2023-2024学年江苏省徐州市鼓楼区树德中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程中是一元二次方程的是()

A.B.

C.D.

2.已知的半径为，若，则点与的位置关系是()

A.点在内B.点在上C.点在外D.无法判断

3.一个点到圆的最小距离为，最大距离为，则该圆的半径是()

A.或B.C.D.或

4.一元二次方程的两个根分别是()

A.，B.，

C.，D.，

5.用配方法解方程，配方后可得()

A.B.C.D.

6.下列说法正确的是()

A.半圆是弧，弧也是半圆B.长度相等的两条弧是等弧

C.平分弦的直径垂直于弦D.直径是同一圆中最长的弦

7.用公式法解一元二次方程，正确的应是()

A.B.C.D.

8.如图所示的工件槽的两个底角均为，尺寸如图单位，将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有，，三个接触点，则该球的半径是．()

A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）

9.若是方程的一个根，则的值为______．

10.方程的根为______．

11.当______时，代数式与的值相等．

12.如图，在矩形中，，若以点为圆心，为半径作，则点，点，点，点四点中在外的是__________．

13.如图，的直径垂直弦于点，且，，则弦______．

14.如图，的弦、半径延长交于点，，若，则______度．

15.写出一个以和为两根且二项系数为的一元二次方程，你写的是______．

16.若一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围______．

17.已知、是方程的两个实数根，则的值为______．

18.若、是方程的两实根，则的值等于______．

三、计算题（本大题共1小题，共20.0分）

19.用指定方法解下列一元二次方程

直接开平方法

配方法

公式法

因式分解法

四、解答题（本大题共6小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.本小题分

为何值时，方程有两个相等的实数根；并求出这时方程的根．

21.本小题分

如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，，求的半径．

22.本小题分

如图，学校准备修建一个面积为的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长的围栏．已知墙长，问围成矩形的长和宽各是多少？

23.本小题分

为帮助人民应对疫情，某药厂下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒元下调至元，已知每次下降的百分率相同．

求这种药品每次降价的百分率是多少？

已知这种药品的成本为元，若按此降价幅度再一次降价，药厂是否亏本？

24.本小题分

如图所示，已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．

如果、分别从、两点出发，那么几秒后，的面积等于？

在中，的面积能否等于？试说明理由．

25.本小题分

某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件赢利元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件．求：

若商场平均每天要赢利元，每件衬衫应降价多少元？

每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、是一元二次方程，故A正确；

B、是分式方程，故B错误；

C、是二元二次方程，故C错误；

D、是一元一次方程，故D错误．

故选：．

根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．

2.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了点与圆的位置关系的应用．

已知圆的半径为，点到圆心的距离是，当时，点在内，当时，点在上，当时，点在外．

【解答】

解：的半径为，若，

，

点与的位置关系是点在内，

故选：．

3.【答案】

【解析】解：设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，则：

此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离

有两种情况：

当此点在圆内时，如图所示，

半径；

当此点在圆外时，如图所示，

半径；

故圆的半径为或

故选：．

设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，有两种情况：当此点在圆内；当此点在圆外；分别求出半径值即可．

注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．

4.【答案】

【解析】解：，

两边直接开平方得：，

则，，

解得：，．

故选：．

两边直接开平方可得，然后再解一元一次方程即可．

此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．

5.【答案】

【解析】解：，

，

，

．

故选：．

先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而可对各选项进行判断．

本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．

6.【答案】

【解析】解：半圆是弧，弧不一定是半圆，故A不符合题意；

同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故B不符合题意；

平分弦不是直径的直径垂直于弦，不符合题意；

直径是同一圆中最长的弦，故D符合题意；

故选：．

根据垂径定理、等弧的定义及圆的有关性质判断求解即可．

此题考查了垂径定理，等弧等知识，熟练掌握垂径定理、等弧的定义及圆的有关性质是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：方程整理得：，

这里，，，

，

，

故选：．

方程整理后，利用公式法求出解即可．

此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．

8.【答案】

【解析】解：设圆心为点，连，交于，如图，

，，

则，

，

在中，设的半径为，，

，

，

解得，，

即该球的半径是．

故选：．

设圆心为点，连，交于，则，，在中，设的半径为，，利用勾股定理得到，解方程即可．

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．

9.【答案】

【解析】解：把代入，得

，

解得：．

故答案是：．

把代入已知方程得到关于的新方程，通过解新方程求得的值即可．

此题主要考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

10.【答案】，

【解析】解：，

，

或，

或．

故答案为：，．

将看作整体，先移项，再提公因式，求解即可．

本题考查了一元二次方程的解法，是基础知识比较简单．

11.【答案】，

【解析】解：由题意得，

移项得，

分解因式得，

解得，，．

故答案为：，．

代数式与的值相等，则可得到一个一元二次方程，然后移项，套用公式进行因式分解，利用因式分解法即可得到的值．

本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为后，方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．

12.【答案】点

【解析】【分析】

本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．

【解答】

解：，

点在外，

，

点在上；

，

点在内，

故答案为点．

13.【答案】

【解析】解：连接，如图，

，，

，

，，

，

，

在中，，

．

故答案为．

连接，如图，先计算出，，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

14.【答案】

【解析】解：连接，

，

所以和为等腰三角形，

设度，则，

因为，

所以，

在中，，

解得，

即．

解答此题要作辅助线，根据半径，构造出两个等腰三角形，结合三角形外角和内角的关系解决．

此题主要考查了等腰三角形的基本性质，以及三角形内角和定理，难易程度适中．

15.【答案】

【解析】解：根据题意得到两根之和为，两根之积为，

则所求方程为．

故答案为：．

由方程的根为和，得到两根之和为，两根之积为，写成方程即可．

本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．

16.【答案】且

【解析】解：一元二次方程有两个不相等实数根，

，

解得：，

，

的取值范围为：且．

故答案为：且．

由一元二次方程有两个不相等实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．

此题考查了根的判别式．注意方程有两个不相等的实数根．

17.【答案】

【解析】解：，是方程的两个实数根，

，．

．

故答案为：．

根据方程的根的定义，以及根与系数之间的关系，即可得到，，根据即可求解．

本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程根的定义．

18.【答案】

【解析】解：、是方程的两实根，

，．

原式．

故答案为：．

根据一元二次方程的根与系数的关系得到，，然后变形原代数式为原式，再代值计算即可．

本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两根为，，则，．

19.【答案】解：，

移项，得，

两边都除以，得，

两边开平方，得，

移项，得，

解得：，；

，

两边都除以，得，

移项，得，

配方，得，即，

解得：，

即，；

，

这里，，，

，

，

解得：，；

，

方程左边因式分解，得，即，

解得：，．

【解析】方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；

方程利用配方法求出解即可；

方程利用公式法求出解即可；

方程利用因式分解法求出解即可．

此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．

20.【答案】解：

有两个相等的实数根，

，即，解得或，

即当的值为或时，方程有两个相等的实数根，

当时，方程为，解得，

当时，方程为，解得．

【解析】由方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可得到关于的方程，可求得的值，再解方程即可．

本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．

21.【答案】解：如图，连接，

是弦的中点，过圆心，

．

．

，

．

设，则，

在中，根据勾股定理，得

，

解得．

的半径为．

【解析】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形．

连接，根据垂径定理得出，则，设，则，在中，有，进而可求得半径．

22.【答案】解：设宽为，则长为

由题意，得，

解得，

当时，舍去，

当时，

答：围成矩形的长为、宽为．

【解析】设宽为，则长为，然后根据平方米的长方形即可列出方程，解方程即可解决问题．

此题是利用一元二次方程解决实际问题，解题关键是找到关键描述语，从而找到等量关系准确的列出方程．

23.【答案】解：设这种药品每次降价的百分率是，

依题意，得：，

解得：，不合题意，舍去．

答：这种药品每次降价的百分率是．

元，

，

按此降价幅度再一次降价，药厂不会亏本．

【解析】设这种药品每次降价的百分率是，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；

根据经过连续三次降价后的价格经过连续两次降价后的价格，即可求出再次降价后的价格，将其与元进行比较后即可得出结论．

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

24.【答案】解：设后，的面积等于．

此时，，，．

由，得．

即，解得，．

当时，，，的面积等于；

当时，，，的面积等于．

故、分别从、两点出发经过或时的面积等于；

仿得．

整理，得，因为，

所以，此方程无解．

所以的面积不可能等于．

【解析】设、分别从、两点出发，秒后，，，则的面积等于，令该式等于，列出方程求出符合题意的解；

看的面积能否等于，只需令，化简该方程后，判断该方程的与的关系，大于或等于则可以，否则不可以．

本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．

25.【答案】解：设每件衬衫降价元