第4章统计知识点清单高二下学期数学湘教版选择性

新教材湘教版2019版数学选择性必修第二册第4章知识点清单目录第4章统计4.1成对数据的统计相关性4.2一元线性回归模型4.3独立性检验第4章统计4.1成对数据的统计相关性一、散点图1.散点图将成对观测数据用直角坐标系中的点表示，这些点称为散点，由坐标系及散点形成的数据图叫作散点图，散点图直观地描述了变量之间的关系形态.2.线性相关关系如果两个变量之间的关系近似地表现为一条直线，则称它们有线性相关关系，简称为相关关系.3.线性相关如果一个变量的取值完全依赖于另一个变量，各观测点落在一条直线上，则称它们线性相关，这实际上就是函数关系.二、相关系数1.定义一般地，对n个成对观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，我们用{xi}表示数据x1，x2，…，xn，{yi}表示数据y1，y2，…，yn，用x=1ni=1nxi，y=1ni=1nyi分别表示{xi记sxy=x1y1+x2y22.相关系数的性质(1)rxy的取值范围是[1，1].当0<rxy<1时，称{xi}和{yi}正相关；当1<rxy<0时，称{xi}和{yi}负相关；当rxy=0时，称{xi}和{yi}不相关.(2)|rxy|越接近于1，变量x，y的线性相关程度越高，这时数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)分散在一条直线附近.(3)|rxy|越接近于0，变量x，y的线性相关程度越低.(4)rxy具有对称性，即rxy=ryx.(5)rxy仅仅是变量x与y之间线性相关程度的一个度量.rxy=0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有关系，它们之间可能存在非线性关系.三、相关系数与向量夹角1.利用向量夹角的余弦值表示相关系数把两组成对数据分别看作n维空间的两个向量(x1，x2，…，xn)，(y1，y2，…，yn)，再将向量的每个元素都减去均值，形成a=(x1x，x2x，…，xnx)，b=(y1y，y2y，…，yny)，从而有cos<a，b>=a⋅b2.相关程度与向量夹角的关系(1)当<a，b>∈0，π2时，程度越高；余弦值越小表示两个向量的夹角越大，两组数据的正相关程度越低.(2)当<a，b>∈π2，π时，程度越低；余弦值越小表示两个向量的夹角越大，两组数据的负相关程度越高.(3)当<a，b>=π2时，余弦值为0，这说明两组数据不相关四、两个变量相关性的判断 1.利用散点图判断两个变量的相关性若散点落在一条直线附近，则认为这两个变量有线性相关关系.一般地，如果变量x和y正相关，那么大多数散点将分布在第一、三象限，对应的成对数据同号的居多；如果变量x和y负相关，那么大多数散点将分布在第二、四象限，对应的成对数据异号的居多.2.利用相关系数判断两个变量的相关性|rxy|刻画了样本点集中于某条直线的程度.|rxy|越接近于1，散点图中的散点分布越接近于一条直线，两个变量的线性相关程度越高.3.利用向量的夹角判断两个变量的相关性由相关系数rxy=cos<a，b>，结合相关程度与向量夹角的关系可直接判断两个变量的相关性.4.2一元线性回归模型一、回归直线方程1.回归直线与回归直线方程我们常常用一条直线来反映所给出的散点图的分布趋势，找出与散点图中各点散布趋势相似的直线，使各点经过或充分靠近该直线，这样所得到的直线就可以比较科学地反映实际问题中两个变量之间的相关关系.这条直线叫作回归直线，这条直线的方程叫作回归直线方程.2.回归分析(1)由散点图求出回归直线并进行统计推断的过程叫作回归分析.(2)在回归分析中，被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示.用来预测或解释因变量的变量称为自变量，用x表示.二、一元线性回归模型1.一元线性回归方程如果具有相关关系的两个变量x，y可用方程y=a+bx来近似刻画，则称此式为y关于x的一元线性回归方程，其中a，b称为回归系数.由于我们是利用样本数据(一组观测值)去估计总体的回归直线方程，因此我们在a，b，y的上方加记号“∧”以区别实际的a，b，y，此时得到估计的回归直线方程形式为y^=a^+b^x2.一元线性回归模型(1)当自变量x取值xi(i=1，2，…，n)时，我们将根据回归直线方程估计出的y^测值yi的误差，即yiy^i=yi(a^+b^xi)(i=1，2，…，n)，称为随机误差(2)我们把yi=a^+b^xi+ei(i=1，2，…，n)这一描述因变量y如何依赖于自变量差ei的方程称为一元线性回归模型.3.最小二乘法(1)用随机误差的平方和即Q=i=1n(yi-a^-b^(2)(x，y)称为样本中心，(3)令x=1ni=1b^=i=1n(x此时，用最小二乘法得到的回归直线方程为y^=a^+b^x，其中a距，b^是回归直线的斜率三、一元线性回归模型的应用1.一般地，运用一元线性回归模型思想解决实际问题的基本步骤如下：(1)确定研究对象，明确哪个变量是因变量，哪个变量是自变量；(2)运用相关系数的计算公式，分析自变量与因变量之间的关系；(3)运用最小二乘原理估计一元线性回归方程的系数，建立一元线性回归方程；(4)根据一元线性回归方程进行预测.知识拓展

研究两个变量的关系时，依据样本画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在一条直线附近，就称这两个变量之间不具有线性相关关系.当两个变量不具有线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用一元线性回归模型建立两个变量间的非线性回归方程.常见的非线性回归方程的转换方式如下：曲线方程曲线(曲线的一部分)变换公式变换后的线性函数y=axbc=lna，v=lnx，u=lnyu=c+bvy=aebxc=lna，u=lnyu=c+bxy=aec=lna，v=1xu=lnyu=c+bvy=a+blnxv=lnxy=a+bv四、回归直线方程的求解与应用1.回归直线方程中系数的两种求法(1)公式法：利用公式求出回归系数b^，a(2)待定系数法：利用回归直线必过样本中心(x，y)求回归系数b^，a2.回归分析的两种题型及解题策略(1)利用回归直线方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数的解析式，求函数值.(2)利用回归直线判断正、负相关：决定两个变量是正相关关系还是负相关关系的是回归系数b^五、非线性回归分析1.建立非线性回归模型的基本步骤(1)确定研究对象，明确涉及的变量；(2)画出确定好的变量间的散点图，观察它们之间的关系(是否存在非线性关系)；(3)由经验确定非线性回归方程的类型(如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数型、指数函数型、对数函数型模型等)；(4)通过换元，将非线性回归模型转化为一元线性回归模型；(5)按照公式计算回归直线方程中的参数，得到回归直线方程；(6)消去新元，得到非线性回归方程.4.3独立性检验一、列联表1.列联表一般地，对于两个分类变量X和Y，X有两个取值：A和A，Y也有两个取值：B和B，我们可得到下面的频数分布表：Y合计B XAaba+bAcdc+d合计a+cb+da+b+c+d像上表这样，将两个(或两个以上)分类变量进行交叉分类得到的频数分布表称为列联表，称X，Y为分类变量.2.2×2列联表由于所涉及的两个分类变量X，Y均有两个变量值，所以称上表为2×2列联表.二、独立性检验1.统计量χ2的计算公式：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2.独立性检验的概念利用统计量χ2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验.3.独立性检验的步骤利用独立性检验推断“X与Y有关系”，可按下面的步骤进行：(1)提出统计假设H0：X与Y之间没有关系；(2)根据2×2列联表及χ2的公式计算χ2的观测值；(3)查临界值表确定临界值x0，然后做出判断.4.临界值表P(χ2≥x0)0.500.400.250.150.10x00.4550.7081.3232.0722.706P(χ2≥x0)0.050.0250.0100.0050.001x03.8415.0246.6357.87910.828表示在H0成立的情况下，事件“χ2≥x0”发生的概率.5.变量独立性判断的依据(1)如果χ2>10.828，就有不少于99.9%的把握认为“X与Y之间有关系”；(2)如果χ2>6.635，就有不少于99%的把握认为“X与Y之间有关系”；(3)如果χ2>2.706，就有不少于90%的把握认为“X与Y之间有关系”；(4)如果χ2≤2.706时，就认为还没有充分的证据显示“X与Y之间有关系”，但也不能做出结论“H0成立”，即认为X与Y没有关系.三、由χ2进行独立性检验1.应用独立性检验解决实际问题大致包括的几个主要环节(1)提出统计假设H0：分类变量X和Y无关(相互独立)，并给出在问题中的解释；(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值x0比较；(3)根据检验规则得出推断结论；(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律.