极坐标与极坐标方程专题复习

极坐标与极坐标方程专题复习1．（1）【高考江苏卷22】在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．（I）求，的值；（II）求出直线与圆的公共点的极坐标．【答案】（I）；（II）【思绪导引】（I）将A，B点坐标代入即得成果；（II）联立直线与圆极坐标方程，解得成果．【解析】（I）．（II），当时；当时（舍），即所求交点坐标为当．【专家解读】本题考察了极坐标方程及其应用，考察函数与方程思想，考察数学运算学科素养．2【高考全国Ⅱ文理22】在极坐标系中，为极点，点在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为．（I）当时，求及的极坐标方程；（II）当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程．解：（I）由于在C上，当时，．由已知得．设为l上除P的任意一点．在中，经检查，点在曲线上，因此，l的极坐标方程为．（II）设，在中，即．由于P在线段OM上，且，故的取值范围是．因此，P点轨迹的极坐标方程为．3【高考全国Ⅲ文理22】[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）如图，在极坐标系Ox中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．（I）分别写出，，的极坐标方程；（II）曲线由，，构成，若点在M上，且，求P的极坐标．【答案】（I）；（II）P的极坐标为或或或．【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中规定的是弧，因此要注意的方程中的取值范围；(2)根据条件逐一方程代入求解，最终解出点的极坐标．【精确讲析】（I）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，．因此的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为．（II）设，由题设及（I）知：若，则，解得；若，则，解得或；若，则，解得．综上，P的极坐标为或或或．4.【高考全国乙卷文理22】在直角坐标系中，的圆心为，半径为．（1）写出的一种参数方程；（2）过点，作的两条切线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．【解析】（1）由题意，的一般方程为，∴的参数方程为，（为参数）．（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于1可得，解得，∴切线方程为或，将，代入化简得或．5.（江西景德镇·模拟预测（理））在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，，直线的参数方程为（为参数，），直线，垂足为．认为坐标原点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（I）分别写出曲线与直线的极坐标方程；（II）设直线､分别与曲线交于､与､，顺次连接､､､四个点构成四边形，求．【解析】（I）由的参数方程，可得，则，即，∴．由题设知：为，故的极坐标方程为，又，∴为且．（II）由题设知：，若，，联立与：，可得，，联立与：，可得，，∴．∴．6．（云南大理·模拟预测（理））数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）．（I）当，求以极点为圆心，为半径的圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；II）设点P是由（I）中的交点所确定的圆M上的动点，直线，求点P到直线l的距离的最大值．【答案】（I）；（II）．【分析】（I）由可得，然后解出的值即可；（II）将圆和直线l的极坐标方程转化为直角坐标方程，然后可求出答案．【解析】（I）由可得，∴或，∴或，∴，∴，∴交点的极坐标为．（II）由（I）可得圆M的极坐标方程为，转化为直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为，∴点P到直线l的距离的最大值为．7.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.认为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线与直线有且仅有一种公共点.（1）求；（2）设曲线上的两点，且，求的最大值．解（1）直线的一般方程是，曲线的直角坐标方程是，依题意直线与圆相切，则，解得或，由于，因此；（2）如图，不妨设，，则，，因此，因此当，即，时，最大值是．一轨迹问题1.已知曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，点为曲线上的动点，点在轴上的射影为点，且满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）直线的极坐标方程为，点为直线上的动点，求的最小值.【答案】（1）；（2）.解：（1）可得的直角坐标方程为，由已知，设，，.由于，因此，即，由于点在曲线：上，因此，从而点的执迹的方程为.（2）直线的一般方程为，曲线的参数方程为（为参数），设，点到直线距离为，（其中），当时，，因此.2.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，它在点处的切线为直线l.（1）求直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与的交点为P1，P2，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵曲线C的极坐标方程为，∴，∴曲线C的直角坐标方程为，∴，又的直角坐标为（2，2），∴.∴曲线C在点（2，2）处的切线方程为，即直线l的直角坐标方程为.（2），不妨设P1(1，0)，P2(0，-2)，则线段P1P2的中点坐标所求直线斜率为k于是所求直线方程为y+1化为极坐标方程，并整顿得2ρcosθ+4ρsinθ=-3，即ρ3．(·课标Ⅰ，23，10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acost，,y＝1＋asint))(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos.(1)阐明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解：(1)消去参数t得到C1的一般方程x2＋(y－1)2＝a2，C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcos，y＝ρsin代入C1的一般方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin＋1－a2＝0.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0，,ρ＝4cosθ.))若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sincos＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．因此a＝1.4(·课标Ⅱ，22，10分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．【解析】(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝eq\f(4,cosθ).由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ>0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)，ρB>0.由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB面积S＝eq\f(1,2)|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·＝2≤2＋eq\r(3).当α＝－eq\f(π,12)时，S获得最大值2＋eq\r(3).因此△OAB面积的最大值为2＋eq\r(3).5.(·课标Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝kt))(t为参数)，直线l2的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋m，,y＝\f(m,k)))(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的一般方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos＋sin)－eq\r(2)＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．【解析】(1)消去参数t得l1的一般方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的一般方程l2：y＝eq\f(1,k)(x＋2)．设P(x，y)，由题设得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－2），,y＝\f(1,k)（x＋2），))消去k得x2－y2＝4(y≠0)，因此C的一般方程为x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2（cos2θ－sin2θ）＝4，,ρ（cosθ＋sinθ）－\r(2)＝0，))得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－eq\f(1,3)，从而cos2θ＝eq\f(9,10)，sin2θ＝eq\f(1,10).代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，因此交点M的极径为eq\r(5).6.【高考全国3文理22】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于，两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．【答案】（1）；（2）（为参数，）．解析：（1）圆的直角坐标方程为．当时，与圆交于两点．当时，记，则方程为．与圆交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是．（2）的参数方程为（为参数，）．设对应的参数分别为，则，且满足．于是，．又点的坐标满足因此点的轨迹的参数方程是（为参数，）．7.【全国甲卷文理22】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线极坐标方程为．（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为为上的动点，点满足，写出的轨迹的参数方程，并判断与与否有公共点．【答案】（1）；（2）P的轨迹的参数方程为（为参数），C与没有公共点．【解析】（1）由曲线C的极坐标方程可得，将代入可得，即，即曲线C的直角坐标方程为．（2）设，设．，则，即，故P的轨迹的参数方程为（为参数）．曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，则圆心距为，，两圆内含，故曲线C与没有公共点．二距离问题1．(·课标Ⅱ，23，10分)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝eq\r(10)，求l的斜率．解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11，|AB|＝|ρ1－ρ2|＝eq\r(（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2)＝eq\r(144cos2α－44).由|AB|＝eq\r(10)得，cos2α＝eq\f(3,8)，tanα＝±eq\f(\r(15),3)，因此l的斜率为eq\f(\r(15),3)或－eq\f(\r(15),3).·课标Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．解：(1)由于x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，因此C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)措施一：将θ＝eq\f(π,4)代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3eq\r(2)ρ＋4＝0，解得ρ1＝2eq\r(2)，ρ2＝eq\r(2).故ρ1－ρ2＝eq\r(2)，即|MN|＝eq\r(2).由于C2的半径为1，因此△C2MN的面积为eq\f(1,2).措施二：将极坐标方程θ＝eq\f(π,4)化为直角坐标方程为y＝x.圆心C2(1，2)到直线x－y＝0的距离d＝eq\f(|1－2|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴|MN|＝2＝eq\r(2)，∴S△C2MN＝eq\f(1,2)d·|MN|＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\r(2)＝eq\f(1,2).3.已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的一般方程以及曲线的参数方程；（2）过曲线上任意一点作与直线的夹角为的直线，交于点，求的最小值．【答案】：（1）；（2）【解析】：（1）设4．(·课标Ⅰ，22，10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋4t，,y＝1－t))(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为eq\r(17)，求a.解：(1)当a＝－1时，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋4t，,y＝1－t，))消参得x＋4y－3＝0.易得曲线C：eq\f(x2,9)＋y2＝1.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋4y－3＝0，,\f(x2,9)＋y2＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝3，,y1＝0，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝－\f(21,25)，,y2＝\f(24,25)，))∴交点坐标为(3，0)，.(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋4t，,y＝1－t))消参得：x＋4y－a－4＝0.设C上一点坐标为(3cosθ，sinθ)，因此eq\f(|3cosθ＋4sinθ－a－4|,\r(17))≤eq\r(17)，即|5sin(θ＋φ)－a－4|≤17，当－a－4≥0时，5－a－4＝17，∴a＝－16；当－a－4＜0时，－5－a－4＝－17，∴a＝8.∴a＝8或－16.5.(·课标Ⅲ，23，10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin＝2eq\r(2).(1)写出C1的一般方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．解：(1)C1的一般方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(eq\r(3)cosα，sinα)．由于C2是直线，因此|PQ|的最小值即为点P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝eq\f(|\r(3)cosα＋sinα－4|,\r(2))＝eq\r(2)，当且仅当α＝2kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)时，d(α)获得最小值，最小值为eq\r(2)，此时P的直角坐标为.6.【高考江苏】【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为．（I）求两点间的距离；（II）求点到直线距离．【详解】（I）设极点为O．在△OAB中，A（3，），B（，），由余弦定理，得AB=．（II）由于直线l方程为，则直线l过点，倾斜角为．又，因此点B到直线l的距离为．7.在平面直角坐标系中，曲线(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（I）分别求曲线的一般方程和曲线的直角坐标方程；（II）若分别为曲线上的动点，求的最大值．【解析】（I）由于曲线参数方程为，因此，由于，因此的一般方程为．由于曲线的极坐标方程为，即，故曲线的直角坐标方程为，即．（II）设，则到曲线的圆心的距离由于，因此当时，有最大值．因此的最大值为．8.在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），直线．（I）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值；（II）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，两点的距离之积．【解析】（I）设点，则点到直线的距离为，因此当时，，此时．（II）曲线化为一般方程为：，即，直线的参数方程为（为参数），代入化简得：，得，因此．9.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的一般方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点，曲线与曲线的交点为（异于点O）两点，求的值．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）消去参数即可得到的一般方程，将，代入即可得的直角坐标方程；（2）运用直线参数方程的几何意义即求．【解析】（1）由（为参数）可得，∴曲线的一般方程为由，得，∴曲线的直角坐标方程为．（2）易知曲线的参数方程为（t为参数），代入曲线的一般方程中，得．设点A，B对应的参数分别为，∴∴，∴．10.广西·高三月考】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求直线及圆的直角坐标方程；（2）若直线和圆交于，两点，是圆上不一样于，的任意一点，求面积的最大值．【答案】（1）圆的方程为：，直线的方程为；（2）．【解析】（1）由，得：，即．由，得：，即，则，则，即，∴直线的方程为，圆的方程为：；（2）由（1）得：圆的圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离为：，∴，则点到直线距离的最大值为，∴四直线参数方程的几何意义：1.（四川遂宁·模拟预测（理））已知直线过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（I）求的直角坐标方程与的参数方程；（II）若与相交于不一样的两点，，求的值．【解析】（I）曲线C的极坐标方程为，即，将，代入得，即；∴直线过定点，且倾斜角为，则直线的参数方程为，即（为参数）（注：只要能化为的其他形式的参数方程也对！）（II）将直线的参数方程代入，得设方程的两根分别为，，则由根与系数的关系有，∴，故．2.（云南大理·模拟预测（理））在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（I）求曲线的直角坐标方程；（II）已知点，直线与曲线交于两点，与轴交于点，若成等比数列，求直线的一般方程．【解析】（I）由可得，则，由，则，∴曲线的直角坐标方程为；（II）设两点对应的参数分别为，联立直线的参数方程与曲线的一般方程，整顿得，，设点对应的参数为，由可得，由成等比数列可得，则，即，，得，直线的斜率为，∴直线的方程为或3．（新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））在平面直角坐标系中，点，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，，是曲线C的下、上焦点．（I）求曲线C的原则方程和直线的直角坐标方程；II）通过点且与直线垂直的直线l交曲线C于A、B两点，求的值．【解析】（I）解：由得，即，∴，即，∴，∴直线的直角坐标方程为：，即；（II）解：由（I）知，直线l的直角坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），将直线l的参数方程代入曲线C的原则方程可得：，设A、B两点对应的参数分别为，，则，，∴，异号，∴．4.（河南驻马店·模拟预测）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（I）写出直线的一般方程和曲线的直角坐标方程；（II）若点的极坐标为，直线通过点且与曲线相交于，两点，求，两点间的距离的值．【解析】（I）由参数方程可得，消去参数可得直线的一般方程为：，即；即，转化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为；（II）∵的极坐标为，∴点的直角坐标为．∴，直线的倾斜角．∴直线的参数方程为．代入，得．设，两点对应的参数为，，则，∴．5.（广西南宁·模拟预测（理））以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，），曲线C的极坐标方程为．（I）求曲线C的直角坐标方程；（II）设点P的直角坐标为，直线l与曲线C相交于A、B两点，的中点为M，并且，求的值．【解析】（I）∵，∴，∵，∴曲线C的直角坐标方程为；（II）将(t为参数)，代入，得，∴，，得到，即，得，即，即或．6.在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（I）求曲线的一般方程和直线的直角坐标方程；（II）过点，且与直线平行的直线交曲线于，两点，求点到，两点的距离之积．