第09讲函数模型及其应用

第09讲函数模型及其应用三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax一．用函数图像刻画变化过程例1．（1）面对突如其来的新冠病毒疫情，中国人民在中国共产党的领导下，上下同心、众志成城抗击疫情的行动和成效，向世界展现了中国力量、中国精神．下面几个函数模型中，能比较近似地反映出图中时间与治愈率关系的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】结合图象以及函数的单调性确定正确选项.【详解】根据图象可知，治愈率先减后增，B选项符合.ACD选项都是单调函数，不符合.故选：B（2）如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设P点运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图像是(

)A．B．C．D．【答案】D【分析】数形结合，分P点在BC、CD、DA三种情况，依次求出S＝f(x)的解析式，根据解析式即可作出图像﹒【详解】由题意：P点在BC上时，0≤x＜4，S＝＝2x；P点在CD上时，4≤x≤8，S＝＝8；P点在DA上时，8＜x≤12，S＝24－2x．故选：D﹒（3）今有一组实验数据如下：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】选代入四个选项的解析式中选取所得的最接近的解析式即可.【详解】对于选项A：当时，，与相差较多，故选项A不正确；对于选项B：当时，，与相差较多，故选项B不正确；对于选项C：当时，，故选项C正确；对于选项D：当时，，与相差较多，故选项D不正确；故选：C.（4）植物研究者在研究某种植物15年内的植株高度时，将得到的数据用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在15年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是（）A．(且)B．(，且)C．D．【答案】B【解析】由散点图直接选择即可.【详解】解：由散点图可知，植物高度增长越来越缓慢，故选择对数模型，即B符合.故选：B.（5）某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如下图所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（

）A．①反映建议（2），③反映建议（1） B．①反映建议（1），③反映建议（2）C．②反映建议（1），④反映建议（2） D．④反映建议（1），②反映建议（2）【答案】B【分析】根据收支差额的计算公式可得正确的判断.【详解】对于建议（1），因为不改变车票价格，减少支出费用，故建议后的图象与目前的图象倾斜方向相同，且纵截距变大，故①反映建议（1）；对于建议（2），因为不改变支出费用，提高车票价格，故建议后的图象比目前的图象的倾斜角大，故③反映建议（2）.故选：B.【点睛】本题考查函数图像在实际问题中的应用，注意根据给出的建议结合题设中的计算公式分析出图象变化的规律，此题为基础题.（6）中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度随时间变化的规律（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数图象的变化可直接判断.【详解】由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型.故选：C.【点睛】本题考查函数模型的判断，属于基础题.【复习指导】：判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．二．已知函数模型的实际问题例2．（1）我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为（

）A．26米 B．28米 C．31米 D．33米【答案】C【分析】计算二次函数的最值即可.【详解】，.故选：C（2）牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（

）（参考数据：，，）A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟【答案】C【分析】根据已知条件代入公式计算得到，再把该值代入，利用对数的运算即可求得结果.【详解】根据题意，，即设茶水从降至大约用时t分钟，则，即，即两边同时取对数：解得，所以从泡茶开始大约需要等待分钟故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，解题的关键是熟练运用对数的运算公式，考查学生的审题分析能力与运算求解能力，属于基础题.（3）冈珀茨模型是由冈珀茨（Gompertzt年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：（当时，表示2020年初的种群数量），若年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m的最小值为_________.【答案】6【分析】依题意得通过计算化简得，则问题可解．【详解】令由题意知，，所以得，则所以，解得，所以m的最小值为6故答案为：6【点睛】本题通过实际问题考查指对数不等式，关键要掌握指对数不等式求解法则．（4）《湿地公约》第十四届缔约方大会部级高级别会议11月6日在湖北武汉闭幕，会议正式通过“武汉宣言”，呼吁各方采取行动，遏制和扭转全球湿地退化引发的系统性风险.武汉市某企业生产某种环保型产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本.每千件产品售价为100万元，设该企业生产的产品能全部售完.=1\*GB3①写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；=2\*GB3②当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？【答案】=1\*GB3①；=2\*GB3②年产量为105千件，最大利润是1000万元.【分析】=1\*GB3①年利润为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可.=2\*GB3②当时，根据二次函数单调性求最大值；当时，根据基本不等式求最大值，继而求出最大值.【详解】=1\*GB3①当时，；当时，，所以.=2\*GB3②当时，，当时，取得最大值950，当时，，当且仅当，即时取等号，而，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.【复习指导】：求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．三．构造函数模型的实际问题命题点1构造二次函数模型例3某居民小区要建一座休闲场所，如图，它的主体造型平面图是一个长为4，宽为2的矩形．居民小区计划在上建一座花坛(图中阴影部分)，在和上建两个沙坑．若，记花坛的面积为，两个沙坑的总面积为(点与正方体的顶点不重合)．(1)求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．(2)当为何值时，的值最大？并求出这个最大值．【答案】(1)关于的函数表达式为，自变量的取值范围是(2)当时，取得最大值，最大值为7【分析】（1）由题及图可知将已知条件代入化简即可（2）由（1）将代入，由题知，化简表达式利用二次函数求解即可【详解】（1）由题意得：．（2）则关于的函数表达式为，自变量的取值范围是．（2），当时，取得最大值，最大值为7．命题点2构造指数函数、对数函数模型例4一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq\f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？【详解】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2)，解得x＝1－.(2)设经过m年剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2)，则a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即＝，即eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为eq\f(\r(2),2)a(1－x)n.令eq\f(\r(2),2)a(1－x)n≥eq\f(1,4)a，即(1－x)n≥eq\f(\r(2),4)，≥，即eq\f(n,10)≤eq\f(3,2)，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．命题点3构造分段函数模型例5如图，病人服下一粒某种退烧药后，每毫升血液中含药量(微克)与时间(小时)之间的关系满足：前5个小时按函数递增，后5个小时随着时间变化的图像是一条线段．(1)求关于的函数关系式；(2)已知每毫升血液中含药量不低于3微克时有治疗效果，含药量低于3微克时无治疗效果，试问病人服下一粒该退烧药后有治疗效果的时间为多少小时？【答案】(1)；(2)小时【分析】(1)根据图像中特殊点,求出函数的解析式即可.(2)根据题意构造不等式,分段求解即可.【详解】（1）由图可得,函数过点,可得，得．当时，设，由图可得得所以．故（2）由题意得或得或，即．故病人服下一粒该退烧药后有治疗效果的时间为小时．【复习指导】：(1)在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型．②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．③解模：求解函数模型，得出数学结论．④还原：将数学结论还原为实际意义的问题．(2)通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解决问题，提升数学建模核心素养．1．下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（

）①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.其中y表示离开家的距离，t表示所用时间.A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②①【答案】A【分析】根据三个事件的特征，分析离家距离的变化情况，选出符合事件的图像.【详解】对于事件①，中途返回家，离家距离为0，故图像④符合；对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图像①符合；对于事件③，前面速度慢，后面赶时间加快速度，故图像②符合；故选：A.2．某农科院学生为研究某花卉种子的发芽率和温度（单位:）的关系，在个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】观察散点图的图像，只有对数型函数图像最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型，故选C.【详解】根据图中散点图可知，散点大致分布在某一条对数型函数曲线周围，A选项是直线型，B选项是抛物线型，D选项是指数型，只有C选项是对数型.故选：C.3．水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间的函数关系是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】考查容器的形状来确定水的高度的变换规律，选择图形即可.【详解】容器由下到上口径越来越大，水以恒速注入，则容器中水的高度增加的速度逐渐变慢，A符合；B选项容器中水的高度增加的速度逐渐变快；C选项容器中水的高度是匀速增加；D选项容器中水的高度增加的速度先增加较慢，后增加较快.故选：A4．在用计算机处理灰度图像（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】结合函数图象以及题意逐项分析即可求出结果.【详解】根据图片处理过程中图像上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图像上每个像素的灰度值增加,所以图象在y=x上方，结合选项只有A选项能够较好的达到目的，故选：A.5．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器集到如下一组数据：123458在四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据选项中函数的递增特征进行判断即可.【详解】根据数据可以知道：当自变量每增加1时，y的增加是不相同的，所以不是线性增加，排除A；当自变量增加到8时，y的增加也不是很多，所以不符合指数的增加特征，排除B；当x增加时，y是缓慢增加，并没有靠近一常数的特征，所以排除D.故选：C6．“道高一尺，魔高一丈”出于《西游记》第五十回“道高一尺魔高丈，性乱情昏错认家，可恨法身无坐位，当时行动念头差，”用来比喻取得一定成就后遇到的障碍会更大或正义终将战胜邪恶，若用下列函数中的一个来表示这句话的含义，则最合适的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】根据一丈等于十尺，即可得出结果.【详解】因为一丈等于十尺，所以“道高一尺魔高一丈”更适合用，来表示；故选：A.7．某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后，空气中每立方米药物残留量（单位：毫克）与时间与的关系，则应选用的函数模型是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】利用散点图的分布结合函数的单调性可选择合适的选项.【详解】由散点图可知，函数在上单调递减，且散点分布在在一条曲线附近，函数的图象为一条直线，不合乎题意；函数的图象为一条曲线，且当时，该函数单调递减；函数在区间上单调递增，不合乎题意；由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，不合乎题意.故选：B.8．某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用（

）A．一次函数 B．二次函数C．指数型函数 D．对数型函数【答案】D【分析】细读题目，可知初期增长迅速，后来增长越来越慢，只有对数函数最符合题意.【详解】由题目信息可得：初期增长迅速，后来增长越来越慢，故可用对数型函数模型来反映y与x的关系.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择与应用，考查逻辑思维能力，考查学生对实际问题的分析和解决能力，属于常考题.9．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是（

）A．投资3天以内（含3天），采用方案一B．投资4天，不采用方案三C．投资6天，采用方案一D．投资12天，采用方案二【答案】D【分析】结合图象对应的高低，可得方案一的回报最多，A正确；投资4天，分别计算出方案一和二的回报,结合图象对应的高低，可得B正确；投资6天，分别计算出方案一和二的回报,结合图象对应的高低，可得C正确；投资12天，根据图象的变化可知D不对，得出选项．【详解】由图可知，投资3天（含3天）内的，结合图象对应的高低，可得方案一的回报最多，所以A正确；投资4天，方案一的回报约为（元，方案二的回报约为（元，结合图象对应的高低，可知方案一，方案二都比方案三高，所以B正确；投资6天，方案一的回报约为（元，方案二的回报约为（元，结合图象对应的高低，可知方案一比方案二方案三高，所以C正确；投资12天：根据图象的变化可知，方案三高很多，所以采用方案三，所以D不对；故选:D．【点睛】本题考查函数模型的应用，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．学校宿舍与办公室相距，某同学有重要材料要送给老师，从宿舍出发先匀速跑步3分钟来到办公室，停留2分钟，然后匀速步行10分钟返回宿舍.在这个过程中，这位同学行走的路程是时间的函数，则这个函数图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可得开始路程是递增，停留时路程不发生变化，再匀速时总路程也是增加的，即可判断.【详解】由题意可得先匀速跑步3分钟来到办公室，路程是递增，停留2分钟，路程不发生变化，再匀速步行10分钟返回宿舍，总路程也是增加的，只有A符合,故选：A.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，考查了函数图象在实际中的应用,属于基础题．11．已知甲､乙两个城市相距120千米，小王开汽车以100千米/时匀速从甲城市驶往乙城市，到达乙城市后停留1小时，再以80千米/时匀速返回甲城市．汽车从甲城市出发时，时间x（小时）记为0，在这辆汽车从甲城市出发至返回到甲城市的这段时间内，该汽车离甲城市的距离y（千米）表示成时间x（小时）的函数为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】结合题干分析求解分段函数解析式即可．【详解】当时，，当时，，当时，，综上：故选：D．12．在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，现给出下列说法：①前5min温度增加越来越快；

②前5min温度增加越来越慢；③5min后温度保持匀速增加；④5min后温度保持不变．其中说法正确的是（）A．①④B．②④C．②③D．①③【答案】C【分析】本题首先可以观察题目所给出的图，得出图像中的曲线是怎么变化的，然后对比题目所给选项，即可得出结果．【详解】由图可知，前温度增加越来越慢，后温度保持匀速增加，故②③是正确的，故选C．【点睛】本题考查函数的图像，主要考查函数图像的变化趋势，考查学生的观察能力，考查推理能力，是简单题．13．年至年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，将年份作为自变量，当年电影放映场次作为函数值，下列函数模型中，最不适合近似描述这年间电影放映场次逐年变化规律的函数是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数在第一象限内是增函数进行判断．【详解】由图象可知在第一象限内，是关于的增函数，A、B、C均合题意当时，在第一象限内是减函数，当时，在第一象限内没有图象，故不适合．故选D．【点睛】本题考查函数模型的应用及函数的单调性判断，熟记基本初等函数的基本性质是关键，属于中档题．14．甲、乙两人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑自行车比乙骑自行车快．若每人离开甲地的距离与所用时间的函数用图象表示，则甲、乙对应的图象分别是（）A．甲是(1)，乙是(2) B．甲是(1)，乙是(4)C．甲是(3)，乙是(2) D．甲是(3)，乙是(4)【答案】B【分析】根据题设甲乙的出行方式判断甲乙对应图象中直线斜率的大小关系，即可确定甲、乙对应的图象.【详解】由甲先骑自行车后跑步，故图象斜率先大后小，则甲图象为(1)或(3)，由乙先跑步后骑自行车，故图象斜率先小后大，则乙图象为(2)或(4)，又甲骑车比乙骑车快，即甲前一半路程图象的中随的变化比乙后一半路程随的变化要快，所以甲为(1)，乙为(4)．故选：B．15．如图，阴影部分的面积S是h(0≤h≤H)的函数，则该函数的图像是图中的()A． B． C． D．【答案】C【详解】由题可知，是，是减函数，故A、B错；由图形阴影面积的变化趋势来看，函数减小的趋势是变慢的，故选C．点睛：观察函数的单调性和变化趋势来解决问题，本题观察阴影部分的变化情况，首先可知是减函数，再根据等长递减观察，可知递减的趋势是由快变慢的，故得到图象为C选项．16．据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万，0.4万和0.76万，则该地区这三个月的用工人数y(万人)关于月数x的函数关系近似地是() B．y＝(x2＋2x)C．y＝ D．y＝0.2＋log16x【答案】C【详解】当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A，故选C.17．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的，则可推断该文物属于（

）参考数据：参考时间轴：A．宋 B．唐 C．汉 D．战国【答案】D【分析】根据给定条件可得函数关系，取即可计算得解.【详解】依题意，当时，，而与死亡年数之间的函数关系式为，则有，解得，于是得，当时，，于是得：，解得，由得，对应朝代为战国，所以可推断该文物属于战国.故选：D18．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃，大约还需要（参考数据：，）（

）A．9分钟 B．10分钟C．11分钟 D．12分钟【答案】B【分析】根据已知条件代入公式计算可得，再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解.【详解】解：由题意，℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得，所以，又水温从75℃降至45℃，所以，即，所以，所以，所以水温从75℃降至45℃，大约还需要10分钟.故选：B.19．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量(单位：)与时间(单位：)间的关系式为，其中的过滤过程中污染物被消除了那么污染物减少到最初含量的还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由已知条件建立方程求得，再代入模型中求得时间得选项.【详解】由已知得，方程两边取自然对数得，所以，设污染物减少到最初含量的需要经过t小时，则，两边取自然对数得，解得，所以还需要经过个小时的时间使污染物减少到最初含量的，故选：B.【点睛】方法点睛：在解决函数的模型的问题时，需注意生活中的量在模型中的含义，建立方程求解.20．为践行"绿水青山就是金山银山”的发展理念，全国各地对生态环境的保护意识持续增强，某化工企业在生产中产生的废气需要通过过滤使废气中的污染物含量减少到不高于最初的20%才达到排放标准．已知在过滤过程中，废气中污染物含量y（单位：mg/L，）与时间t（单位：h）的关系式为（，k为正常数，表示污染物的初始含量），实验发现废气经过5h的过滤，其中的污染物被消除了40%．则该企业生产中产生的废气要达标排放需要经过的过滤时间至少约为（

）（结果四舍五入保留整数，参考数据）A．12h B．16h C．26h D．33h【答案】B【分析】利用函数关系式，结合条件可求出常数k的值，然后结合排放标准即可求出结论．【详解】由题意，实验发现废气经过5h的过滤，其中的污染物被消除了40%，∵，∴，∴，即，∴，当时，，即，∴,即该企业生产中产生的废气要达标排放需要经过的过滤时间至少约为16h.故选：B.21．从盛满20L纯酒精的容器里倒出1L酒精，然后用水填满，这样继续下去，若倒第k次时共倒出纯酒精xL，倒第次时共倒出纯酒精L，则的表达式为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】每次倒出的纯酒精应为混合溶液体积乘以酒精浓度，根据题意可建立x与的关系式，进而得解．【详解】每次倒出的纯酒精应为混合溶液体积乘以酒精浓度，第次倒时，容器里还剩L纯酒精，所以酒精的浓度为，而又倒出1L混合溶液，故倒出的纯酒精为L，则，则．故选：B．22．已知某种食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数），且在时的保鲜时间是192小时，在时的保鲜时间是48小时，则这种食品在时的保鲜时间是（

）A．12小时 B．18小时 C．24小时 D．36小时【答案】C【分析】根据题意建立方程组，进而解出，然后将33代入即可求得答案.【详解】由题意，得，即，所以该食品在的保鲜时间是.故选：C.23．在“3820”战略工程思想精髓的指导下，福州经济持续增长．据统计，2011年至2021年十年间，福州GDP增幅达，位列全国过去十年主要城市GDP增幅第2名．假设从2011年起福州GDP保持相同的年增长率，要增长到原来的y倍，需经过x年，则函数的图像大致为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】设2011年的GDP为1，年增长率为，根据题意有，求得，然后建立函数关系式，即可判断函数图像.【详解】不妨设2011年的GDP为1，年增长率为，则，所以，即因为指数函数为增函数，且时，，所以函数的图像大致为C项中的图.故选:C.24．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q，该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，结合半衰期的定义，建立指数函数模型，从而得到函数关系式.【详解】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，将刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位，根据经过N年衰减为原来的一半，则，即，且生物体内碳14原有初始质量为Q所以生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为即故选:D.25．某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是________．【答案】【分析】将费用之和表示为关于的函数的形式，根据基本不等式取等条件可确定结果.【详解】设一年的总运费与总存储费用之和为，则；（当且仅当，即时取等号），要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值为.故答案为：.26．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中为非零常数；已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，则释放信息素4秒后，距释放处的___________米的位置，信息素浓度为.【答案】4【分析】根据函数关系式将已知数据代入求解即可.【详解】因为释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，所以，所以，即当时，，整理得即，所以，因为，所以.故答案为:4.27．如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将____________块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．（参考数据：．）【答案】【分析】构造不等式，利用对数运算法则解不等式可求得结果.【详解】假设需要块这样的玻璃，则，，，至少需要7块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的.故答案为：.28．某商场为了实现100万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在利润达到5万元后，奖金（单位：万元）随利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%，现有三个奖励模型：①，②，③，则该符合该商场要求的模型为______（填序号）.【答案】②【分析】数形结合，根据三个函数图象是否在直线和的下方判断即可.【详解】在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象如图所示.观察图象可知，在区间内，函数，的图象都有一部分在直线的上方，只有函数的图象始终在直线和的下方，所以按模型进行奖励符合商场的要求.故答案为：②29．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正的常数．若将的物体，放在的空气中冷却，可测得以后物体的温度是由此可求出的值约为．现将的物体，放在的空气中冷却，则开始冷却______分钟（精确0.01）后物体的温度是．（参考数据：）【分析】根据所给数据代入方程即可求得结果.【详解】由题意可知，，，代入方程得即，两边取对数得，由参考数据可知，所以，30．秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒.如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量（）与时间（）（）成正比；药物释放完毕后，与t的函数关系式为（为常数，），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到（）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前__________小时进行消毒工作.【答案】1【分析】根据题意求出参数a，当时,令，解不等式即可.【详解】由图中一次函数图象可得，图象中线段所在直线的方程为，又点在曲线上，所以，解得，因此含药量与时间之间的函数关系式为，当时，令，即，即，解得故答案为：1.31．某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）随时间（小时）变化的规律近似满足表达式《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升此驾驶员至少要过小时后才能开车___________.（精确到小时）【答案】4【分析】此驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升时，才能开车，因此只需由，求出的值即可.【详解】当时，由得，解得，舍去；当时，由得，即，解得，因为，所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车.故答案为：432．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额x成正比，其关系如图1：投资股票等风险型产品的年收益与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2．(1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元?【答案】(1)(2)当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.【分析】（1）根据待定系数法可得；（2）设用于投资稳健型产品的资金为x，写出年收益的解析式，利用换元法可得.【详解】（1）由题意可设，由图知，函数和的图象分别过点和，代入解析式可得，所以（2）设用于投资稳健型产品的资金为x，用于投资风险型产品的资金为，年收益为y，则，令，则，当，即时，，所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.33．某乡镇响应“绿水背山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元．己知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．(1)求函数的解析式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400元【分析】（1）利用，即可求解；（2）对进行化简，得到，然后分、讨论的取值，进而得到答案.【详解】（1）根据题意，，化简得，；（2）由（1）得，当时，，当时，，所以，当且仅当时，即时等号成立，因为，所以当时，，故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400元.34．中国地大物博，大兴安岭的雪花还在飞舞，长江两岸的柳枝已经发芽，海南岛上盛开着鲜花．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，专家发现，某种两岁燕子在飞行时的耗氧量与飞行速度米秒之间满足关系：，其中表示燕子耗氧量的单位数．(1)当该燕子的耗氧量为个单位时，它的飞行速度大约是多少？(2)若某只两岁燕子飞行时的耗氧量变为原来的倍，则它的飞行速度大约增加多少？参考数据：，【答案】(1)（米/秒）(2)（米/秒）【分析】（1）由耗氧量和飞行速度的关系可将表示为对数，然后求出即可．（2）记燕子原来的耗氧量为，飞行速度为，现在的耗氧量为，飞行速度为，则可得，然后化为对数运算即可．【详解】（1）当时，，即，所以，所以，即它的飞行速度大约是米秒．（2）记燕子原来的耗氧量为，飞行速度为，现在的耗氧量为，飞行速度为，则，即，所以，，所以，所以它的飞行速度大约增加米秒．35．2022年12月7日，国务院发布了精准防控新冠疫情的十条最新措施，以减轻疫情防控对企业经营和民众生活带来的损失．某公司为了尽快恢复经营活动，决定对业绩在50万元到200万元的业务员进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随着业绩值x（单位：万元）的增加而增加，但不超过业绩值的．(1)若某业务员的业绩为100万，核定可得5万元奖金，若该公司用函数（k为常数）作为奖励函数模型，则业绩200万元的业务员可以得到多少奖励？（参考数据）(2)若采用函数，求a的范围．【答案】(1)业绩200万元的业务员可以得到7.3万元奖励；(2)a的取值范围是．【分析】(1)将题中的条件代入，可以求出具体的函数解析式，即可解决.(2)根据题意列出关于的不等式，然后把问题转化为研究函数的恒成立问题，进而确定参数的取值范围.【详解】（1）对于函数模型（k为常数），当时，，代入得，解得，即，因为函数和函数在上都为增函数所以函数在上都为是增函数，当时，，所以业绩200万元的业务员可以得到7.3万元奖励．（2）对于函数模型，因为函数在递增，所以，即；又由奖金不超过业绩值得5%，得恒成立，即对恒成立．记，因为二次函数图象开口向上且，所以函数图象的对称轴，所以只需，即解得．所以综上可知，实数a的取值范围是．36．2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：x10202530110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元．(1)求k的值；(2)给出两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值．【答案】(1)(2)选择②，，（，）(3)121元【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元，列式求得答案；（2）由表中数据的变化可确定描述该商品的日销售量与时间x的关系，代入表述数据可求得其解析式；（3）讨论去掉绝对值符号，分段求出函数的最小值，比较可得答案.【详解】（1）因为第10天该商品的日销售收入为121元，所以，解得；（2）由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，故只能选②:代入数据可得：，解得，，所以，（，）（3）由（2）可得，，所以，，所以当，时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，有最小值，且为121；当，时，为单调递减函数，所以当时，有最小值，且为124，综上，当时，有最小值，且为121元，所以该商品的日销售收入最小值为121元．37．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元【分析】（1）根据题意列方程即可.（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值.【详解】（1）由题意知，当时，（万件），则，解得，∴．所以每件产品的销售价格为（元），∴2020年的利润．（2）∵当时，，∴，当且仅当即时等号成立．∴，即万元时，（万元）．故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．38．近日，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与空气污染指数的关系为：，其中空气污染指数与时刻（小时）和的算术平均数成反比，且比例系数为，是与气象有关的参数，．(1)求空气污染指数的解析式和最大值；(2)若用每天环境综合污染指数的最大值作为当天的综合污染指数，该市规定：每天的综合污染指数最大值不得超过1．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？请说明理由．【答案】(1)，，;(2)没有超标；理由见解析.【分析】（1）根据题意直接写出函数，利用均值不等式求最值即可；（2）设，换元后原函数转化为分段函数，利用二次函数的性质求出函数的单调区间，分类讨论可得的最大值，即可求解.【详解】（1）由题意得px=1即当且仅当时，．（2）由（1）得，，设，令gt=tt−k则由图像知在和k,12上单调递增，在上单调递减，且gk2=k所以，令k24+令k24+所以当0<k<2−1时，当时，，即gtmax<1所以目前市中心的综合污染指数没有超标.39．某企业生产两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示.(1)分别将两种产品的利润表示为投资额的函数.(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（结果精确到0.1万元）？【答案】(1)，；(2)当A产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为万元，即4.1万元．【分析】（1）由已知给出的函数模型设出解析式，代入已知数据即可算出结果；（2）设A产品投入万元，则产品投入万元，设企业的利润为万元，则有，再利用换元法转化为求二次函数在给定区间上的最值问题即可求解．【详解】（1）设投资额为万元，A产品的利润为万元，产品的利润为万元，由题设得，，由图可知，则，又，所以，所以，；（2）设A产品投入万元，则产品投入万元，设企业的利润为万元，则，，令，则，故，所以当时，，此时，，所以当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为万元，即4.1万元．40．某企业投资（万元）与使用时间（年）之间满足函数关系，此外该设备每年的运转费用是万元.(1)求该企业使用这套设备年的年平均垃圾处理费用（万元）；(2)该企业使用这套设备几年年平均垃圾处理费用最低？最低是多少万元？【答案】(1).(2)10年，最低费用（万元）.【分析】（1）由垃圾处理费用的构成即可求得关于的解析式；（2）利用基本不等式即可求得最小值.【详解】（1）由题意可知：使用年的垃圾处理费用=投资费用+维护费用+运转费用，使用这套设备年，维护费用为，运转费用为，投资万元，故有.（2）由基本不等式可得：，当且仅当，，即时取等号.即该企业使用这套设备10年，年平均费用最低，最低费用为（万元）.（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足关系，且投入的肥料费用不超过6百元.另外，还需要投入其它的费用（单位：百元）.(1)求函数的关系式，并写出定义域；(2)当肥料费用为多少时，这种水果获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)，(2)肥料费用为元时，该水果获得的利润最大，最大利润是元．【分析】（1）根据收入减去成本为利润，即可得到函数解析式，再写出函数的定义域即可；（2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解.【详解】（1）解：依题意可得，因为，所以，；（2）解：，当且仅当，即时取等号．当投入的肥料费用为元时，该水果获得的利润最大，最大利润是元．42．在20世纪30年代，美国地震学家里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，就是我们常说的甲氏震级M，其计算公式为．其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．(1)假设在一次地震中，测震仪记录地震的最大振幅是，此时标准地震的振幅是0.001，求这次地震的震级；(2)级地震给人的震感已比较明显，求级地震的最大振幅约是级地震的最大振幅的多少倍？（精确到1倍，参考数据：）【答案】(1)级；(2)倍【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得震级.（2）求得级和级地震的振幅，进而求得所求的倍数.【详解】（1）依题意，所以这次地震的震级是级.（2）依题意，其中分别表示级地震、级地震的最大振幅，两式相减得，所以倍.所以级地震的最大振幅约是级地震的最大振幅的倍.43．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（1）函数的图象接近图示；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①；②；③.(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；(2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）.【答案】(1)选，理由见解析(2)答案见解析(3)55分钟【分析】（1）根据图像和函数性质选择模型，（2）将，代入求解系数即可.（3）将代入解析式即可.【详解】（1）第一步：分析题中每个模型的特点对于模型一，当时，匀速增长；对于模型二，当时，先慢后快增长；对于模型三，当时，先快后慢增长.第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选.（2）第三步把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式将，代入解析式得到，即，解得，，即.第四步：完善模型是否合适当时，，满足每天得分最高不超过6分的条件.所以函数的解析式为.（3）由，，得，得，所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.44．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①，②，③供选择.(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）【答案】(1)模型③，理由见解析，；(2)55分钟【分析】（1）根据图像和函数性质选择模型，再将（0，0），（30，3）代入求解系数即可.（2）将代入解析式即可.【详解】（1）第一步：分析题中每个模型的特点对于模型一，当时，匀速增长；对于模型二，当时，先慢后快增长；对于模型三，当时，先快后慢增长.第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选.第三步：把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式将（0，0），（30，3）代入解析式得到，即，解得，即.第四步：验证模型是否合适当时，，满足每天得分最高不超过6分的条件.所以函数的解析式为.（2）由，得，得，得，所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.45．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年．(1)求森林面积的年增长率；(2)到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据题意，设出增长率，列出指数方程，求解即可；（2）根据（1）中所求，设出植树造林的年限，列出指数方程，求解即可.【详解】（1）设森林面积的年增长率为，根据题意可得：，即，则，故.故森林面积的年增长率为.（2）设该地已经植树造林年，根据题意可得：，即，则，解得.故该地已经植树造林年.46．有一种放射性元素，最初的质量为，按每年衰减(1)求两年后，这种放射性