32个经典圆锥曲线问题

./圆锥曲线32题1.如图所示,,分别为椭圆：〔的左、右两个焦点,,为两个顶点,已知椭圆上的点到,两点的距离之和为．〔1求椭圆的方程；〔2过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于,两点,求的面积．2.已知椭圆：的离心率为,过左焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为．〔1求椭圆的方程；〔2若动直线与椭圆有且只有一个公共点,过点作的垂线,垂足为,求点的轨迹方程．3.已知椭圆的离心率为,点在上．〔1求的方程；〔2直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,,线段的中点为．证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．4.已知的顶点,在椭圆上,点在直线：上,且．〔1当边通过坐标原点时,求的长及的面积；〔2当,且斜边的长最大时,求所在直线的方程．5.已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴顶点为,它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形,直线与轴交于点,与椭圆交于异于椭圆顶点的两点,,且．〔1求椭圆的方程；〔2求的取值范围．6.已知抛物线的焦点为,是抛物线上横坐标为,且位于轴上方的点,到抛物线准线的距离等于,过作垂直于轴,垂足为,的中点为．〔1求抛物线的方程；〔2若过作,垂足为,求点的坐标．7.已知圆过定点,且与直线相切,圆心的轨迹为,曲线与直线相交于,两点．〔1求曲线的方程；〔2当的面积等于时,求的值．8.已知直线与椭圆相交于两个不同的点,记与轴的交点为．〔1若,且,求实数的值；〔2若,求面积的最大值,及此时椭圆的方程．9.如图,设抛物线〔的焦点为,抛物线上的点到轴的距离等于．〔1求的值；〔2若直线交抛物线于另一点,过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点,与轴交于点．求的横坐标的取值范围．10.已知点在椭圆上,且点到两焦点的距离之和为．〔1求椭圆的方程；〔2若斜率为的直线与椭圆交于,两点,以为底作等腰三角形,顶点为,求的面积．11.已知椭圆的离心率为,且过点．〔1求椭圆的方程；〔2若,是椭圆上的两个动点,且使的角平分线总垂直于轴,试判断直线的斜率是否为定值?若是,求出该值；若不是,说明理由．12.已知椭圆：的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为,过点的直线与椭圆相交于,两点．〔1求椭圆的方程；〔2设是中点,且点的坐标为当时,求直线的方程．13.设,分别是椭圆的左,右焦点,是上一点且与轴垂直．直线与的另一个交点为．〔1若直线的斜率为,求的离心率；〔2若直线在轴上的截距为,且,求,．14.在平面直角坐标系中,点,直线与动直线的交点为,线段的中垂线与动直线的交点为．〔1求点的轨迹的方程；〔2过动点作曲线的两条切线,切点分别为,,求证：的大小为定值．15.已知中心在原点的双曲线的右焦点为,右顶点为．〔1求该双曲线的方程；〔2若直线：与双曲线左支有两个不同的交点,,求的取值范围．16.己知椭圆与抛物线共焦点,抛物线上的点到轴的距离等于,且椭圆与抛物线的交点满足．〔1求抛物线的方程和椭圆的方程；〔2过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于,两点,设线段的中点为,求的取值范围．17.已知右焦点为的椭圆：关于直线对称的图形过坐标原点．〔1求椭圆的方程；〔2过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于,两点,点关于轴的对称原点为,证明：直线与轴的交点为．18.在平面直角坐标系中,抛物线的顶点是原点,以轴为对称轴,且经过点．〔1求抛物线的方程；〔2设点,在抛物线上,直线,分别与轴交于点,,．求直线的斜率．19.已知抛物线与直线相切．〔1求该抛物线的方程；〔2在轴正半轴上,是否存在某个确定的点,过该点的动直线与抛物线交于,两点,使得为定值．如果存在,求出点坐标；如果不存在,请说明理由．20.左、右焦点分别为,的椭圆经过点,为椭圆上一点,的重心为,内心为,．〔1求椭圆的方程；〔2为直线上一点,过点作椭圆的两条切线,,,为切点,问直线是否过定点?若过定点,求出定点的坐标；若不过定点,请说明理由．21.已知抛物线,为其焦点,过点的直线交抛物线于,两点,过点作轴的垂线,交直线于点,如图所示．〔1求点的轨迹的方程；〔2直线是抛物线的不与轴重合的切线,切点为,与直线交于点,求证：以线段为直径的圆过点．22.已知椭圆,其短轴为,离心率为．〔1求椭圆的方程；〔2设椭圆的右焦点为,过点作斜率不为的直线交椭圆于,两点,设直线和的斜率为,,试判断是否为定值,若是定值,求出该定值；若不是定值,请说明理由．23.在平面直角坐标系中,抛物线的焦点为,准线交轴于点,过作直线交抛物线于,两点,且．〔1求直线的斜率；〔2若的面积为,求抛物线的方程．24.过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于,两点,其中是的中点；〔1求双曲线的渐近线方程；〔2当坐标为时,求直线的方程；〔3求证：是一个定值．25.如图,线段经过轴正半轴上一定点,端点,到轴的距离之积为,以轴为对称轴,过,,三点作抛物线．〔1求抛物线的标准方程；〔2已知点为抛物线上的点,过作倾斜角互补的两直线,,分别交抛物线于,,求证：直线的斜率为定值,并求出这个定值．26.如图,已知椭圆的左右顶点分别是,,离心率为．设点,连接交椭圆于点,坐标原点是．〔1证明：；〔2若三角形的面积不大于四边形的面积,求的最小值．27.已知抛物线的焦点为,过的直线交于,两点,为线段的中点,为坐标原点．,的延长线与直线分别交于,两点．〔1求动点的轨迹方程；〔2连接,求与的面积比．28.已知抛物线过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点,,过点作轴的垂线分别与直线,交于点,,其中为原点．〔1求抛物线的方程,并求其焦点坐标和准线方程；〔2求证：为线段的中点．29.如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,,离心率为,两准线之间的距离为．点在椭圆上,且位于第一象限,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线．〔1求椭圆的标准方程；〔2若直线,的交点在椭圆上,求点的坐标．30.如图：中,,,,曲线过点,动点在上运动,且保持的值不变．〔1建立适当的坐标系,求曲线的标准方程；〔2过点且倾斜角为的直线交曲线于,两点,求的长度．35.已知椭圆的焦点在轴上,中心在坐标原点；抛物线的焦点在轴上,顶点在坐标原点．在,上各取两个点,将其坐标记录于表格中：〔1求,的标准方程；〔2已知定点,为抛物线上一动点,过点作抛物线的切线交椭圆于,两点,求面积的最大值．36.已知点为椭圆：的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线与椭圆有且仅有一个交点．〔1求椭圆的方程；〔2设直线与轴交于,过点的直线与椭圆交于不同的两点,,若,求实数的取值范围．圆锥曲线32题答案1.〔1由题设知：,即．将点代入椭圆方程得,解得．所以,故椭圆方程为．

〔2由〔知,,所以,所以所在直线方程为,由得,设,,则,,所以所以2.〔1因为椭圆的离心率为,所以．解得,故椭圆的方程可设为,则椭圆的左焦点坐标为,过左焦点且倾斜角为的直线方程为：．设直线与椭圆的交点为,,由消去,得,解得,．因为,解得．故椭圆的方程为．

〔2①当切线的斜率存在且不为时,设的方程为,联立直线和椭圆的方程,得消去并整理,得．因为直线和椭圆有且只有一个交点,所以．化简并整理,得．因为直线与垂直,所以直线的方程为．联立方程组解得所以把代入上式得②当切线的斜率为时,此时或,符合式．③当切线的斜率不存在时,此时或符合式．综上所述,点的轨迹方程为．3.〔1由题意得解得,．所以的方程为．

〔2设直线〔,,,,．将代入,得．故,．于是直线的斜率,即．所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．4.〔1因为,且通过原点,所以所在直线的方程为．由得,两点坐标分别是,．所以．又因为边上的高等于原点到直线的距离．所以,．

〔2设所在直线的方程为,由得．因为,两点在椭圆上,所以,即．设,两点坐标分别为,,则,,且,．所以又因为的长等于点到直线的距离,即．所以．当时,边最长．〔显然．所以,所在直线的方程为．5.〔1由题意,知椭圆的焦点在轴上,设椭圆方程为,由题意,知,,又,则,所以椭圆方程为．

〔2设,,由题意,知直线的斜率存在,设其方程为,与椭圆方程联立,即消去,得,,由根与系数的关系,知又,即有,所以．则,所以．整理,得,又时等式不成立,所以,得,此时．所以的取值范围为．6.〔1抛物线的准线为,于是,所以,所以抛物线方程为．

〔2由〔1知点的坐标是,由题意得,．又因为,所以．因为,所以,所以的方程为的方程为由联立得,,所以的坐标为．7.〔1设圆心的坐标为,由题意,知圆心到定点和直线的距离相等,故圆心的轨迹的方程为．

〔2由方程组消去,并整理得．设,,则,．设直线与轴交于点,则．所以因为,所以,解得．经检验,均符合题意,所以．8.〔1因为,所以设点的坐标为,点的坐标为由得则,则,解得．

〔2设点的坐标为,点的坐标为,由得,得,则．由得,解得,代入上式得：,则,,当且仅当时取等号,此时,又,则,解得．所以,面积的最大值为,此时椭圆的方程为．9.〔1由题意可得,抛物线上点到点的距离等于点到直线的距离,由抛物线的定义,即．

〔2由〔1得,抛物线方程为,,可设,,．因为不垂直于轴,可设直线：,由消去得,故,所以．又直线的斜率为,故直线的斜为．从而得直线：,直线：．所以．设,由,,三点共线得,于是．所以或．经检验,或满足题意．综上,点的横坐标的取值范围是．10.〔1因为,所以．又点在椭圆上,所以,解得,所以椭圆的方程为．

〔2设直线的方程为．由得,设,的坐标分别为,,的中点为,则,．因为是等腰的底边,所以．所以的斜率,解得．此时方程为,解得,,所以,,所以．此时,点到直线的距离,所以的面积．11.〔1因为椭圆的离心率为,且过点,所以,．因为,解得,,所以椭圆的方程为．

〔2法1：因为的角平分线总垂直于轴,所以与所在直线关于直线对称．设直线的斜率为,则直线的斜率为．所以直线的方程为,直线的方程为．设点,,由消去,得因为点在椭圆上,所以是方程的一个根,则．所以．同理．所以．又．所以直线的斜率为．所以直线的斜率为定值,该值为．法2：设点,,则直线的斜率,直线的斜率．因为的角平分线总垂直于轴,所以与所在直线关于直线对称．所以,即因为点,在椭圆上,所以由得,得同理由得由得,化简得由得得．得,得．所以直线的斜率为为定值．法3：设直线的方程为,点,,则,,直线的斜率,直线的斜率．因为的角平分线总垂直于轴,所以与所在直线关于直线对称．所以,即,化简得．把,代入上式,并化简得由消去得则,,代入得,整理得,所以或．若,可得方程的一个根为,不合题意．若时,合题意．所以直线的斜率为定值,该值为．12.〔1由题意可知：,又,,所以,,所以椭圆的方程为：．

〔2①若直线的斜率不存在,此时为原点,满足,所以,方程为．②若直线的斜率存在,设其方程为,,将直线方程与椭圆方程联立可得即,可得设,则,,由可知,化简得,解得或,将结果代入验证,舍掉．此时,直线的方程为．综上所述,直线的方程为或．13.〔1根据及题设知,．将代入,解得或〔舍去．故的离心率为．

〔2由题意,得原点为的中点,轴,所以直线与轴的交点是线段的中点,故,即由得．设,由题意知,则即代入的方程,得将及代入得．解得,,故,．14.〔1据题意,,所以为点到直线的距离,连接,因为为线段的中垂线与直线的交点,所以,所以点的轨迹是抛物线,焦点为,准线为直线,所以曲线的方程为．

〔2据题意,,过点的切线斜率存在,设为,则切线方程为：,联立抛物线方程可得,由直线和抛物线相切,可得,即因为,所以方程存在两个不等实根,设为,,因为,,由方程可知,,所以切线,所以,结论得证．15.〔1由题意设双曲线方程为．由已知得,,再由,得．故双曲线的方程为．

〔2设,,将代入,得．由题意知解得．所以的取值范围为．16.〔1因为抛物线上的点到轴的距离等于,所以点到直线的距离等于点到焦点的距离,得是抛物线的准线,即,解得,所以抛物线的方程为；可知椭圆的右焦点,左焦点,由,得,又,解得,由椭圆的定义得,所以,又,得,所以椭圆的方程为．

〔2显然,,由消去,得,由题意知,得,由消去,得,其中,化简得,又,得,解得,设,,则,由,得,所以的取值范围是．17.〔1由题意可得：,又,解得．所以椭圆的方程为：．

〔2设直线的方程为：,代入椭圆方程可得：,由,解得．设,,,所以,,则直线的方程为：,令,可得所以直线与轴的交点为．18.〔1依题意,设抛物线的方程为．由抛物线且经过点,得,所以抛物线的方程为．

〔2因为,所以,所以,所以直线与的倾斜角互补,所以．依题意,直线的斜率存在,设直线的方程为：,将其代入抛物线的方程,整理得．设,则,,所以．以替换点坐标中的,得．所以．所以直线的斜率为．19.〔1联立方程有,有,由于直线与抛物线相切,得,所以,所以．

〔2假设存在满足条件的点,直线,有,设,,有,,,,,当,满足时,为定值,所以．20.〔1因为椭圆焦点在轴上,且过点,所以．设内切圆的半径为,点的坐标为,则的重心的坐标为,因为,所以．由面积可得,即,则解得,,即所求的椭圆方程为则椭圆方程为．

〔2设,,,则切线,的方程分别为,．因为点在两条切线上,所以,．故直线的方程为．又因为点为直线上,所以,即直线的方程可化为,整理得,由解得因此,直线过定点．21.〔1由题意可得：直线的斜率存在,设方程为：,设,,动点,由可得．可得．；；由可得,即点的轨迹方程为．

〔2设直线的方程为：〔且,由可得,可得,因为直线与抛物线相切,所以,可得,可得,又由可得,可得,所以以线段为直径的圆过点．22.〔1由题意可知：,,椭圆的离心率,则,所以椭圆的标准方程：．

〔2设直线的方程为．消去整理得：．设,,则,,所以为定值．23.〔1过,两点作准线的垂线,垂足分别为,,易知,,因为,所以,所以为的中点,又是的中点,所以是的中位线,所以,而,所以,所以,,所以,而,所以；

〔2因为为的中点,是的中点,所以,所以,所以,所以抛物线的方程为．24.〔1双曲线的,,可得双曲线的渐近线方程为,即为．

〔2令可得,解得,〔负的舍去,设,,由为的中点,可得,,解得,,即有,可得的斜率为,则直线的方程为,即为．

〔3设,即有,设,,由为的中点,可得,,解得,,则为定值．25.〔1设所在直线的方程为,抛物线方程为,联立两方程消去得．设,,则．由题意知,,且,所以,所求抛物线的方程为．

〔2由点为抛物线上的点,得．由题意知直线,的斜率均存在,且不为,设直线的方程为,则直线的方程为．由得,因而．由得,因而．从而直线的斜率,为定值．26.〔1由题意可知：,,则,所以椭圆的标准方程：,设直线的方程,则整理得：,解得：,,则点坐标,故直线的斜率,直线的斜率,所以,所以；

〔2由〔Ⅰ可知：四边形的面积,则三角形,,由,整理得：,则,所以,的最小值．27.〔1设,,由题知抛物线焦点为,设焦点弦方程为,代入抛物线方程得,有,解之得,由韦达定理：,所以中点横坐标：,代入直线方程,中点纵坐标：．即中点为,消参数,得其方程为：,当线段的斜率不存在时,线段中点为焦点,满足此式,故动点的轨迹方程为：．

〔2设,代入,得,,,联立,得,同理,,所以,又因为,故与的面积比为．28.〔1因为过点,所以,解得,所以抛物线方程为,所以焦点坐标为,准线为．

〔2设过点的直线方程为,,,所以直线为,直线为：,由题意知,,由可得,所以,,所以,所以为线段