轴对称与折叠问题

轴对称与折叠问题(适合初一学生)（一）几何作图最值模型模型一：直角坐标系下的几何最值1．

两条线段的和差最值问题：（1）如图1-1，MN⊥EF，在MN上找一点C，使得AC+BC最小；【解析】如图1-1-1，连接AB，与MN交于C点，则点C为所求。证明：在MN上任选其他一点D，连接DA、DB，则在△DAB中，DA+DB＞AB，AB=CA+CB，∴CA+CB＜DA+DB；（2）如图1-1，MN⊥EF，在EF上找一点C，使得AC+BC最小；【解析】如图1-1-2，作点B有关EF的对称点B'，连接AB'，与EF交于C点，则点C为所求。证明：在EF上任选其他一点D，连接DA、DB、DB'，则在△DAB'中，DA+DB'＞AB'，而DA+DB'=DA+DB，AB'=CA+CB'=CA+CB，∴CA+CB＜DA+DB；阐明：假如作A有关EF的对称点A'，连接BA'，与EF的交点仍然是点C。（3）如图1-1，MN⊥EF，在EF上找一点C，使得AC-BC最大；【解析】如图1-1-3，连接AB，延长AB与EF交于C点，则点C为所求。证明：在EF上任选其他一点D，连接DA、DB，则在△DAB中，DA-DB＜AB，而AB=CA-CB，∴CA-CB＞DA-DB；（4）如图1-1，MN⊥EF，在MN上找一点C，使得AC-BC最大；【解析】如图1-1-4，作点A有关MN的对称点A'，连接A'B，延长线与MN交于C点，则点C为所求。证明：在MN上任选其他一点D，连接DA、DB、DA'，则在△DA'B中，DA'-DB＜A'B，而DA'-DB=DA-DB，A'B=CA'-CB=CA-CB，∴CA-CB＞DA-DB；阐明：假如作B有关MN的对称点B'，连接AB'，延长线与MN的交点仍然是点C。２，三条线段之和的最值问题：（１）如图1-2-1-1，MN⊥EF，在EF上找一点C，MN上找一点D，使得｜AC+CD+BD|最小；【解析】如图1-2-1-2，分别作A有关EF的对称点A’和B有关MN的对称点B'，连接A'B'，分别与EF、MN交于C、D两点，则点C、D为所求。证明：分别在EF、MN任取其他两点P、Q，连接PQ、PA、PA'、QB、QB'，则在点A'和点B'之间，A'B'最短，而AC+CD+BD=A'C+CD+DB'=A'B'；PA+PQ+QB=A'P+PQ+QB'＞A'Ｂ'，∴AC+CD+BD＜PA+PQ+QB。（２）如图1-２-2-1，等腰直角△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ，∠ABC=90°，点Ｅ为ＡＢ边上一点，将△ＡＢＣ沿ＡＣ翻折至△ＡＤＣ，在ＡＣ上求作一点Ｐ，使得△ＰＢＥ的周长最短。【解析】由于ＢＥ的长度已经固定，实际上是求作点Ｐ，使得PE+PB最小。如图1-2-2-2，点D是点B有关AC的对称点，连接DE，与AC相交于点P，则点P为所求。证明：取AC上其他任一点Q，则QB+QE=QE+QD＞DE=PE+PD=PE+PB，故PE+PB+BE＜QB+QE+BE。（此题与1（2）类似）模型二：含平行线的多线段之和的几何最值如图2-1，直线a∥b，A、B为两定点，M、N分别在直线a、b上，且MN⊥a，请确定M、N的位置，使得AM+MN+NB最小。【解析】如图2-2，过A作AE⊥a，并截取AE=MN，连接BE，与b交于N，过N作NM⊥a，与a交于M点。则M、N为所求的两点。证明：如图2-2，设MN平移至PQ的位置，则由于AE=PQ，且AE∥PQ，因此四边形AEQP为平行四边形，即AP=EQ；同样，AM=EN，AM+BN=BE，在△BQE中，BQ+QE＞BE，因此BQ+AP＞BN+AM，两边同步加上PQ和MN，得：BQ+PQ+AP＞BN+MN+AM。模型三：一种角内多线段之和的最值1，如图3-1，点P为∠AOB内部的一点，试分别在OA、OB上各找一点M、N，使△PMN的周长最小。【解析】如图3-2，分别作P有关OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，与OA、OB分别交于点M、N，则M、N两点为所求。证明：由于PM=MP1，NP=NP2，因此△PMN的周长为P1P2；分别在OA、OB上任选其他两点C、D，连接PC、PD、P1C、P2D、CD，则CP=CP1，DP=DP2，因此△PCD的周长为P1C+CD+DP2，而在P1P2两点之间，P1P2的线段最短，故P1P2＜P1C+CD+DP2，因此C△PMN＜C△PCD。2．假如问题1中添加条件：∠AOB=30°，且OP=10，求C△PMN的最小值。【解析】如图3-3，首先按照问题1的措施作出三角形PMN，即图中的△PMN的周长为最小，且C△PMN=P1P2。连接OP1、OP2，则OP=OP1=OP2=10，且∠POM=∠MOP1，∠PON=∠NOP2，因此∠P1OP2=2（∠POM+∠PON）=2∠AOB=60°，于是△OP1P2为等边三角形，故P1P2=OP1=10，即C△PMN的最小值为10.

（二）折叠中隐含的已知条件近些年来，有关折叠问题题目在中考中屡见不鲜，处理折叠问题的关键是对轴对称图形的基本知识，例如折痕就是对称轴、轴对称图形的全等、轴对称的对应线段相等、原图形上的任一点和其对称点连接起来的线段被对称轴垂直平分等。折叠问题在中考中越来越受到重视，重要是考验学生的空间想象力。充足运用折叠问题中的已知条件和隐含条件是解题的关键。【例1】

如图1-1，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过E点的直线翻折后，点C、D分别落在BC边下方的点C’、D’处，且点C’、D’、B在同一条直线上，折痕与AD交于点F，D’F与BE交于点G。设AB=t，那么△EFG的周长为多少？（用含t的代数式表达）【解析】如图1-2，过G作GH∥C’D’，与C’E交于H点；过F作FI⊥BC于I。则GH=FI=t，不难证明RT△GHE≌ＲＴ△ＦＧＩ，故ＧＥ＝ＦＧ；又∵ＢＥ＝２ＣＥ，ＣＥ＝Ｃ’Ｅ，∴ＢＥ＝２Ｃ’Ｅ，而∠ＢＣ’Ｅ＝９０°，∴∠ＥＢＣ’＝３０°，又∠ＢＤ’Ｇ＝９０°，∴∠ＦＧＩ＝∠ＢＧＤ’＝６０°，故△ＦＧＥ为等边三角形；在△ＧＨＥ【例2】如图2-1，在一张矩形纸片ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝４厘米，点Ｅ、Ｆ分别是ＣＤ和ＡＢ的中点，现将这张纸片折叠，使点Ｂ落在ＥＦ上的点Ｇ处，折痕为ＡＨ，若ＨＧ的延长线恰好通过点Ｄ，则ＣＤ的长度为多少？【解析】易知Ｇ为ＤＨ的中点，又ＡG⊥ＤＨ，故ＡＤ＝ＡＨ。在△ＡＤＧ和△ＤＨＣ中，ＡＧ＝ＡＢ＝ＤＣ，∠Ｃ＝∠ＡＧＤ＝９０°，∠ＡＤＧ＝∠ＤＨＣ（同步和∠ＣＤＨ互余），∴△ＡＤＧ≌△ＤＨＣ，即ＡＤ＝ＤＨ，故【例３】如图３－１，把矩形纸片ＯＡＢＣ放入平面直角坐标系中，使ＯＡ、ＯＣ分别落在ｘ轴、ｙ轴上，连接ＡＣ，将矩形纸片ＯＡＢＣ沿ＡＣ折叠，使点Ｂ落在点Ｄ的位置。已知点Ｂ（１，２），则点Ｄ的坐标是多少？【解析】由已知得：ＯＡ＝ＣＢ＝ＣＤ＝１，ＡＢ＝ＡＤ＝ＯＣ＝２，设Ｄ（ｘ，ｙ），练习：１，如图ｄ－１，在矩形ＡＢＣＤ中，已知ＡＤ＝８，折叠纸片使ＡＢ边与对角线ＡＣ重叠，点Ｂ落在Ｆ处，折痕为ＡＥ，且ＥＦ＝３.则ＡＢ＝？【提醒】ＣＦ＝４，设ＡＢ＝ｘ，则ＡＣ＝４+ｘ，再用勾股定理可解。２，如图ｄ－２，在矩形ＡＢＣＤ中，已知ＡＢ＝１２，ＢＣ＝６，点Ｅ、Ｆ分别在ＡＢ、ＣＤ上，将矩形ＡＢＣＤ沿ＥＦ折叠，使点Ａ、Ｄ分别落在矩形ＡＢＣＤ外部的点Ａ’和Ｄ’处，ＦＤ’与ＢＥ交于点Ｇ，则四边形ＢＣＦＧ和四边形ＥＧＤ'Ａ'的周长之和为多少？【提醒】将两个四边形的边按照合理的组合，转变成已知的线段长度。

（三）“将军饮马”模型及其推广某一天，一位将军向古希腊数学家、物理学家海伦请教一种问题：如图1-1，从A地出发，到笔直的河岸去饮马，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？这就是著名的“将军饮马”问题。众所周知，如图1-2，运用对称变换知，将军的饮马点应选在O点，此时OA+OB最短。“将军饮马”模型推广：【例1】假如将军在饮马后还要在河边走一段路，这段路的长度是固定的，那么饮马地点应当怎么选呢？（如图1-3）【分析】由于CD的距离固定，即求AC+BD最短，与图1-2相比，OA+OB为折线，而AC+BD没有公共点的线段，因此通过平移进行连接，转化为前面讨论过的问题。如图1-4，将点B向左平移相称于CD长度的距离，至B'，连接B'A'，与直线l交于点C，连接BD，轻易证明，此时AC+CD+DB最短。【例2】如图１-５在锐角三角形ABC中，ＡＤ为∠ＢＡＣ的角平分线，点Ｍ、Ｎ分别是ＡＤ、ＡＢ上的动点，试在图上标上Ｍ、Ｎ，使ＭＮ＋ＭＢ最小。【分析】第一步，先假定点Ｎ不动，把问题化简为“将军饮马”的模型，那么点Ｎ有关ＡＤ的对称点Ｎ'应当落在ＡＣ边上（如图１－６），连接ＢＮ'，与AD的交点M就是使MN+MB最短。且最短距离为BN'；第二步，已知BN'的最短距离为点B到AC的距离，如图1-7，作BE⊥AC于E，则当N'和E重叠时BN'最短，作E有关AD的对称点N，则点N落在AB上，连接BE与AD交于点M，连接MN，则MN+MB=BE，因此图1-7中所作的M、N点符合规定。【例2】

如图1-8，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最短时，∠MAN的度数是多少？【解析】如图1-9，