山西省太原市集义乡中学高二数学文测试题含解析

山西省太原市集义乡中学高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列{an}满足，则该数列前2011项的和S2011等于()A．1341

B．669

C．1340

D．1339参考答案：A2.假设濮阳市市民使用移动支付的概率都为p，且每位市民使用支付方式都是相互独立的，已知X是其中10位市民使用移动支付的人数，且，则p的值为（

）A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.8参考答案：C【分析】由已知得X服从二项分布，直接由期望公式计算即可.【详解】由已知条件每位市民使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足X～B（10，p），=6,则p=0.6故选：C【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求法，属于基础题.3.函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】3O：函数的图象．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A4.三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，且OA＝2，OB＝，OC＝，则三棱锥O-ABC外接球的表面积为A．4p

B．12p

C．16p

D．40p参考答案：C5.(

)A. B. C. D.参考答案：D6.集合，．若集合，则b应满足（

）A.或 B.C.或 D.参考答案：A【分析】先化简集合，再由，转化为直线与曲线无交点，结合图像，即可求出结果.【详解】由题意可得，因为，由可得：直线与曲线无交点，由得或，作出曲线的图像如下：由图像易知，当直线恰好过时，恰好无交点；因此时，满足题意；综上或.故选A【点睛】本题主要考查根据直线与圆位置关系求参数的范围，熟记直线与圆的位置关系即可，属于常考题型.7.已知焦点在轴上的椭圆，其离心率为，则实数的值是（

）A．

B．

C．或

D．参考答案：B略8.与的大小关系是.A．；

B．；

C．；

D．无法判断.参考答案：B9.直线(t为参数)的倾斜角是

(

)A.B.

C.

D.

参考答案：D略10.若双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线E上，且，则A．11

B．9

C．5

D．3参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若复数为纯虚数，则实数a的值等于

．参考答案：012.已知函数f（x）=2lnx﹣x2，若方程f（x）+m=0在内有两个不等的实根，则实数m的取值范围是．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】转化方程为函数，通过求解函数的最值，转化求解m的范围即可．【解答】解：函数f（x）=2lnx﹣x2，若方程f（x）+m=0在内有两个不等的实根，即函数f（x）=2lnx﹣x2，与y=﹣m在内有两个不相同的交点，f′（x）=﹣2x，令﹣2x=0可得x=±1，当x∈[，1）时f′（x）＞0，函数是增函数，当x∈（1，e）时，f′（x）＜0，函数是减函数，函数的最大值为：f（1）=﹣1，f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2．函数的最小值为：2﹣e2．方程f（x）+m=0在内有两个不等的实根，只需：﹣2﹣，解得m∈．故答案为：．13.若函数f（x）=k﹣有三个零点，则实数k的取值范围是．参考答案：（﹣2，0）∪（0，2）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】根据函数与零点的关系将函数转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由f（x）=k﹣=0得k=，设g（x）=，若函数f（x）=k﹣有三个零点，等价为y=k，和g（x）有三个交点，g（x）==x3﹣3x，（x≠0），函数的导数g′（x）=3x2﹣3=3（x2﹣1），由g′（x）＞0得x＞1或x＜﹣1，此时函数单调递增，由g′（x）＜0得﹣1＜x＜0或0＜x＜1，此时函数单调递减，即当x=1时，函数取得极小值，g（1）=﹣2，当x=﹣1时，函数取得极大值，g（﹣1）=2，要使y=k，和g（x）有三个交点，则0＜k＜2或﹣2＜k＜0，即实数k的取值范围是（﹣2，0）∪（0，2），故答案为：（﹣2，0）∪（0，2）14.“x＜﹣1”是“x≤0”条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一）参考答案：充分不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义可判断即可．【解答】解：∵x＜﹣1，x≤0，∴根据充分必要条件的定义可判断：“x＜﹣1”是“x≤0”充分不必要条件故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了充分必要条件的定义，属于很容易的题目，难度不大，掌握好定义即可．15.若关于x的不等式5x2﹣a≤0的正整数解是1，2，3，则实数a的取值范围是

．参考答案：[45，80）【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】根据不等式5x2﹣a≤0的正整数解，得出a＞0，﹣≤x≤，解此不等式，求出a的取值范围．【解答】解：关于x的不等式5x2﹣a≤0的正整数解是1，2，3，∴a＞0，解不等式得x2≤，∴﹣≤x≤，∴3≤＜4，∴9≤＜16，即45≤a＜80，∴实数a的取值范围是[45，80）．故答案为：[45，80）．16.如图是一个程序框图，则输出的b的值是

．参考答案：1027【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下：a=1，b=1，a＜4；b=2+1=3，a=1+1=2，a＜4；b=23+2=10，a=2+1=3，a＜4；b=210+3=1027，a=3+1=4，a≥4；不满足循环条件，终止循环，输出b=1027．故答案为：1027．17.抛物线x2+y=0的焦点坐标为．参考答案：（0，﹣）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把抛物线的方程化为标准形式，再利用抛物线x2=﹣2py的焦点坐标为（0，﹣），求出抛物线x2+y=0的焦点坐标．【解答】解：∵抛物线x2+y=0，即x2=﹣y，∴p=，=，∴焦点坐标是（0，﹣），故答案为：（0，﹣）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点.①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②若点，求证：为定值.参考答案：解：（Ⅰ）因为满足，，…………2分。解得，则椭圆方程为

……………4分（Ⅱ）（1）将代入中得……………………6分……………7分因为中点的横坐标为，所以，解得…………9分（2）由（1）知，所以

……………11分………12分略19.已知动圆P经过点，并且与圆相切.（1）求点P的轨迹C的方程；

（2）设为轨迹C内的一个动点，过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A,B两点，当k为何值时？是与m无关的定值，并求出该值定值.参考答案：（1）（2）7.【分析】（1）由题意可得点P的轨迹C是以M、N为焦点的椭圆，求出半长轴及半焦距的长度，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），G（m，0）（﹣2＜m＜2），直线l：y＝k（x﹣m），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标与纵坐标的和与积，再由ω＝|GA|2+|GB|2是与m无关的定值求得k，进一步得到该定值．【详解】解：（1）由题设得：|PM|+|PN|＝4，∴点P的轨迹C是以M、N为焦点的椭圆，∵2a＝4，2c＝2，∴，∴椭圆方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），G（m，0）（﹣2＜m＜2），直线l：y＝k（x﹣m），由，得（3+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12＝0，，∴．．∴．∵ω＝|GA|2+|GB|2的值与m无关，∴4k2﹣3＝0，解得．此时ω＝|GA|2+|GB|2＝7．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法与待定系数法，是中档题．20.（14分）已知函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且.(Ⅰ)指出函数的单调区间;(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,证明:;(Ⅲ)若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围.参考答案：(Ⅰ)函数的单调减区间为,单调增区间为,

(Ⅱ)由导数的几何意义知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,故当点处的切线互相垂直时,有,当x<0时,因为,所以,所以,,因此,(当且仅当,即且时等号成立)所以函数的图象在点处的切线互相垂直时有.(Ⅲ)当或时,,故.当时,的图象在点处的切线方程为即.当时,的图象在点处的切线方程为即.21.已知函数f（x）=（x﹣k）ex（k∈R）．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）求f（x）在x∈[1，2]上的最小值；（3）设g（x）=f（x）+f′（x），若对及?x∈[0，1]有g（x）≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由f（x）=（x﹣k）ex，求导f′（x）=（x﹣k+1）ex，令f′（x）=0，求得x=k﹣1，令f′（x）＜0，解得函数的单调递减区间，f′（x）＞0，解得函数的单调递增区间，根据函数的单调性即可求得f（x）的极值；（2）当k﹣1≤1时，f（x）在[1，2]单调递增，f（x）的最小值为f（1），当k﹣1≥2时，f（x）在[1，2]单调递减，f（x）的最小值为f（2），当1＜k﹣1＜2时，则x=k﹣1时，f（x）取最小值，最小值为：﹣ek﹣1；（3）由g（x）=（2x﹣2k+1）ex，求导g′（x）=（2x﹣2k+3）ex，当g′（x）＜0，解得：x＜k﹣，求得函数的单调递减区间，当g′（x）＞0，解得：x＞k﹣，求得函数的单调递增区间，由题意可知g（x）≥λ，?x∈[0，1]恒成立，等价于g（k﹣）=﹣2e≥λ，由﹣2e≥λ，对?k∈[，]恒成立，根据函数的单调性，即可求得实数λ的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=（x﹣k）ex（k∈R），求导f′（x）=（x﹣k）ex+ex=（x﹣k+1）ex，令f′（x）=0，解得：x=k﹣1，当x＜k﹣1时，f′（x）＜0，当x＞k﹣1时，f′（x）＞0，x（﹣∞，k﹣1）k﹣1（k﹣1，+∞）f′（x）﹣0+f（x）↓﹣e﹣k﹣1↑∴f（x）的单调递增区间（k﹣1，+∞），单调递减区间（﹣∞，k﹣1），极小值为﹣ek﹣1，无极大值；（2）当k﹣1≤1时，即k≤2时，f（x）在[1，2]单调递增，f（x）的最小值为f（1）=（1﹣k）e；当k﹣1≥2时，即k≥3时，f（x）在[1，2]单调递减，∴当x=2时，f（x）的最小值为f（2）=（2﹣k）e3；当1＜k﹣1＜2时，解得：2＜k＜3时，∴f（x）在[1，k﹣1]单调递减，在[k﹣1，2]单调递增，∴当x=k﹣1时，f（x）取最小值，最小值为：﹣ek﹣1；（3）g（x）=f（x）+f'（x）=（x﹣k）ex+（x﹣k+1）ex=（2x﹣2k+1）ex，求导g′（x）=（2x﹣2k+1）ex+2ex=（2x﹣2k+3）ex，令g′（0）=0，2x﹣2k+3=0，x=k﹣，当x＜k﹣时，g′（x）＜0，当x＞k﹣时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，k﹣）单调递减，在（k﹣，+∞）单调递增，故当x=k﹣，g（x）取最小值，最小值为：g（k﹣）=﹣2e，∵k∈[，]，即k﹣∈[0，1]，∴?x∈[0，1]，g（x）的最小值，g（k﹣）=﹣2e，∴g（x）≥λ，?x∈[0，1]恒成立，等价于g（k﹣）=﹣2e≥λ，由﹣2e≥λ，对?k∈[，]恒成立，∴λ≤（﹣2e）最小值，令h（k）=﹣2e，k∈[，]，由指数函数的性质，函数h（k）在k∈[，]单调递增，∴当k=时，h（k）取最小值，h（）=﹣2e，∴λ≤﹣2e．∴实数λ的取值范围（﹣∞，﹣2e）．22.(本小题共12分)已知函数()=In(1+)-