2023-2024学年苏教版选择性必修第一册 　习题课1　数列的通项问题 课件（15张）

反思感悟(1)求形如an+1=an+f(n)的通项公式.将原来的递推公式转化为an+1-an=f(n),再用累加法(逐差相加法)求解,即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1).(2)求形如an+1=f(n)an的通项公式.变式训练1数列{an}中,a1=2,an+1-an=2n,求{an}的通项公式.解

因为a1=2,an+1-an=2n,所以a2-a1=2,a3-a2=22,a4-a3=23,…,an-an-1=2n-1,n≥2,当n=1时,a1也符合上式,所以an=2n.探究二构造等差(比)数列求通项公式②求数列{an}的通项公式.(2)已知数列{an}中,a1=2,an+1=2an-3,求an.(2)解

由an+1=2an-3得an+1-3=2(an-3),所以数列{an-3}是首项为a1-3=-1,公比为2的等比数列,则an-3=(-1)·2n-1,即an=-2n-1+3.反思感悟(1)对于此类问题,一般先构造好等差(比)数列让学生证明,再在此基础上求出通项公式,故不必在此处挖掘过深.(2)形如an+1=pan+q(其中p,q为常数,且pq(p-1)≠0)可用待定系数法求得通项公式,步骤如下:第一步

假设递推公式可改写为an+1+t=p(an+t);第四步

写出数列{an}的通项公式.变式训练2已知各项均为正数的数列{bn}的首项为1,且前n项和Sn满足

当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.当n=1时,b1=1符合上式.∴bn=2n-1.探究三利用前n项和Sn与an的关系求通项公式例3(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-4,n∈N+,则an等于(

)A.2n+1 B.2nC.2n-1 D.2n-2A.-3 B.-1 C.3 D.1答案

(1)A

(2)C解析

(1)因为Sn=2an-4,所以n≥2时,Sn-1=2an-1-4,两式相减可得Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,所以

=2.因为S1=a1=2a1-4,即a1=4,所以数列{an}是首项为4,公比为2的等比数列,则an=4×2n-1=2n+1,故选A.反思感悟已知Sn=f(an)或Sn=f(n)的解题步骤:第一步

利用Sn满足条件p,写出当n≥2时,Sn-1的表达式;第二步

利用an=Sn-Sn-1(n≥2),求出an或者转化为an的递推公式的形式;第三步

若求出n≥2时的{an}的通项公式,则根据a1=S1求出a1,并代入n≥2时的{an}的通项公式进行验证,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式.变式训练3在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N+),求数列{an}的通项公式an.得(n+1)an+1=3nan(n≥2),即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列,且a1=1,a2=1,于是2a2=2,故当n≥2时,nan=2×3n-2.当堂检测1.数列{an}中,a1=1,且an+1=an+2n,则a9=(

)A.1024 B.1023C.510 D.511答案

D解析

由题意可得an+1-an=2n,则a9=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a9-a8)=1+21+22+…+28=29-1=511.故选D.2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足log2(Sn+1)=n+1,则an=

.

解析