北京西城育才中学高二上学期期中考试数学（理）试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2017—2018学年度第一学期北京育才学校高二数学（理科)期中考试试卷一、选择题(每小题5分，8道题,共40分）1．抛物线的焦点坐标为（)． A． B． C． D．【答案】B【解析】解：抛物线焦点在轴上，坐标为．故选．2．圆与直线相切于点，则直线的方程为（）． A． B． C． D．【答案】D【解析】解：圆，圆心，半径，圆心与切点的距离半径，∴,解出：，圆心与切点连线的斜率，∴直线斜率，且直线过点,∴,整理得．故选．3．若双曲线的离心率是，则实数(）． A． B． C． D．【答案】A【解析】解：双曲线，，,∴，，∴．故选．4．“”是“”的（）． A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解:设集合，集合或，∴，∴是的充分不必要条件．故选．5．长方体一个顶点上三条棱的长分别是、、,且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）． A． B． C． D．【答案】C【解析】解：设球的半径为，，球的表面积．故选．6．一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积及体积为（）． A．, B．， C．, D．以上都不正确【答案】A【解析】解:由三视图知，该几何体为圆锥，表面积．体积．故选．7．下列说法不正确的是（）． A．， B．,, C．夹在平行平面间的平行线段相等 D．若平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行【答案】D【解析】解:错误，平面外的一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线可能平形于这个平面，也可能与此平面相交．故选．8．为过椭圆中心的弦，为椭圆的右焦点，则面积的最大值是（）． A． B． C． D．【答案】A【解析】解：面积为与面积之和，设到轴的距离为，∵过椭圆中心的弦,则到轴的距离为，且,∴，∵最大值为，∴．故选．二、填空题（每小题5分，6道题，共30分）9．命题“,"的否定是__________．【答案】，【解析】解：全称命题的否定将“"改为“”．10．已知点，抛物线的焦点是,若抛物线上存在一点，使得最小，则最小值为__________；此时点的坐标为__________．【答案】；【解析】解:由抛物线定义,到到焦点的距离等于它到准线的距离，设点到准线的距离为,则所求的最小值，即为的最小值，当、、三点共线时，最小，∴最小值为到准线的距离此时最小值为，的纵坐标为，代入抛物线中,解出的横坐标为，得．11．中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为__________．【答案】【解析】解：设双曲线为,则渐近线为，代入，∴，∵，∴．12．如图，一个空间几何体的主视图，左视图都是面积为，且一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为__________；体积为__________．【答案】；【解析】解：几何体由两个相同的正四棱锥组成,∵正视图，侧视图都是面积为,一个内角为的菱形，∴菱形的边长为，且正四棱锥的底面边长为,侧面底边长为，斜高为,侧棱长为,∴几何体的表面积为，体积．13．下列说法中正确的是__________．①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真;②“”是“”的充要条件;③“，则，全为"的逆否命题是“若，全不为,则"④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真；⑤“为假命题”是“为真命题"的充分不必要条件．【答案】②④⑤【解析】解：①逆命题与否命题真假性相同，但无法判断其逆否命题真假，错误．②由“”可推出，“",“”也可推出，“",正确．③原命题的逆否命题为“若、不全为，则”，错误．④否命题与逆命题真假性相同，正确．⑤“"为假命题,那么为真命题，可推出，反之不成立，正确．14．下列命题正确的是__________．①两条直线没有公共点，则这两条直线平行或互为异面直线；②如果两个平面有三个公共点，那么它们重合；③一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行；④两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行；⑤过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行．【答案】①【解析】解：①正确．②错，可能两个平面相交．③错，当一条直线与平面内所有直线均无公共点时，直线与平面平行．④错，两直线可能相交．⑤错，只能作出一个符合要求的平面．三、解答题（6道题，共80分）15．（分）已知命题，．（）分别写出真、真时不等式的解集．（）若是的充分不必要条件，求的取值范围．【答案】（）真时,解集为真时,解集为（）【解析】()真时:．真时：或．（）由题知,为真时，或，∴,解出．16．（分)正三棱柱中，是上一点,若．（)若底面边长为，侧棱长为,求该正三棱柱的表面积、体积．（）求证：平面．【答案】（)，（）略【解析】（）在正三棱柱中，为等边三角形，，正三棱柱面积，体积．(）证明：连接,交于点，连接，∵在中，,分别为,中点,∴，∴平面,平面,∴平面．17．(分）已知圆的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切．()求圆的标准方程．(）求直线与圆相交的弦长．【答案】（）()【解析】解：(）设圆，圆心到直线的距离，∵圆心在轴正半轴上，，代入解出或（舍）,∴圆为．(）圆心到直线距离，弦长．18．(分）四棱锥中底面是平行四边形，是中点，过的平面与交于．（)求证：平面．(）求证：是中点．【答案】见解析【解析】解：证明：∵在平行四边形中，，∵平面,平面，∴平面．(）证明：设平面平面直线，则，，∴,∴,∵在平行四边形中，，∴,又∵是中点，,∴是中点．19．(分）一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为米，拱顶距离水面米．（）建立如图所示的平面直角坐标系，试求拱桥所在抛物线的方程．()若一竹排上有一米宽米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？【答案】(）（）可以安全通过【解析】解（）在中，抛物线过点，开口向下，过，设抛物线为代入点，解出，∴抛物线为,即．(）当时，,∵，∴木排可安全通过此桥．20．（分)已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，且过点．（）求椭圆的标准方程．（)、、