高考数学理科人教通用版核心讲练大一轮复习课时分层提升练六十四分类加法计数原理与分步乘法计数原理

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层提升练六十四分类加法计数原理与分步乘法计数原理……30分钟60分一、选择题(每小题5分,共25分)1.用4种不同的颜色填涂如表所示的1,2,3,4,5五个区域,要求一区一色,邻区异色,则不同的填涂方法种数是 ()【解析】选B.先涂区域1有4种方法,区域2有3种涂色方法,区域3有2种涂色方法,区域4有2种涂色方法,区域5有2种涂色方法,根据分步乘法计数原理,得到共有4×3×2×2×2=96(种).2.(2020·玉林模拟)从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为 ()【解析】选D.当公比为2时,等比数列可为1,2,4或2,4,8;当公比为3时,等比数列可为1,3,9;当公比为32时,等比数列可为4,6,9.同理,公比为12,13,23时,也有4个.3.某公司新招进8名员工,平均分给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门,另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门,则不同的分配方案种数是 ()【解题指南】①甲部门要2名电脑编程人员和1名翻译人员;②甲部门要1名电脑编程人员和1名翻译人员.分别求得这2种方案的方法数,再利用分类加法计数原理,可得结论.【解析】选C.由题意可得,有2种分配方案:①甲部门要2名电脑编程人员,则有3种情况;翻译人员的分配有2种可能;再从剩下的3个人中选一人,有3种方法.根据分步乘法计数原理,共有3×2×3=18种分配方案.②甲部门要1名电脑编程人员,则方法有3种;翻译人员的分配方法有2种;再从剩下的3个人中选2个人,方法有3种,共3×2×3=18种分配方案.由分类加法计数原理,可得不同的分配方案共有18+18=36种.4.(2020·遵义模拟)将1,2,3,…,9这9个数字填在如图所示的空格中,要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法为 ()34种 种 8种 种【解析】选A.根据数字的大小关系可知,1,2,9的位置是固定的,如图所示,则剩余12D34ACB95,6,7,8这4个数字,而8只能放在A或B处,若8放在B处,则可以从5,6,7这3个数字中选一个放在C处,剩余两个位置固定,此时共有3种方法.同理,若8放在A处,也有3种方法,所以共有6种方法.5.如图所示的几何体是由一个正三棱锥PABC与一个正三棱柱ABCA1B1C1组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不染色),要求每面染一色,且相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有()种 种 种 种【解析】选B.先涂三棱锥PABC的三个侧面,然后涂三棱柱ABCA1B1C1的三个侧面,当棱锥颜色确定后,棱柱对应有2种情形,即共有3×2×1×2=12种不同的染色方案.二、填空题(每小题5分,共15分)6.三边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数是________.

【解析】另两边长用x,y表示,且不妨设1≤x≤y≤11,要构成三角形,必须x+y≥12.当y取11时,x可取1,2,3,…,11,有11个三角形;当y取10时,x可取2,3,…,10,有9个三角形;…;当y取6时,x只能取6,只有1个三角形.所以所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.答案:367.用红、黄、蓝三种颜色去涂表中标号为1,2,…,9的9个小正方形(如表),使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有________种.

123456789【解析】把区域分为三部分,第一部分1,5,9,有3种涂法.第二部分4,7,8,当5,7同色时,4,8各有2种涂法,共4种涂法;当5,7异色时,7有2种涂法,4,8均只有1种涂法,故第二部分共4+2=6种涂法.第三部分与第二部分一样,共6种涂法.由分步乘法计数原理,可得共有3×6×6=108种涂法.答案:1088.如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D4块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则涂色方法共有________种(用数字作答).

【解析】从A开始涂色,A有6种涂色方法,B有5种涂色方法,C有4种涂色方法,D有4种涂色方法.由分步乘法计数原理可知,共有6×5×4×4=480(种)涂色方法.答案:480三、解答题(每小题10分,共20分)9.有一项活动需在3名老师,6名男同学和8名女同学中选人参加.(1)若只需一人参加,有多少种不同选法?(2)若需一名老师,一名学生参加,有多少种不同选法?(3)若需老师、男同学、女同学各一人参加,有多少种不同选法?【解析】(1)只需一人参加,可按老师、男同学、女同学分三类各自有3,6,8种方法,总方法数为3+6+8=17种.(2)分两步,先选老师共3种选法,再选学生共6+8=14种选法,由分步乘法计数原理知,总方法数为3×14=42种.(3)老师、男同学、女同学各一人可分三步,每步方法依次为3,6,8种.由分步乘法计数原理知总方法数为3×6×8=144种.10.已知集合M={3,2,1,0,1,2},若a,b,c∈M,则:(1)y=ax2+bx+c可以表示多少个不同的二次函数.(2)y=ax2+bx+c可以表示多少个图象开口向上的二次函数.【解析】(1)a的取值有5种情况,b的取值有6种情况,c的取值有6种情况,因此y=ax2+bx+c可以表示5×6×6=180(个)不同的二次函数.(2)y=ax2+bx+c的图象开口向上时,a的取值有2种情况,b,c的取值均有6种情况,因此y=ax2+bx+c可以表示2×6×6=72(个)图象开口向上的二次函数.……20分钟40分1.(5分)我国古代数学名著《续古摘奇算法》(杨辉)一书中有关于三阶幻方的问题:将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入3×3的方格中,使得每一行、每一列及对角线上的三个数的和都相等(如表所示),我们规定:只要两个幻方的对应位置(如每行第一列的方格)中的数字不全相同,就称为不同的幻方,那么所有不同的三阶幻方的个数是()834159672【解析】选B.三阶幻方,是最简单的幻方.将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入,其中有8种排法492,357,816;276,951,438;294,753,618;438,951,276;816,357,492;618,753,294;672,159,834;834,159,672.2.(5分)某体育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,则这人把这种特殊要求的号买全,至少要花 ()360元 720元320元 640元【解题指南】根据题意,依次计算“01至10中三个连号的个数”、“11至20中两个连号的个数”、“21至30中单选号的个数”、“31至36中单选号的个数”,进而由分步乘法计数原理计算可得答案.【解析】选D.从01至10中选3个连续的号共有8种选法;从11至20中选2个连续的号共有9种选法;从21至30中选1个号有10种选法;从31至36中选一个号有6种选法,由分步乘法计数原理知共有8×9×10×6=4320(种)选法,至少需花4320×2=8640(元).3.(5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合AB={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则AB中元素的个数为 ()【解析】选C.A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z}={(x,y)|x=±1,y=0;或x=0,y=±1;或x=0,y=0},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}={(x,y)|x=2,1,0,1,2;y=2,1,0,1,2},AB表示点集.由x1=1,0,1,x2=2,1,0,1,2,得x1+x2=3,2,1,0,1,2,3,共7种取值可能.同理,由y1=1,0,1,y2=2,1,0,1,2,得y1+y2=3,2,1,0,1,2,3,共7种取值可能.当x1+x2=3或3时,y1+y2可以为2,1,0,1,2中的一个值,分别构成5个不同的点,当x1+x2=2,1,0,1,2时,y1+y2可以为3,2,1,0,1,2,3中的一个值,分别构成7个不同的点,故AB共有2×5+5×7=45(个)元素.4.(5分)若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n为“良数”.例如:32是“良数”,因为32+33+34不产生进位现象;23不是“良数”,因为23+24+25产生进位现象.那么小于1000的“良数”的个数为 ()【解析】选D.一位数的“良数”有0,1,2,共3个;两位数的“良数”十位数可以是1,2,3,两位数的“良数”有10,11,12,20,21,22,30,31,32,共9个;三位数的“良数”百位为1,2,3,十位为0时,个位可以是0,1,2,共3×3=9个,百位为1,2,3,十位不是零时,十位个位可以是两位“良数”,共有3×9=27个.根据分类加法计数原理,共有48个小于1000的“良数”.5.(10分)从{3,2,1,0,1,2,3}中任取3个不同的数作为抛物线方程y=ax2+bx+c(a≠0)的系数.设抛物线过原点,且顶点在第一象限.这样的抛物线共有多少条?【解析】抛物线y=ax2+bx+c过原点,且顶点-b2a0=a×分三步,a可以取3,2,1;b可以取1,2,3;c取0.所以满足条件的抛物线的条数为N=3×3×1=9.6.(10分)如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求共有多少种不同的染色方法.【解析】可分为两大步进行,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用分步乘法计数原理即可得出结论.由题设,四棱锥SABCD的顶点S,A,B所染的颜色互不相同,它们共有5×4×3=60(种)染色方法.当S,A,B染好时,不妨设其颜色分别为1,2,3,若C染2,则D可染3或4或5,有3种染法;若C染4,则D可染3或5,有2种染法;若C染5,则D可染3或4,有2种染法.可见,当S,A,B已染好时,C,D还有7种染法,故不同的染色方法有60×7=420(种).【变式备选】将红、黄、绿、黑4种不同的颜色分别涂入图中的五个区域内,要求相邻的两个区域的颜色都不相同,则有多少种不同的涂色方法?【解