2023年秋冀教版九年级数学上册同步练习：26.4　解直角三角形的应用

第页26.4解直角三角形的应用一、选择题1．如图32－K－1，在水平地面上，由点A测得旗杆BC顶点C的仰角为60°，点A到旗杆的距离AB＝12米，那么旗杆的高度为()图32－K－1A．6eq\r(3)米B．6米C．12eq\r(3)米D．12米[2023·保定徐水模拟]某人沿斜坡坡度i＝1∶2的斜坡向上前进了6米，那么他上升的高度为()A．3米B.eq\f(6\r(5),5)米C．2eq\r(3)米D.eq\f(12\r(5),5)米3．如图32－K－2，长清区政府准备在大学城修建一座高AB＝6m的过街天桥，天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为eq\f(1,3)，那么坡面AC的长度为()A．16mB．10mC．18mD．8m图32－K－2图32－K－3[2023·玉林]如图32－K－3，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是()A．15eq\r(3)海里B．30海里C．45海里D．30eq\r(3)海里[2023·河北模拟]某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图32－K－4，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°.假设直升机镜头C处的高度CD为300米，点A，D，B在同一直线上，那么雪道AB的长度为()A．300米B．150eq\r(2)米C．900米D．(300eq\r(3)＋300)米图32－K－4图32－K－56．如图32－K－5，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，假设渔船沿北偏西75°的方向以40海里/时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，那么B，C之间的距离为()A．20海里B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(2)海里D．30海里二、填空题7．[2023·河北模拟]如图32－K－6，在离地面高度为5米的A处引拉线固定电线杆，要使拉线与地面的夹角α＝37°，工作人员需买拉线的长度约为________(精确到1米)．(sin37°≈0.6，cos37°≈0.8)．图32－K－6图32－K－78．如图32－K－7，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为________m(结果保存根号)．9．[2023·唐山玉田县一模]如图32－K－8，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的平安性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，那么调整后楼梯AC长为________米．图32－K－8图32－K－910．[2023·大连]如图32－K－9，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为________海里．(结果取整数，参考数据：eq\r(3)≈1.7，eq\r(2)≈1.4)三、解答题11．[2023·宿迁]如图32－K－10所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A处测得正前方小岛C的俯角为30°，面向小岛方向继续飞行10km到达B处，发现小岛在其正前方，此时测得小岛的俯角为45°，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度(结果保存根号)．图32－K－1012．某地的一座人行天桥如图32－K－11所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1.为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶eq\r(3).(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要撤除？请说明理由.eq\a\vs4\al(链接听课例3归纳总结)图32－K－1113背景材料：近年来由于世界各国大力开展海洋经济、加强海洋能力开发，海洋争端也呈上升趋势．为增强海洋执法能力、维护海洋领土，近期我国多个部门联合进行护航、护渔演习．解决问题：(1)如图32－K－12，我国渔船(C)在钓鱼岛海域正被某国不明船只袭扰，“中国海政310〞船(A)接到陆地指挥中心(B)的护渔命令时，渔船(C)位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国海政310〞船西南方向，“中国海政310〞船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB＝eq\f(140\r(6),3)海里，“中国海政310〞船的最大航速为20海里/小时．根据以上信息，请你求出“中国海政310〞船赶往渔船所在位置进行护渔至少需要多长时间；(2)如果(1)中条件不变，此时位于“中国海政310〞船(A)南偏东30°海域有一只某国军舰(O)，AO＝560eq\r(2)海里，其火力打击范围是500海里，如果渔船(C)沿着正南方向继续航行，是否会驶进这只军舰的火力打击范围？图32－K－121．C[解析]由于AB＝12米，仰角为60°，那么BC＝AB·tan60°＝12eq\r(3)(米)．应选C.2．B3．C4．B5．D[解析]∵在Rt△ACD中，∠A＝30°，CD＝300米，∴AD＝eq\f(CD,tan30°)＝eq\f(300,\f(\r(3),3))＝300eq\r(3)(米)．∵在Rt△BCD中，∠B＝45°，CD＝300米，∴BD＝CD＝300米，∴AB＝AD＋BD＝(300eq\r(3)＋300)米．应选D.6．C[解析]如图，∵∠ABE＝15°，∠DAB＝∠ABE，∴∠DAB＝15°，∴∠CAB＝∠CAD＋∠DAB＝90°.又∵∠FCB＝60°，∠CBE＝∠FCB，∠CBA＋∠ABE＝∠CBE，∴∠CBA＝45°.∴在Rt△ABC中，sin∠CBA＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(40×\f(1,2),BC)＝eq\f(\r(2),2)，∴BC＝20eq\r(2)海里．应选C.7．8[解析]在Rt△ABC中，sin∠ABC＝eq\f(AC,AB)，∴AB＝eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(5,sin37°)≈8(米)．8．10eq\r(3)[解析]∵自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，∴∠ABC＝30°，∴AC＝BC·tan30°＝30×eq\f(\r(3),3)＝10eq\r(3)(m)，∴楼的高度AC为10eq\r(3)m.9．2eq\r(6)[解析]在Rt△ABD中，∵sin∠ABD＝eq\f(AD,AB)，∴AD＝4×sin60°＝2eq\r(3)(m)．在Rt△ACD中，∵sin∠ACD＝eq\f(AD,AC)，∴AC＝eq\f(2\r(3),sin45°)＝2eq\r(6)(m)．故答案是2eq\r(6).10．102[解析]过点P作PD⊥AB，垂足为D.∵一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86海里的A处，∴∠MPA＝∠PAD＝60°，∴PD＝AP·sin∠PAD＝86×eq\f(\r(3),2)＝43eq\r(3).∵∠BPD＝45°，∴∠B＝45°.在Rt△BDP中，由勾股定理，得BP＝eq\f(PD,sin∠B)＝eq\f(43\r(3),\f(\r(2),2))＝43eq\r(3)×eq\r(2)≈102(海里)．故答案为102.11．解：过点C作CD⊥AB于点D.设CD＝x，∵∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝x.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)，∴AD＝eq\f(CD,tan∠CAD)＝eq\f(x,tan30°)＝eq\r(3)x.由AD＋BD＝AB可得eq\r(3)x＋x＝10，解得x＝5eq\r(3)－5.答：飞机飞行的高度为(5eq\r(3)－5)km.解：(1)∵tanα＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴α＝30°，∴新坡面的坡角α为30°.(2)文化墙PM不需要撤除．理由如下：过点C作CD⊥AB于点D，那么∠CDB＝90°，CD＝6.∵坡面BC的坡度为CD∶BD＝1∶1，∴BD＝CD＝6.同理可得AD＝eq\r(3)CD＝6eq\r(3)，那么AB＝AD－BD＝6eq\r(3)－6，而PB＝8，∴PB－AB＝8－(6eq\r(3)－6)＝14－6eq\r(3)＝eq\r(196)－eq\r(108)＞0，∴文化墙PM不需要撤除．13解：(1)如图，过点A作AD⊥BC于点D.∵AB＝eq\f(140\r(6),3)，∠B＝60°，sinB＝eq\f(AD,AB)，∴AD＝AB·sin60°＝eq\f(140\r(6),3)×eq\f(\r(3),2)＝70eq\r(2)(海里)．在Rt△ADC中，AD＝70eq\r(2)，∠ACB＝45°，∴AC＝70eq\r(2)×eq\r(2)＝140(海里)，∴“中国海政310〞船赶往渔