高等代数选讲课程标准

高等代数选讲课程标准一、课程概况课程名称高等代数选讲课程代码20102102适用专业数学与应用数学开课学期第

7

学期课程性质专业任选课程学时/学分34/2预修课程《数学分析》、《高等代数》、《解析几何》二、课程目标课程目标1：本课程是专业基础课高等代数的深化和提高。通过本课程的学习，使学生对高等代数各个知识模块之间有一个系统的理解和掌握，对该课程中的基本概念、基础知识与基本理论等进行巩固、加深、提高，使学生对所学的高等代数知识能做到触类旁通。课程目标

2：通过本课程的学习，使学生具有更好的空间想象能力，具备更强的计算能力、分析问题解决问题的能力；加强数学的证明能力，进一步培养学生应用数学知识的能力。加强本课程所涉及的抽象思维的重要思想方法的培养，为后续研究生阶段相关学科的学习以及自主学习与职后发展奠定坚实的基础。课程目标

3：了解高等代数的发展历史，提升学生的数学文化素养。初步了解高等代数在中国的发展历史，并利用老一辈代数学家的典型事迹进行恰当的课程思政教育。了解高等代数课程在数学专业中的基础地位和作用，了解高等代数课程在其他科学（如物理学、计算机科学、经济学等）的作用和联系。课程目标

4：培养学生的终身学习和专业发展意识，能在高观点下处理初等代数教学中的相关问题。同时，通过课前预习、课堂启发、课后作业等方式，提升学生的数学思维能力和逻辑推理能力以及学生自主学习与职后发展的能力。三、课程目标与毕业要求的关系

1、课程目标与毕业要求的对应关系毕业要求指标点课程目标学会教学学科素养3.2

掌握数学学科的基本知识、基本原理和基本技能，理解数学学科知识体系的基本思想和方法，具有较强的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等数学学科专业能力。课程目标1课程目标2课程目标3课程目标43.3

了解数学与物理和信息技术等其他相关自然学科的联系，了解数学在人文学科及社会生活中的实践价值。课程目标1课程目标2课程目标3教学能力4.1

能够以教育学、心理学、数学课程教学论等教育教学理论为基础，依据中小学数学课程标准，根据学生的认知发展水平，以学生为中心，明确教学目标及要求，精心钻研教材，合理组织教学内容，进行有效教学设计。课程目标1课程目标2课程目标3课程目标4学会育人综合育人6.1

接受数学学科独有的谨慎细腻，思维严密的训练，能够将数学课堂教学与思政教育紧密结合。能有效掌握教学案例设计、学生情感价值观察和分析、掌握灵活多样化的教学方法。课程目标1课程目标2课程目标3课程目标4学会发展学会反思7.1

具有主动学习新知识、掌握新技能的兴趣和意识，具有终身学习和专业发展意识，能通过不断学习和改进养成自主学习的习惯，并能进行职业生涯规划。课程目标2课程目标42、课程目标与毕业要求的矩阵关系图名称践行师德学会教学学会育人学会发展师德规范教育情怀学科素养教学能力班级管理综合育人学会反思沟通合作高等代数选讲HHHMM高等代数选讲HHMM课程目标

1HH课程目标

2HM课程目标

3HM课程目标

4H注：H

表示高支撑，M

表示中支撑，L

表示低支撑。四、课程教学要求与重难点序号课程内容框架教学要求教学重点教学难点1多项式（1）了解多元多项式；对称多项式；理解代数基本定理。（2）掌握一元多项式的各种运算；多项式的整除性；多项式函数与多项式的根；复数域和实数域上多项式的因式分解。（3）掌握多项式的重因式；多项式的最大公因式；复数域和实数域上多项式的因式分解；有理数域上多项式的可约性及有理根。整除；最大公因式；互素；唯一分解定理；

Eisenstein

判别法。因式分解定理的应用。2行列式（1）了解Laplace定理。（2）熟练掌握n阶行列式的定义、性质和常规计算方法；

Cramer规则。（3）掌握分块矩阵计算行列式的常用技巧以及行列式与方阵之间的关系并能解决相关问题。n阶行列式的计算n阶行列式与方阵之间的关系解决相关问题。3线性方程组（1）了解结式和判别式。（2）掌握矩阵的秩；线性方程组有解的判别法。（3）掌握线性方程组解的结构理论；线性方程组的解法。矩阵的秩的概念及求法；线性方程组有解的判别及求解。线性方程组的有解判别及应用。4矩阵（1）了解分块矩阵的基本理论和应用。（2）熟练掌握逆矩阵；初等矩阵；矩阵乘积的行列式与秩。（3）掌握矩阵初等变换的基本性质和应用。逆矩阵的求法；初等矩阵与初等变换的关系。初等矩阵与初等变换的关系及应用。5二次型（1）了解二次型在其它学科的应用。（2）理解二次型的标准形和典范形。（3）掌握复数域和实数域上二次型的标准形；惯性定理；正定二次型的定义及充要条件。矩阵的合同；求二次型的标准形和典范形；正定二次型的判别。惯性定理；正定矩阵的应用。6线性空间（1）了解线性空间同构的思想。（2）理解线性空间的定义、向量的线性相关性。（3）掌握基、维数、坐标；过渡矩阵；子空间的直和；维数公式；齐次线性方程组的解空间。向量的线性相关性；基与维数的求法；维数公式；直和的充要条件；齐次线性方程组的基础解系。维数公式；线性空间的直和分解。7线性变换（1）了解线性变换的一般理论与思想。（2）理解线性变换的运算；线性变换的定义及其简单性质；不变子空间。（3）掌握矩阵的相似；特征根、特征向量、特征多项式；矩阵的可对角化；哈密尔顿-凯莱定理。线性变换与矩阵的同构对应；不变子空间；特征根与特征向量；矩阵的相似；线性变换的象与核；哈密尔顿-凯莱定理不变子空间；哈密尔顿-凯莱定理；矩阵对角化。8欧氏空间（1）了解空间度量化的一般思想方法。（2）理解欧氏空间的定义及基本性质；向量与子空间的正交；正交补；向量到子空间的距离。（3）掌握正交基；标准正交基和正交化方法；正交变换与正交矩阵；对称变换与实对称矩阵；酉空间和酉变换。Cauahy-Schwarz

不等式；正交基与正交化方法；正交补；正交变换；对称矩阵的标准形。正交变换的几个等价关系、对称变换与实对称矩阵之间的关系。五、课程教学内容、教学方式、学时分配及对课程目标的支撑情况序号课程内容框架教学内容教学方式学时支撑课程目标1多项式一元多项式的整除、最大公因式、因式分解理论、重因式；多项式的根；复系数与实系数多项式的因式分解；有理数域上的多项式。多元多项式的概念；字典排列法；对称多项式；初等对称多项式；对称多项式基本定理。讲授、课堂讨论、课后练习6课程目标1课程目标2课程目标3课程目标42行列式排列的奇偶性；

n阶行列式的定义和性质；余子式与代数余子式的概念；行列式依行依列展开；Vandermonde行列式；Cramer规则；Laplace定理。讲授、课堂讨论、课后练习4课程目标1课程目标2课程目标3课程目标43线性方程组线性方程组的初等变换；系数矩阵和增广矩阵；矩阵的秩；k阶子式；初等变换不改变矩阵的秩；用初等变换求矩阵的秩；线性方程组有解判定定理、线性方程组解的结构理论，线性方程组的解法；结式判别式；二元高次方程组的解法。讲授、课堂讨论、课后练习4课程目标1课程目标2课程目标34矩阵矩阵的运算；可逆矩阵；初等矩阵与初等变换的关系；用初等变换求逆矩阵；矩阵乘积的行列式与秩；分块矩阵的运算与性质。讲授、课堂讨论、课后练习4课程目标1课程目标2课程目标35二次型二次型的标准形；复数域上二次型的标准形；惯性定理；正定矩阵、正定二次型的判别定理。讲授、课堂讨论、课后练习4课程目标1课程目标26线性空间线性空间的定义；线性相关（无关）；子空间；基和维数；维数公式；子空间的直和；过渡矩阵；线性空间的同构；矩阵的行（列）空间；齐次线性方程组的解空间、基础解系；非齐次线性方程组解的结构。讲授、课堂讨论、课后练习6课程目标1课程目标2课程目标3课程目标47线性变换线性变换的定义及其运算；线性变换的象与核；线性变换与矩阵的同构对应；特征多项式、特征根、特征向量及特征子空间；哈密尔顿-凯莱定理；不变子空间与空间分解；线性变换与矩阵可对角化的条件。讲授、课堂讨论、课后练习4课程目标1课程目标28欧氏空间欧氏空间的定义及性质；标准正交基和正交化方法；正交补及其性质；向量到子空间的距离；正交变换与正交矩阵；对称变换与实对称矩阵；实对称矩阵的标准形；酉空间和酉变换。讲授、课堂讨论、课后练习4课程目标1课程目标2六、课程目标与考核内容课程目标考核内容课程目标1：本课程是专业基础课高等代数的深化和提高。通过本课程的学习，使学生对高等代数各个知识模块之间有一个系统的理解和掌握，对该课程中的基本概念、基础知识与基本理论等进行巩固、加深、提高，使学生对所学的高等代数知识能做到触类旁通。多项式的运算及性质、多项式的整除概念及基本性质、最大公因式的概念、多项式互素的定义及性质、不可约多项式的概念及性质、重因式的概念及判别方法、有理系数多项式的有理根的求法、n级行列式的定义及性质、消元法与矩阵的初等行变换解一般线性方程组的方法、n维向量的运算及性质、向量组的线性相关性的有关概念及判定方法、矩阵的秩的求法、矩阵的运算及性质、矩阵的可逆及逆矩阵的相关概念及性质、初等矩阵的定义及用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法、二次型的标准形的求法、正定二次型的定义、性质及判定方法、线性空间的定义、性质与判别方法、维数、基与坐标的定义及求法、基变换与坐标变换公式、线性子空间的定义及性质、子空间的交与和的定义、性质及求法、子空间的直和的定义、性质及判别、线性空间同构的定义及同构映射的性质、线性变换的定义、性质及判别方法、线性变换运算及性质、矩阵相似的定义、线性变换与矩阵的特征值与特征向量的定义、性质及求法、线性变换的值域与核的定义、性质及求法、不变子空间的定义与性质、欧氏空间的定义、性质及判别方法、向量的度量性质、标准正交基的定义、正交矩阵的定义、欧氏空间同构的定义、欧氏空间的子空间的定义及性质。平时测验成绩。课程目标2：通过本课程的学习，使学生具有更好的空间想象能力，具备更强的计算能力、分析问题解决问题的能力；加强数学的证明能力，进一步培养学生应用数学知识的能力。加强本课程所涉及的抽象思维的重要思想方法的培养，为后续研究生阶段相关学科的学习以及自主学习与职后发展奠定坚实的基础。一元多项式定义的理解、多项式函数的本质的理解、综合除法的应用、余数定理、因式分解定理及根的个数定理的应用、复系数与实系数多项式的因式分解定理的应用、艾森斯坦判别法的应用、有理系数多项式有理根的求法、行列式定义及性质的应用、行列式的计算方法、用矩阵的初等行变换解一般的线性方程组、向量组的线性相关性的判定方法、矩阵秩的求法、线性方程组解的结构定理的应用、矩阵乘积的行列式与秩的定理的应用、逆矩阵的求法、分块矩阵的应用、二次型的标准形的求法、线性空间的基、维数及坐标的求法、基变换与坐标变换公式的应用、子空间的判别方法、基扩充定理的应用、维数公式的应用、线性空间的交与和的求法、直和的判定方法、线性变换的运算、矩阵相似性质的应用、线性变换及矩阵可对角化的判别方法、线性变换的值域与核的求法、欧氏空间的标准正交基的求法、欧氏空间的子空间的正交补的求法、实对称矩阵的标准形的求法。平时测验成绩。

3：了解高等代数的发展历史，提升学生的数学文化素养。初步了解高等代数在中国的发展历史，并利用老一辈代数学家的典型故事进行恰当的课程思政教育。了解高等代数课程在数学专业中的基础地位和作用，了解高等代数课程在其他科学（如物理学、计算机科学、经济学等）的作用和联系。一元多项式的基本内容（整除与带余除法定理、多项式的最大公因式、多项式的因式分解、多项式的根）、线性方程组的基本内容、克兰姆法则的应用、向量的线性相关性、矩阵及其运算、线性空间、线性变换的基本性质。矩阵的二次型的基本理论、正定二次型的定义、性质及判定方法、线性空间的基本理论与性质、线性变换运算及性质、矩阵欧氏空间的基本理论及性质、对称变换、对称矩阵。平时测验成绩。课程目标4：培养学生的终身学习和专业发展意识，能在高观点下处理初等代数教学中的相关问题。同时，通过课前预习、课堂启发、课后作业等方式，提升学生的数学思维能力和逻辑推理能力以及学生自主学习与职后发展的能力。一元多项式的定义、多项式的整除与带余除法定理、多项式的最大公因式、多项式的因式分解、多项式的根的定义、克兰姆法则的应用、向量的线性相关性、线性方程组的求解、消元法的理论依据、集合与映射的定义与性质、线性空间的定义、线性变换的定义。平时测验成绩。七、考核方式与评价细则

考核方式比例考核/评价细则课堂出勤10%评价标准：根据学生上课出勤率、课堂讨论和回答问题等综合表现给出成绩。基础分90分；旷课一次扣

10

分，迟到、早退、事假一次扣

5

分；病假、公假、丧假不扣分；旷课三次以上不及格。有效参与讨论并正确回答问题一次加5分，最高100分。平时作业20%评价标准：一个教学班分成两个小组，每次批改其中一个小组的作业。每次作业给出A、B、C、D等级，全部为A计100分；两次及以上为A计90分；一次为A计85分；三次及以上为D计60分；其他80分。在此标准下，少交一次作业扣10分。有效参与讨论并正确回答问题一次加5分，最高100分平时测验10%评价标准：一次平时测验，占百分之十。严格按照《高等代数选讲》平时测验试题参考答案及