2023-2024学年北京市海淀区清华附中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京市海淀区清华附中九年级（上）开学数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万.数据7358万用科学记数法表示为(

)A.7.358×107 B.7.358×103 C.2.下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(

)A. B. C. D.3.如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠3与∠1的关系是(

)A.∠3=∠1 B.∠3=90°+∠1 C.∠3=90°−∠1 D.∠3=180°−∠14.已知实数a，b满足a+1>b+1，则下列选项错误的是(

)A.a>b B.−a>−b C.a+2>b+2 D.2a>2b5.下面的多边形中，内角和等于外角和的图形是(

)A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形6.若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是(

)A.4 B.2 C.1 D.−17.小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正面朝上的概率是(

)A.0 B.1 C.12 D.8.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则下列结论错误的是(

)

A.AB=25 B.∠BAC=90°

C.△ABC的面积为10 D.点A到直线BC第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共8小题，共24分）9.使x−5有意义的x的取值范围是______．10.若a，b为两个连续整数，且a<3<b，则a+b=______11.分解因式：x3−4x212.分式方程2x+1=1x的解为13.为了了解某地区初中学生的视力情况，随机抽取了该地区500名初中学生进行调查.整理样本数据，得到如表数据：视力4.7以下4.74.84.95.05.0以上人数989686958243根据抽样调查结果，估计该地区20000名初中学生视力不低于4.9的人数为______．14.如图，在3×2的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上，则∠BAC=______°.

15.点A(3,y1)，B(a,y2)在二次函数y=x2−4x+3的图象上.16.C21级数学活动中，有小菲、小冬、小敏三位同学进入最后冠军的角逐.决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第一二三名(不并列)，对应名次的得分分别为a，b，c(a>b>c，且a，b，c均为正整数)；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军，如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况：第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮最后得分小菲a26小冬bc12小敏b10根据表中信息可得，每轮比赛第二名得分为______分，小敏恰有______轮获得第二名．三、解答题（本大题共12小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题5.0分)

计算：|3−3|−(−18.(本小题5.0分)

解不等式组2(x−1)≤x+1x+2219.(本小题5.0分)

已知x2+2x−1=0，求代数式(x−1)(x+1)+(x+220.(本小题5.0分)

如图，点A、B、C、D在同一直线上，点E和点F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=CD．

(1)求证：四边形BECF是平行四边形；

(2)若∠AEC=90°，AE=4，CE=3，当AB=______时，四边形BECF是菱形．21.(本小题5.0分)

“曹冲称象”是流传很广的故事，如图.按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置.已知搬运工体重均为130斤，求大象的体重.请将下列解答过程补充完整：孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣.”

——《三国志》解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重和=21块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，所以：

①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x斤，则可列方程为：______．

②解这个方程得，x=______．

③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量=______个搬运工的体重．

④最终可求得：大象的体重为______斤.22.(本小题5.0分)

在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(1,3)，(0,2)．

(1)求这个函数的解析式；

(2)当x<2时，对于x的每一个值，函数y=nx(n≠0)的值小于函数y=kx+b的值，直接写出n的取值范围．23.(本小题6.0分)

如图，抛物线y=−x2+bx+c交x轴于A(−1,0)、B两点，交y轴于C(0,3)，点P在抛物线上，横坐标设为m．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围；

(3)若抛物线在点P右侧部分(含点P)的最高点的纵坐标为−1−m，求m24.(本小题6.0分)

某公司的午餐采用自助的形式，并倡导员工“适度取餐，减少浪费”.该公司共有10个部门，且各部门的人数相同.为了解午餐的浪费情况，公司从这10个部门中随机抽取了A，B两个部门，进行了连续四周(20个工作日)的调查，得到这两个部门每天午餐浪费饭菜的重量，以下简称“每日餐余重量”(单位：千克)，并对这些数据进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息．

a.A部门每日餐余重量的频数分布直方图如下(数据分成6组：0≤x<2，2≤x<4，4≤x<6，6≤x<8，8≤x<10，10≤x≤12)；

b.A部门每日餐余重量在6≤x<8这一组的是：6.1 6.6 7.0 7.0 7.0 7.8

c.B部门每日餐余重量如下：第1周1.42.86.97.81.9第2周6.92.67.56.99.5第3周9.73.14.66.910.8第4周7.88.48.39.48.8d.A，B两个部门这20个工作日每日餐余重量的平均数、中位数、众数如下：部门平均数中位数众数A6.4m7.0B6.67.2n根据以上信息，回答下列问题：

(1)写出表中m，n的值，m=______，n=______；

(2)在A，B这两个部门中，“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是______(填“A”或“B”)，理由是______．

(3)结合A，B这两个部门每日餐余重量的数据，估计该公司(10个部门)一年(按240个工作日计算)的餐余总重量为______千克；

(4)食堂工作人员从B部门第1周和第2周各抽查一日餐余重量，两日餐余重量刚好都是n的概率是______．25.(本小题7.0分)

2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军.女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前.投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分.建立平面直角坐标系xOy，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是3m，韩旭进行了两次投篮训练．

(1)第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m01234…竖直高度y/m2.03.03.63.83.6…①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；

②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是______m，并求y与x满足的函数解析式；

③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离5m，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由；

(2)第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=a(x−3)2+4.25，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d______5(填“>”，“=”或“<”)26.(本小题7.0分)

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2−2m2x+2(m≠0)与y轴交于点A，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B．

(1)求B点的横坐标(用含m的式子表示)；

(2)已知点P(m+2,2)，Q(0,m+2)，若抛物线与线段27.(本小题8.0分)

如图1，E为正方形ABCD对角线BD上一点(不与B，D重合)，F为DE中点，作EG⊥BC于G，连接AF，FG．

(1)直接写出线段AF与FG的数量关系和位置关系，不必证明；

(2)将△BEG绕点B逆时针旋转α(0°<α<90°)．

①如图2，若0°<α<45°，(1)中的结论是否还成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

②如图3，若45°<α<90°，连接AE且满足AE⊥EG，直接用等式表示线段EA，AF，EG之间的数量关系，不必证明．28.(本小题8.0分)

在平面直角坐标系中，对于点P(a,b)，Q(c,d)，当c≥0时，将点P向右平移c个单位，当c<0时，将点P向左平移−c个单位，得到点P′，再将点P′关于直线y=d对称得到点M，我们称点M为点P关于点Q的跳跃点．

例如，如图1，已知点P(1,3)，Q(3,2)，点P关于点Q的跳跃点为M(4,1)．

(1)已知点A(3,1)，B(2,2)，

①若点C为点A关于点B的跳跃点，则点C的坐标为______．

②若点A为点B关于点C的跳跃点，则点C的坐标为______．

(2)已知点D在直线y=2x上，点D的横坐标为m，点E的坐标为(0,3m)．

①点K为点E关于点D的跳跃点，若△DKO的面积为4，直接写出m的值；

②点E向上平移1个单位得到点F，以EF一边向右作正方形EFGH，点R为正方形EFGH的边上的一个动点，在运动过程中，直线y=2x上存在点D关于点R的跳跃点，请直接写出m的取值范围．

答案和解析1.【答案】A

解：7358万

=73580000

=7.358×107，

故选：A．

利用科学记数法的法则解答即可．2.【答案】D

解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】B

解：∵∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，

∴∠1+∠2=90°①，∠2+∠3=180°②，

②−①得，∠3−∠1=180°−90°=90°，

变形为：∠3=90°+∠1，

故选：B．

根据∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，可得∠1+∠2=90°①，∠2+∠3=180°②，通过求差，可得∠3与∠1的关系．

本题考查互为余角、互为补角的意义，利用等式的性质进行恒等变形，是寻找关系的一般方法．4.【答案】B

解：由不等式的性质得a>b，a+2>b+2，−a<−b，2a>2b．

故选：B．

根据不等式的性质即可得到a>b，a+2>b+2，2a>2b．

本题考查了不等式的性质，属于基础题，熟记不等式的性质是解题的关键．5.【答案】B

解：A.三角形的内角和等于180°，任意多边形的外角和等于360°，故三角形的内角和与外角和不相等，那么A不符合题意．

B.四边形的内角和等于360°，任意多边形的外角和等于360°，故四边形的内角和和外角和相等，那么B符合题意．

C.五边形的内角和等于540°，任意多边形的外角和等于360°，故五边形的内角和与外角和不相等，那么C不符合题意．

D.六边形的内角和等于720°，任意多边形的外角和等于360°，故六边形的内角和与外角和不相等，那么D不符合题意．

故选：B．

根据任意多边形的内角和公式、任意多边形的外角和等于360°解决此题．

本题主要考查多边形的内角和、外角和，熟练掌握任意多边形的内角和公式、任意多边形的外角和等于360°是解决本题的关键．6.【答案】D

解：∵关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个不相等的实数根，

∴Δ=12−4×1⋅m=1−4m>0，

解得：m<14，

取m=−1，

故选：D．

根据方程的系数结合根的判别式Δ>07.【答案】C

解：小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正面朝上的概率是：12，

故选：C．

根据概率的意义判断即可．

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可．

【解答】

解：A.∵AB2=22+42=20，

∴AB=25，本选项结论正确，不符合题意；

B.∵AC2=12+22=5，AB2=22+42=20，BC2=32+42=259.【答案】x≥5

解：若x−5≥0，原根式有意义，

∴x≥5，

故答案为x≥5．

根据二次根式有意义的条件，可推出x−5≥0，然后通过解不等式，即可推出x≥5．

本题主要考查二次根式有意义的条件，关键在于根据题意推出x−5≥0，然后正确的解不等式即可．10.【答案】3

解：∵1<3<4，

∴1<3<2，

∴a=1，b=2，

则a+b=1+2=3，

故答案为：3．

先估算3在哪两个连续整数之间求得a，b的值，然后将其代入11.【答案】x(x−2)解：x3−4x2+4x

=x(x2−4x+4)

=x(x−2)2，12.【答案】x=1

解：原方程两边同乘x(x+1)，去分母得：2x=x+1，

移项，合并同类项得：x=1，

检验：将x=1代入x(x+1)得：1×2=2≠0，

则原方程的解为：x=1，

故答案为：x=1．

按照解分式方程的步骤解方程后进行检验即可．

本题考查解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验．13.【答案】8800

解：由题意，20000×95+82+43500=8800(名)，

故该地区20000名初中学生视力不低于4.9的人数为8800名，

故答案为：8800．

用总人数乘以样本中视力不低于4.914.【答案】45

解：∵AB=AC=22+12=5，AC=32+12=10，

∴AB2+B15.【答案】4(答案不唯一)

解：∵y=x2−4x+3，

∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−−42×1=2，

∴点A(3,y1)关于直线x=2的对称点为(1,y1)，

∵点A(3,y1)，B(a,y2)在二次函数y=x2−4x+3的图象上．且y1<y2，16.【答案】2

4

解：∵每轮分别决出第一二三名(不并列)，

∴6(a+b+c)=26+12+10=48，

∴a+b+c=8，

∵小菲的得分最高为6a，

∴26≤6a，a≥5(a为正整数)，

∵a>b>c，且a，b，c均为正整数，

∴b，c的最小值分别为2，1，

∴a=8−a−b≤5，

故a=5，b=2，c=1，

所以每轮比赛第二名得分为2分；

∵26=5×5+1，

∴小菲5轮得第一，1轮得第三，

设小敏有一轮获得第一，则小敏的得分至少为：5+2+4×1=11(分)，

与小敏的实际得分不符合，

故小敏没有一轮得第一，小冬有一轮获得第一，

∵12−5−2−1=4(分)，

即小冬剩余未知的三轮总分为(4分)，

∴剩下三轮只能是1轮第二，2轮第三，

∴小冬1轮得第一，2轮得第二，3轮得第三，

又∵小菲5轮得第一，1轮得第三，三人第一、第二和第三的总数都是6，

∴小敏4轮得第二，2轮得第三．

故答案为：2；4．

根据“每轮分别决出第一二三名(不并列)”及“小菲的得分最高为6a”可计算出a，b，c的值．假设小敏有一轮获得第一，分析三人的实际得分情况即可求解．

本题考查了不定方程在实际问题中的应用．合理假设是解题关键．17.【答案】解：原式=3−3−4+33【解析】根据实数的混合运算法则即可求解．

本题考查实数的运算．熟记相关运算法则是解题关键．18.【答案】解：2(x−1)≤x+1①x+22≥x+33②，

解不等式①，得x≤3，

解不等式②，得x≥0【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再把其解集在数轴上表示出来．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.【答案】解：∵x2+2x−1=0，

∴x2+2x=1，

∴(x−1)(x+1)+(x+2)2

=x2−1+【解析】先求得x2+2x=1，再利用平方差公式和完全平方公式化简所求代数式，然后代值求解即可．20.【答案】75【解析】证明：∵AB=CD，

∴AC=DB，

在△AEC和△DFB中，

∵AC=DB∠A=∠DAE=DF，

∴△AEC≌△DFB(SAS)，

∴BF=EC，∠ACE=∠DBF，

∴EC//BF，

∴四边形BECF是平行四边形；

【小问2详解】

如图，设EF，BC于点G，

∵四边形BECF是平行四边形，

∴当EF⊥BC时，四边形BECF是菱形，

∴BE=CE=3，

∵∠AEC=90°，AE=4，CE=3，

∴AC=AE2+EC2=42+32=5，

∵S△ACE=12AE×CE=12AC×GE，

∴12×4×3=12×5×GE，

解得：GE=125，

∴AG=AE2−EG2=16521.【答案】20x+3×130=20x+x+130

260

2

5590

解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重和=21块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，所以：

①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x斤，则可列方程为：20x+3×130=20x+x+130．

②解这个方程得，x=260．

③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量=2个搬运工的体重；

④20×260+3×130=5590，

即最终可求得：大象的体重为5590斤．

故答案为：20x+3×130=20x+x+130；260；2；5590．

根据题意，表示出大象的重量可表示为(20x+3×130)斤，也可表示为(20x+x+130)斤，进而可列方程求解即可．

本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键．22.【答案】解：(1)∵函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(1,3)，(0,2)，

∴k+b=3b=2，解得k=1b=2，

∴这个函数的解析式为y=x+2；

(2)当x=2时，y=2+2=4，

将点(2,4)代入y=nx，得n=2，

∵当x<2时，函数y=x+2的函数值随x的增大而增大，且函数y=nx的图象过原点，

∴如图，当x<2时，对于x的每一个值，函数y=nx(n≠0)的值小于函数y=kx+b的值，则n的取值范围为1≤n≤2．【解析】(1)利用待定系数法，将已知点代入y=kx+b(k≠0)求解即可；

(2)求出当x=2时的n值，再根据题意画图求解n的取值范围即可．

本题考查待定系数法解一次函数解析式及一次函数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．23.【答案】解：(1)由题意，将A、C两点坐标代入已知解析式得，−1−b+c=0c=3，

∴b=2c=3．

∴所求解析式为：y=−x2+2x+3．

(2)由题意，抛物线交x轴于A、B两点，

又解析式为y=−x2+2x+3，A(−1,0)，

∴令y=0，有−x2+2x+3=0，又一个根是−1．

∴根据两根之积为−3，从而可以求得B(3,0)．

∴结合图象，当点P在x轴上方时，−1<m<3．

(3)由题意，y=−x2+2x+3的对称轴为x=1．

当m≤1时，当x=1时，P右侧部分(含点P)的最高点的纵坐标为−1−m=4，

∴m=−5．

当m>1时，当x=m时，P右侧部分(含点P)的最高点的纵坐标为−1−m=−m2【解析】(1)依据题意，将A、C两点坐标代入已知解析式，进而建立方程组，从而可以得解；

(2)依据题意，由A点坐标结合解析式可以求出B点坐标，进而判断m的范围；

(3)依据题意，进行分类讨论后即可得解．

本题主要考查二次函数与x轴的交点，解题时要熟练掌握并理解．24.【答案】6.8

6.9

A

A部门的平均数和中位数较小，浪费的少

15600

225解：(1)将A部门20格工作日的餐余重量从小到大排列后，处于最中间位置的两个数的平均数为6.6+7.02=6.8，

∴中位数m=6.8，

B部门20格工作日的餐余重量中出现次数最多的是6.9，出现了4次，

∴众数n=6.9，

故答案为：6.8，6.9；

(2)从平均数和中位数上看，A部门的平均数和中位数较小，说明浪费的少，

因此，做的做得较好的部门是A，理由是A部门的平均数和中位数较小，浪费的少，

故答案为：A；A部门的平均数和中位数较小，浪费的少；

(3)：估计该公司(10个部门)一年(按240个工作日计算)的餐余总重量为6.4+6.62×240×10=15600(千克)，

故答案为：15600；

(4)列表，用“√”表示两日餐余重量刚好都是6.9的，“1.42.86.97.81.96.9××√××2.6×××××7.5×××××6.9××√××9.5×××××由表格知，一共由25种等可能的结果，其中两日餐余重量刚好都是6.9的有2种，

∴两日餐余重量刚好都是6.9的概率为225，

故答案为：225．

(1)根据中位数和众数的定义求解即可；

(2)分别根据表格中A、B两部门的平均数、中位数和众数进行分析解答即可；

(3)用一个部门每日餐余重量乘以总工作日，再乘以总部门数可求解；

(4)利用列表格法求解即可．25.【答案】−0.2

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【解析】【小问1详解】

解：①如图，即为所求；

②根据题意得：篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是3.8m；

设y与x满足的函数解析式为y=m(x−3)2+3.8，

把点(0,2)代入得：2=m(0−3)2+3.8，

解得：m=−0.2，

∴y与x满足的函数解析式为y=−0.2(x−3)2+3.8；

③成功，理由如下：

当y=3时，3=−0.2(x−3)2+3.8，

解得：x=5或1(舍去)，

即韩旭距篮筐中心的水平距离5m时，篮球运行的高度为3m，

∴韩旭第一次投篮练习是成功；

【小问2详解】

解：把点(0,2)代入y=a(x−3)2+4.25得：

2=a(0−3)2+4.25，

解得：a=0.25，

∴此时y与x满足的函数解析式为y=−0.25(x−3)2+4.25，

当y=3时，3=−0.25(5−3)2+4.25，

解得：x=3+5或3−5(舍去)，

∵3+5>5，

∴此时韩旭距篮筐中心的水平距离d>5．

故答案为：>．

(1)①直接利用描点法画出函数图象，即可；26.【答案】解：(1)令x=0，则y=2，则点A的坐标为(0,2)，

抛物线y=mx2−2m2x+2(m≠0)的对称轴为x=−b2a=−−2m22m=m，

∵点B与点A关于直线x=m对称，

∴B点的横坐标为2m；

(2)：由(1)知抛物线的对称轴为直线x=m，点B的坐标为(2m,2)，

∵点P的坐标为(m+2,2)，

∴点P在直线AB上，

①如图，当m>0时，2m>0，m+2>2，m+2>m，

∴B(2m,2)在A(0,2)右侧，且Q(0,m+2)在y轴上A(0,2)的上方，P(m+2,2)在抛物线的对称轴右侧，

∵抛物线y=mx2−2m2x+2(m≠0)与线段PQ恰有一个公共点，

结合图象可得，当点P在点B右侧(或与点B重合)时满足题意，即xP≥xB时，

∴m>0m+2≥2m，

解得0<m≤2；

②当m<0时，2m<0，m+2<2，m+2>m，

即Q(0,m+2)在y轴上A(0,2)的下方，P(m+2,2)在抛物线的对称轴右侧，如图，

点B(2m,2)在A(0,2)左侧，

∵抛物线y=mx2−2m2【解析】(1)先求得点A的坐标为(0,2)和抛物线的对称轴x=m，据此即可求得B点的横坐标；

(2)抛物线的对称轴为直线x=m，则点B的坐标为(2m,2)，可得点P在直线AB上，分m>0时，m<0两种情况讨论，画出图象，结合图象列出不等式组，即可求解．

本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对m进行分类讨论，并能数形结合解决函数与线段的交点问题是解题的关键．27.【答案】解：(1)AF=FG，AF⊥FG．

理由：如图1，延长GF到M，使FM=GF，连接AG，AM，DM，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，∠CBD=45°，

∵F为DE中点，

∴DF=EF，

又∵∠DFM=∠EFG，

∴△DFM≌△EFG(SAS)，

∴∠FMD=∠FGE，DM=EG，

∴EG//DM，

∵EG⊥BC，∠CBD=45°，

∴EG//CD，∠GEB=∠GBE=45°，

∴BG=EG=DM，C、D、M共线，则∠ADM=∠ADC=90°，

在△ABG和△ADM中，

AB=AD∠ABG=∠ADMBG=DM，

∴△ABG≌△ADM(SAS)，

∴AG=AM，∠BAG=∠DAM，

∴∠GAM=∠GAD+∠DAM=∠GAD+∠BAG=∠BAD=90°，

则△AGM是等腰直角三角形，又FM=GF，

∴AF=FG，AF⊥FG；

(2)①(1)中的结论，即AF=FG，AF⊥FG．

证明：如图2，延长GF到M，使FM=GF，连接AG，AM，DM，

同(1)，∵DF=EF，∠DFM=∠EFG，FM=GF，

∴△DFM≌△EFG(SAS)，

∴∠FMD=∠FGE，DM=EG，

∴EG//DM，

∵△BEG绕点B逆时针旋转α，结合(1)中的EG//DM，

∴DM绕点D逆时针旋转α，则∠ADM=∠ABG=90°−α，

∴在△ABG和△ADM中，

AB=AD∠ABG=∠ADMBG=DM，

∴△ABG≌△ADM(SAS)，

∴AG=AM，∠BAG=∠DAM，

∴∠GAM=∠GAD+∠DAM=∠GAD+∠BAG=∠BAD=90°，

则△AGM是等腰直角三角形，又FM=GF，