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./补充:特征函数定义1设X是非空全集,,称为集合A的特征函数.显然的充分必要条件是A=B.例如：取,,则特征函数如图图1-13-1特征函数定理1〔1；〔2；〔3.特别时；〔4；〔5；〔6；〔7设是任一集列,则；〔8存在,且当极限存在时,.证明仅证〔3,〔7.；〔3任意,.当时,；当时,；同理；当时,有.〔7设是任一集列,则；〔7先证任意,存在使,故,从而.又由特征函数定义知,所以；当,存在自然数N,,故,,而,所以也有,故.再证任意时,存在自然数N,,故,从而,而,所以；当时,.由下限集的定义知,存在无穷多个,使于是,从而,所以,因此.第三章可测函数为了建立新的积分即Lebesgue积分,我们需要介绍一类比连续函数更为广泛的重要函数——可测函数,这类函数与连续函数有着密切的联系.首先我们拓广函数的概念,以下我们提到的函数都是指定义在中某点集上的实值函数,且允许它取值±∞.另外,我们规定：<+∞>+〔+∞=+∞,〔-∞+〔-∞=-∞,对于任意实数a,总有a+<+∞>=<+∞>+a=+∞,a+<-∞>=-∞,对于b>0,c<0,b·<±∞>=±∞,c·<±∞>=∞,<±∞>·〔±∞=+∞,〔+∞·〔-∞=〔-∞·〔+∞=-∞,0·〔±∞=〔±∞·0=0,对,,对,,但〔+∞-〔+∞,〔±∞+〔∞,〔-∞-〔-∞均无意义.§1可测函数的定义及简单性质可测函数的定义方法很多,本节我们将采用从简单到复杂的方法定义可测函数,即先给出简单函数,再用简单函数的极限定义非负可测函数,然后通过分析非负可测函数的特性给出一般可测函数的定义.一、可测函数的定义及等价定义1．简单函数定义1设为一个可测集,为定义在上的实函数,如果〔1=,其中为两两不交的可测集,〔2在每个上=,即=,亦即,其中表示的特征函数,则称为上的简单函数.图3-1-1简单函数显然=及=均为其定义域上的简单函数.图3-1-2符号函数可以证明,可测集上的两个简单函数的和、差及乘积仍为上的简单函数；当时,也是上的简单函数.另外,若是G上的函数,是可测集上的简单函数,且,则仍为上的简单函数.例1证明可测集上的两个简单函数的和仍为上的简单函数证明设是上的简单函数,下证也是上的简单函数.事实上,设,那么,其中则是个互不相交的可测集,且所以是上的简单函数.定义2设为上的非负实函数,集合{}称为在上的下方图形,记为,当时,简记为.图3-1-3下方图形例2如果是中可测子集的示性函数：则,这都是中的可测集.例3设为可测集上的非负简单函数

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