这三条线段能组成三角形的有7种情况，最后求解即可；

（2）根据题意先求出这三条线段能组成直角三角形的只有：3cm，4cm，5cm，再求概率即可。

20．【答案】解：⑴如图

⑵如图，扫描过的区域为平行四边形形AA2C2C，

故S=3×5=15.

【知识点】作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；平行四边形的面积

【解析】【分析】（1）利用关于原点对称的点坐标的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；

（2）利用平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接可得，最后利用平行四边形的面积公式求解即可。

21．【答案】（1）解：设11月份和12月份的平均增长率为x，

根据题意得：20（1+x）2＝45，

解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（舍去）．

答：11月份和12月份的平均增长率为50%．

（2）解：根据题意得：11﹣10+0.03a≥2.6，

解得：a≥53．

∵a为整数，

∴a≥54．

∴此时总盈利为54×（11﹣10+0.03×54）＝141.48（万元）．

答：该公司1月份至少需要销售该型号汽车54辆，此时总盈利至少是141.48万元．

【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题

【解析】【分析】（1）设11月份和12月份的平均增长率为x，根据该销售公司10月份及12月份的销售数量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据盈利=销售利润+返利结合盈利不低于2.6万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，结合a为整数即可得出a的最小值，再代入盈利=销售利润+返利可求出总盈利的最少值．

22．【答案】（1）解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得，则△PBC≌△P′BA．

∴AP′=PC=1，BP′=BP=，∠PBP′=90°．

连接PP′，

在Rt△BP′P中，

∵BP=BP′=，∠PBP′=90°，

∴PP′2=BP′2+BP2=4，

∴PP′=2，∠BP′P=45°．

（2）解：在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=，

∵，即AP′2+PP′2=AP2．

∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°．

∴∠AP′B=∠BP′P+∠AP′P=135°．

∴∠BPC=∠AP′B=135°．

【知识点】勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质

【解析】【分析】（1）将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得，则△PBC≌△P′BA，可得AP′=PC=1，BP′=BP=，∠PBP′=90°，再求出PP′2=BP′2+BP2=4，即可得到PP′=2，∠BP′P=45°；

（2）利用勾股定理的逆定理可得△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，再利用角的运算可得∠AP′B=∠BP′P+∠AP′P=135°，即可得到∠BPC=∠AP′B=135°。

23．【答案】（1）解：设直线AB为

把点、代入解析式得：

解得：

直线为

把代入得：

把代入：

，

（2）解：设轴，

则由＜＜，

即当时，

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的实际应用-几何问题

【解析】【分析】（1）利用点、求解一次函数的解析式，再求的坐标，再求反比例函数解析式；（2）设则再表示的长度，列出三角形面积与的函数关系式，利用函数的性质可得答案.

24．【答案】（1）证明：∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠ABC＝90°；

∵∠MAC＝∠ABC，

∴∠MAC+∠CAB＝90°，即MA⊥AB，

∴MN是⊙O的切线

（2）解：①证明：∵D是弧AC的中点，

∴∠DBC＝∠ABD，

∵AB是直径，

∴∠CBG+∠CGB＝90°，

∵DE⊥AB，

∴∠FDG+∠ABD＝90°，

∵∠DBC＝∠ABD，

∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，

∴FD＝FG；

②解：连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．

∵∠DBC＝∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，

∴DE＝DH，

在Rt△BDE与Rt△BDH中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），

∴BE＝BH，

∵D是弧AC的中点，

∴AD＝DC，

在Rt△ADE与Rt△CDH中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）．

∴AE＝CH．

∴BE＝AB﹣AE＝BC+CH＝BH，即5﹣AE＝3+AE，

∴AE＝1．

【知识点】切线的判定；圆的综合题

【解析】【分析】（1）证出∠CAB+∠ABC＝90°，因为AB是直径，得出∠ACB＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，由∠MAC＝∠ABC，即可得出结论；

（2）①证明因为D是弧AC的中点，得出∠DBC＝∠ABD，因为AB是直径，得出∠CBG+∠CGB＝90°，∠FDG+∠ABD＝90°，由∠DBC＝∠ABD，推出∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，由此得出结论；②连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．由∠DBC＝∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，得出DE＝DH，证出Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），由D是弧AC的中点，证出Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）．得出AE＝CH，由此得出结论。

25．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为Q（2，－1）

∴设

将C（0，3）代入上式，得

解得

∴，

即

（2）解：分两种情况：

①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合（如图）

令=0，得

解之得，

∵点A在点B的右边，

∴B（1，0），A（3，0）

∴P1（1，0）

②解：当点A为△APD2的直角顶点时（如图）

∵OA=OC，∠AOC=，

∴∠OAD2=

当∠D2AP2=时，∠OAP2=，

∴AO平分∠D2AP2

又∵P2D2∥轴，

∴P2D2⊥AO，

∴P2、D2关于轴对称

设直线AC的函数关系式为

将A（3，0），C（0，3）代入上式得

，

∴

∴

∵D2在上，P2在上，

∴设D2（，），P2（，）

∴（）+（）=0

即，

∴，（舍）

∴当=2时，==－1

∴P2的坐标为P2（2，－1）（即为抛物线顶点）

∴P点坐标为P1（1，0），P2（2，－1）

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题

【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；

（2）分两种情况：①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；②解：当点A为△APD2的直角顶点时，再分别画出图形并求解即可。

1/1广东省惠州市惠城区2023-2022学年九年级上学期期末数学试题

一、单选题

1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；

B、既是中心对称图形也是轴对称图形，故符合题意；

C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；

D、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；

故答案为：B．

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。

2．（2023九上·望城期中）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A．m＜﹣1B．m＜1C．m＞﹣1D．m＞1

【答案】B

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，

∴△=（-2）2-4m=4-4m＞0，

解得：m＜1．

故答案为：B．

【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出△=4-4m＞0，解之即可得出结论．

3．对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（）

A．图象的开口向下B．函数的最小值为1

C．图象的对称轴为直线x=﹣2D．图象的顶点坐标是（1，2）

【答案】B

【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质

【解析】【解答】解：二次函数y=2（x-2）2+1，a=2＞0，

∴该函数的图象开口向上，A不符合题意，

函数的最小值是y=1，B符合题意，

图象的对称轴是直线x=2，C不符合题意，

抛物线的顶点坐标为（2，1），D不符合题意，

故答案为：B．

【分析】根据二次函数的顶点式的图象和性质求解即可。

4．（2023九上·城阳期末）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（）个．

A．8B．9C．14D．15

【答案】C

【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用

【解析】【解答】解：∵摸到白球的频率约为30%，

∴不透明的袋子中一共有球为：6÷30%=20（个），

黑球有20-6=14（个），

故答案为：C．

【分析】根据摸到白球的频率约为30%，用6除以30%得出总球数，再计算求解即可。

5．（2023·海南）如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；直角三角形的性质

【解析】【解答】解：∵

由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，

∴cm，

又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，

由旋转的性质可知：，且，

∴为等边三角形，

∴.

故答案为：B.

【分析】由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出.

6．若正三角形的周长为12，则这个正三角形的边心距为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】等边三角形的性质；勾股定理

【解析】【解答】如图，

连接OC，作OD⊥BC，

∵∠ACB=60°，CO平分∠ACB，

∴∠OCD=60°×=30°，

在Rt△ODC中，OD=OC，

设OD=x，则OC=2x．

又∵正三角形的周长为12，

∴BC=12×=4，

∴CD=4×=2，

根据勾股定理，（2x）2+x2=22，

解得x=．

【分析】连接OC，作OD⊥BC，设OD=x，则OC=2x，利用勾股定理可得（2x）2+x2=22，再求出x=即可。

7．（2023·西青模拟）若点在反比例函数的图像上，则的大小关系为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征

【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，

∴，，，

∵，

∴，

故答案为：C．

【分析】分别将x=-1、2、3分别代入中，求出相对应的函数值，然后比较函数值的大小即可.

8．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数是（）

A．52°B．76°C．26°D．128°

【答案】B

【知识点】圆周角定理；切线长定理

【解析】【解答】如图，连接OD，OF，

∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，

∴∠ADO=∠AFO=90°；

∴∠A+∠DOF=180°，

∵∠DEF=52°，∠DOF和∠DEF分别为所对的圆心角和圆周角，

∴∠DOF=2∠DEF=104°；

∴∠A=180°﹣∠DOF=76°．

故答案为：B．

【分析】连接OD，OF，根据圆周角的性质可得∠DOF=2∠DEF=104°，最后利用四边形的内角和求出∠A的度数即可。

9．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“蜻蜓”方程．已知关于的方程是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中一定正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算

【解析】【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，

∴，

∵方程是“蜻蜓”方程，

∴，即，

∴，

∴．

故答案为：C．

【分析】根据“蜻蜓”方程的定义可得，即，再利用一元二次方程根的判别式可得，即可得到，最后化简可得。

10．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（2，0），其对称轴是直线x=﹣1，直线y=3恰好经过顶点．有下列判断：①当x＜﹣2时，y随x增大而减小；②ac＜0；③a﹣b+c＜0；④方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=2，x2=﹣4；⑤当m≤3时，方程ax2+bx+c=m有实数根．其中正确的是（）

A．①②③B．①②④C．②④⑤D．②③④

【答案】C

【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质

【解析】【解答】①由图象知，当x＜-2时，y随x增大而增大，故不符合题意；

②抛物线开口方向向下，则a＜0，

抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，

所以ac＜0，故符合题意；

③由题意知，当x=-1时，y=3＞0，

所以a-b+c＞0，故不符合题意；

④由题意知，抛物线与x轴的另一交点与点（2，0）关于直线x=-1对称，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（-4，0），所以方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=2，x2=-4，故符合题意；

⑤由题意知，当m≤3时，直线y=m与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）有交点，所以，方程ax2+bx+c=m有实数根，故符合题意．

综上所述，正确的结论是：②④⑤．

故答案为：C．

【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系逐项判断即可。

二、填空题

11．已知点A（a，1）与点B（4，b）关于原点对称，则a-b=．

【答案】-3

【知识点】关于原点对称的坐标特征

【解析】【解答】解：∵点A（a，1）与点B（4，b）关于原点对称，

∴a=-4，b=-1，

∴a-b的值为：-4-（-1）=-3．

故答案为：-3．

【分析】根据关于原点对称的点坐标的特征：横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数可得：a=-4，b=-1，再将其代入a-b计算即可。

12．二次函数y=（x+4）2+1的图象向右平移2个单位长度后，再向上平移5个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为．

【答案】y＝(x+2)2＋6

【知识点】二次函数图象的几何变换

【解析】【解答】解：∵y＝(x+4)2＋1把其图象向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，

得抛物线y＝(x+4-2)2+1＋5，

即为y＝(x+2)2＋6．

故答案为：y＝(x+2)2＋6．

【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。

13．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2023﹣2a﹣2b的值．

【答案】2022

【知识点】代数式求值；一元二次方程的根

【解析】【解答】解：由题意知

∴

∴

故答案为：2022．

【分析】将x=1代入ax2+bx+5=0可得，再将其代入计算即可。

14．点P（﹣1，m﹣3）在第三象限，则反比例函数y=的图象在第象限．

【答案】二、四

【知识点】反比例函数的图象；点的坐标与象限的关系

【解析】【解答】解：∵点P（﹣1，m﹣3）在第三象限，

∴，

解得m＜3，

∴m﹣4＜0，

∴反比例函数y=的图象在第二、四象限．

故答案为二、四．

【分析】根据第三象限点坐标的特征可得m＜3，再求出m﹣4＜0，最后根据反比例函数的图象与系数的关系可得答案。

15．（2023·连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为.

【答案】3.75

【知识点】二次函数的其他应用

【解析】【解答】解：∵的对称轴为（min），

故：最佳加工时间为3.75min，

故答案为：3.75.

【分析】根据二次函数的对称轴公式直接计算即可.

16．如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，P(2a，a)是反比例函数y＝的图象与正方形的边的一个交点，则图中阴影部分的面积是．

【答案】4

【知识点】反比例函数系数k的几何意义；中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：把P(2a，a)代入y＝得：

2aa=2，

解得a=1或-1，

∵点P在第一象限，

∴a=1，

∴P点坐标为(2，1)，

∴正方形的面积=4×4=16，

∴图中阴影部分的面积=×正方形的面积=4．

故答案为4．

【分析】将点P的坐标代入y＝求出a的值，可得点P的坐标，再求出正方形的面积=4×4=16，最后根据中心对称的性质可得阴影部分的面积=×正方形的面积=4。

17．（2023九上·鄞州竞赛）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若OB=2，则阴影部分周长的最小值为．

【答案】

【知识点】勾股定理；弧长的计算；轴对称的应用-最短距离问题

【解析】【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点F，连接CF交OB于G，分别连接OF、EF、DG，此时CE+DE的值最小，即阴影部分的周长最小，连接OF，

根据对称的性质得：OF=OD=2，

EF=ED，GF=GD，∠DOB=∠FOB，

∵OD平分∠BOC，

∴∠BOD=∠COD=30°，

∴∠COF=∠BOC+∠FOB=60°+30°=90°，

∴弧CD长=,

在Rt△COF中，OC=OF=2，

∴CF=，

∴阴影部分的周长=CE+ED+=CE+EF+≥CF+，

∴当E点与G点重合时，CE+EF最小，且最小值为CF的长，从而阴影部分的周长的最小值为；

故答案为：.

【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．

三、解答题

18．（2023九上·澧县期中）解方程：.

【答案】解：∵，

∴.

则或，

解得，.

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】观察方程特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解.

19．有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有3张卡片，卡片上分别写着3cm、7cm、9cm；乙盒子中装有4张卡片，卡片上分别写着2cm、4cm、6cm、8cm；盒子外有一张写着5cm的卡片．所有卡片的形状、大小都完全相同．现随机从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片，与盒子外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作为一条线段的长度．

（1）请用树状图或列表的方法求这三条线段能组成三角形的概率；

（2）求这三条线段能组成直角三角形的概率．

【答案】（1）解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，这三条线段能组成三角形的有7种情况，

∴这三条线段能组成三角形的概率为：；

（2）解：∵这三条线段能组成直角三角形的只有：3cm，4cm，5cm；

∴这三条线段能组成直角三角形的概率为：．

【知识点】列表法与树状图法

【解析】【分析】（1）根据题意先画树状图，再求出共有12种等可能的结果，这三条线段能组成三角形的有7种情况，最后求解即可；

（2）根据题意先求出这三条线段能组成直角三角形的只有：3cm，4cm，5cm，再求概率即可。

20．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上．

⑴画出关于原点对称的；

⑵画出向上平移5个单位后的，并求出平移过程中线段扫过的面积．

【答案】解：⑴如图

⑵如图，扫描过的区域为平行四边形形AA2C2C，

故S=3×5=15.

【知识点】作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；平行四边形的面积

【解析】【分析】（1）利用关于原点对称的点坐标的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；

（2）利用平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接可得，最后利用平行四边形的面积公式求解即可。

21．（2023九上·东坡月考）某汽车销售公司2023年10月份销售一种新型低能耗汽车20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．

（1）求11月份和12月份的平均增长率；

（2）该型号汽车每辆的进价为10万元，且销售a辆汽车，汽车厂队销售公司每辆返利0.03a万元，该公司这种型号汽车的售价为11万元/辆，若使2023年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元，那么该公司1月份至少需要销售该型号汽车多少辆？此时总盈利至少是多少万元？（盈利＝销售利润+返利）

【答案】（1）解：设11月份和12月份的平均增长率为x，

根据题意得：20（1+x）2＝45，

解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（舍去）．

答：11月份和12月份的平均增长率为50%．

（2）解：根据题意得：11﹣10+0.03a≥2.6，

解得：a≥53．

∵a为整数，

∴a≥54．

∴此时总盈利为54×（11﹣10+0.03×54）＝141.48（万元）．

答：该公司1月份至少需要销售该型号汽车54辆，此时总盈利至少是141.48万元．

【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题

【解析】【分析】（1）设11月份和12月份的平均增长率为x，根据该销售公司10月份及12月份的销售数量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据盈利=销售利润+返利结合盈利不低于2.6万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，结合a为整数即可得出a的最小值，再代入盈利=销售利润+返利可求出总盈利的最少值．

22．如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．若将绕点逆时针旋转90°后，得到．

（1）求的长；

（2）∠BPC度数．

【答案】（1）解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得，则△PBC≌△P′BA．

∴AP′=PC=1，BP′=BP=，∠PBP′=90°．

连接PP′，

在Rt△BP′P中，

∵BP=BP′=，∠PBP′=90°，

∴PP′2=BP′2+BP2=4，

∴PP′=2，∠BP′P=45°．

（2）解：在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=，

∵，即AP′2+PP′2=AP2．

∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°．

∴∠AP′B=∠BP′P+∠AP′P=135°．

∴∠BPC=∠AP′B=135°．

【知识点】勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质

【解析】【分析】（1）将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得，则△PBC≌△P′BA，可得AP′=PC=1，BP′=BP=，∠PBP′=90°，再求出PP′2=BP′2+BP2=4，即可得到PP′=2，∠BP′P=45°；

（2）利用勾股定理的逆定理可得△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，再利用角的运算可得∠AP′B=∠BP′P+∠AP′P=135°，即可得到∠BPC=∠AP′B=135°。

23．（2023·徐州）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点、交反比例函数的图像于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、.

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求面积的最大值.

【答案】（1）解：设直线AB为

把点