2022年温州中学数学试验班招生数学试卷及答案

AA温州中学2022年数学班招生数学试卷一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.）1、已知m,n是方程x2-2003x+2004=0的两根，贝0(m2一2002m+2003)(n2一2004n+2005)A、2BA、2B、2006C、-2022D、-22、如图，A是半径为1的。O外的一点，OA=2,AB是。O的切线，B是切点，弦BC//OA,连接AC，则阴影部分的面积等于A、B、C、连接AC，则阴影部分的面积等于A、B、C、D、48(3、设m,n,p是不全相等的任意实数，若x二m2-np,y二n2-mp,z=p2-mn,贝x,y,z满足…()A、都不小于0C、至少有一个小于0B、都不大于0D、至少有一个大于04、如图AD是ZBAC的角平分线，AD的垂直AC3平分线交BC的延长线于F，若=三，AB5CF

则=BF3A、516D、254B、59C、255、若37可以写成k个连续的正整数之和，则k的最大值为A、65B、64C、54D、27二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分）6、已知AABC中，BC=2,ZA=45，AC=a，若满足上述条件的AABC有且只有一个,则a的取值范围为,7、对于素数p,q，方程x4-px3+q=0有整数解，则p=8、如图，在AABC中，AD，BE分别是ZA,ZB的角平分线，O是AD与BE的交点，若C,D,O,E四点共圆,DE=3，则AODE的内切圆半径为B23-133-11993-12003-123+f33+1••…1993+f2003+110、对于i=1,2,3,…,n，都有|x|<1,且|x|10、对于i=1,2,3,…,n，都有|x|<1,且|x|+|x|i12正整数n的最小值为三、解答题（共6题，共90分）11、（本题满分12分）对于如图①、②、③、④所示的四个平面图④则IX1我们规定：如图③，它的顶点为A、B、C、D、E共5个，区域为AED、ABE、BEC、CED共4数、区域数之间的数量关系。（3）若有一个平面图满足（2）中归纳所得的数量关系，它共有9个区域，且每一个顶点出发都有3条边,则这个平面图共有多少条边?12、（本题满分15分）已知关于x的方程ax2+bx+c二0,甲、乙两人做游戏：他们轮流确定实数a,b,c（如甲令b二1，乙令a=-2,甲再令c=10），让甲先确定数，如果方程至少有一个解x°，满足-1<x°<1，那么乙得胜；反之，则甲得胜。（1）若a,b,c只能取非零实数，甲是否有必胜策略？为什么？若a,b,c可以取零，甲乙两人中谁有必胜策略？为什么？13、(本题满分15分)已知四边形ABCD是矩形，M、N分别是AD、BC的中点，P是CD上一点，Q是AB上一点，CP=BQ，PM与QN的交点为R.求证：R,A,C三点共线。NBNB14、(本题满分16分)给出如下n个平方数：12,22,,n2,规定可以在其中的每个数前任意添上“+”号或“一”号,所得的代数和记为L.(1)当n二8时，试设计一种可行方案使得ILI最小;(2)当n=2005时，试设计一种可行方案使得ILI最小.15、(本题满分16分)已知OO］与002相交于点A,B，一条直线过A点分别与两圆相交于Y,Z，两圆分别在Y,Z处X的切线相交于X，设AOOB的外接圆为oO，直线XB交。O于另一点Q，若YO与ZO相1212交于点P.求证：（1）点P在。O上，且线段PQ是OO的一条直径；（2）XQ=PQ.16、（本题满分16分）已知有限张卡片,每张卡片上各写有一个小于30的正数，所有卡片上数的和为1080．现将这些卡片按下列要求一批一批地取走（不放回）直至取完．首先从这些卡片中取出第一批卡片，其数字之和为S，满足S<120，且S要尽可能地大；然后在取出第一批卡片后，对余下的卡片按第111一批的取卡要求构成第二批卡片（其数字之和为S）；如此继续构成第三批（其数字之和为S）；23第四批（其数字之和为S）；…直到第N批（其数字之和为S）取完所有卡片为止。4N（1）判断S,S，…,S的大小关系，并指出除第N批外，每批至少取走的卡片数为多少？12N（2）当n=1,2,3,…,N—2时，求证：S<960；nn（3）对于任意满足条件的有限张卡片，证明：N<11。

2022年温州中学数学班招生数学试卷答题时注意:1、试卷满分150分;考试时间：120分钟.2、试卷共三大题，计16道题。考试结束后，将本卷及演算的草稿纸一并上交。一、选择题(共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分)1、已知m,n是方程x2-2003x+2004=0的两根，贝0(m2一2002m+2003)(n2一2004n+2005)(D)A、2B、2006C、-2022D、-22、如图，A是半径为1的OO外的一点，OA=2,AB是。O的切线，B是切点，弦BC〃OA,连接AC，则阴影部分的面积等于……（A、B、C连接AC，则阴影部分的面积等于……（A、B、C、68D、483、设m,n,p是不全相等的任意实数，若x二m2-np,y二n2-mp,z=p2-mn,贝x,y,z满足…（D）A、都不小于0C、至少有一个小于0B、都不大于0D、至少有一个大于04、如图AD是ZBAC的角平分线，AD的垂直AC3平分线交BC的延长线于f,若-=5CFBFC)D、1625A、B、C、925CC)5、若37可以写成k个连续的正整数之和，则k的最大值为A、65B、64C、54D、2722二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分）6、已知AABC中，BC二2,ZA二45。,AC=a,若满足上述条件的AABC有且只有一个，则a的取值范围为a二2或a>7、对于素数p,q，方程x4-px3+q=0有整数解，则p二3；q=一2・BB2323—133—11993—12003—123+f33+11993+f2003+1402016030010、对于i10、对于i=1,2,3,…,n，都有|xI<1，且|xj+打+…打—19+|x+xHFx|成立，则正12n整数n的最小值为20三、解答题（共6题，共90分）11、（本题满分12分）对于如图①、②、③、④所示的四个平面图我们规定：如图③，它的顶点为A、B我们规定：如图③，它的顶点为A、B、C、D、个，边为AE、EC、DE、EB、AB、BC、CD、图顶点数边数区域数①463②694③584④10156。。。。。3分（2）观察上表,请你归纳上述平面图的顶点数、边数、区域数之间的数量关系。E共5个，区域为AED、ABE、BEC、CED共4DA共8条。（1）按此规定将图①、②、④的顶点数、边数、区域数填入下列表格：顶点数+区域数-边数=1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6顶点数+区域数-边数=1（3）若有一个平面图满足（2）中归纳所得的数量关系，它共有9个区域，且每一个顶点出发都有3条边,则这个平面图共有多少条边?解：设这个平面图有n个顶点，因为每一个顶点有3条边，所以它有条边，根据上述规律23n3nn+9--=1,解得n=16乜=24所以这个平面图有24条边。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分12、(本题满分15分)已知关于x的方程ax2+bx+c二0,甲、乙两人做游戏：他们轮流确定实数a,b,c(如甲令b=1,乙令a=-2,甲再令c=10)，让甲先确定数，如果方程至少有一个解x0，满足-1<<1，那么乙得胜；反之，则甲得胜。若a,b,c只能取非零实数，甲是否有必胜策略？为什么？若a,b,c可以取零，甲乙两人中谁有必胜策略？为什么？解：1)如果a,b,c是非零实数，那么甲有必胜策略：甲先选b二1，不论乙选a或c,甲总可以再选c或a，使得人二1-4ac<0，从而方程ax2+bx+c=0无解，即对于任意x,y丰0，所以甲必胜7分2)如果a,b,c可以取零，那么乙有必胜策略：若甲先选a或b，则乙可选c=0，这时x=0必是方程ax2+bx+c=0的一个解；。10分若甲先选c丰0，则乙可令a=-c，此时(a+b-a)(a-b-a)=-b2<0，所以方程ax2+bx+c=0必有在-1<x<1内的实根，即甲不论再选b为何值，乙总可以获胜15分RR13、（本题满分15分）已知四边形ABCD是矩形，M、N分别是AD、BC的中点，P是CD上一点，Q是AB上一点，CP=BQ,PM与QN的交点为R•求证：R,A,C三点共线。证明:延长RN交DC于T，连接RC交MN于O,TOC\o"1-5"\h\z易证PN=NT,PC=CT5分MN//CD,「.MO=ON•-O是MN的中歳10分所以R，c,o三点共线，又A,O,C三点共线，所以R,A,C三点共线15分（其它证法酌情给分）NBNB14、(本题满分16分)给出如下n个平方数：12,22,,n2,规定可以在其中的每个数前任意添上“+”号或“一”号，所得的代数和记为L・当n=8时，试设计一种可行方案使得ILI最小；当n=2005时，试设计一种可行方案使得ILI最小.解(1)当L=】2—22—32+42—5+62+72—82=0或L=—】2+22+32—42+52—62—72+82二0时，|LI最小且最小值为0；6分(2)当n=2005时，由于给定的2022个数中有1003个奇数，因而无论如何设计实施什么方案，即不管如何添置“+”和“-”号，其代数和总为奇数，故所求的最终代数和大于等于1。于是我们寻求最终代数和等于1的可行方案。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分因为k2—(k+1)2—(k+2)2+(k+3)3=4,—k2+(k+1)2+(k+2)2—(k+3)3=—4，所以对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分若对62,72，…，20052,根据①每连续8个一组适当添加“+”和“-”号，使每组的代数和为0,然后对12,22，…,52进而设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1・在对12,22，…,52的设计过程中，有一种方案：—12+22—32+42—52=—15，又由①知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，进而16个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为16。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14分综上.可行方案为：首先对222,232，…,20052,根据①每连续8个一组适当添加"+"和"-”号，

使每组的代数和为0,其次对62,72,…,212,根据③适当添加“+”和“-”号，使每组的代数和为16，最后对12,22,，52作—12+22-32+42-52=—15设置，便可以使得给定的2022个数的代数和为1，即为最小的非负数。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。16分15、(本题满分16分)已知©O与。O相交于点A,B，一条直线过A点分别与两圆相交于Y,Z,两圆分别在Y,Z处12的切线相交于X，设AOOB的外接圆为。O，直线XB交。O于另一点Q，若YO与ZO相1212交于点P.求证：(2)XQ二PQ.X⑴点P在。O上，且线段PQ(2)XQ二PQ.X证明(1)ZOPO=180°-ZOYA-zOZA121=180。一ZOAY-ZOAZ12=ZOAO=ZOBO1212所以点P在©O上；连接BY,B乙则ZYBZ二180。-(ZAYS+ZAZB)=180。-(丄ZAOB+1ZOAZ)2122=180°-(ZBOO+ZBOO)1221=ZOBO=ZOPO=ZYPZ1212所以Y,所以Y,Z,B,P四点共圆6分又有ZXYP二ZXZP二90。知X,Y,P,Z四点共圆，所以B,X,Y,P,Z五点共圆，从而/XBP=90。，即ZQBP=90。，G故线段PQ是©O的一条直径；10分（2）设xb,yp相交于点e，则Of二ob二Q，（因为叫eb-aqep）11又由XY//又由XY//OQ（因为ZQOP=90。）得OE—1—OY1QEXQ'所以PQ=xp所以PQ=xp16、（本题满分16分）已知有限张卡片,每张卡片上各写有一个小于30的正数，所有卡片上数的和为1080．现将这些卡片按下列要求一批一批地取走（不放回）直至取完．首先从这些卡片中取出第一批卡片，其数字之和为S，满足S<120，且S要尽可能地大；然后在取出第一批卡片后，对余下的卡片按第111一批的取卡要求构成第二批卡片（其数字之和为S）；如此继续构成第三批（其数字之和为S）；23第四批（其数字之和为S）；…直到第N批（其数字之和为S）取完所有卡片为止。4N（1）判断S,S，…,S的大小关系，并指出除第N批外，每批至少取走的卡片数为多少？TOC\o"1-5"\h\z12N（2）当n=1,2,3,…,N—2时，求证：S<960；nn（5）对于任意满足条件的有限张卡片，证明：N<11。（1）解：S>S>…>S,2分12N因为假设每批取出卡片不多于3张，则这3张卡片上的数之和不大于