复变函数课程标准

复变函数课程标准一、课程概况课程名称复变函数课程代码20101703适用专业数学与应用数学开课学期第5学期课程性质专业必修课程学时/学分68/3预修课程《数学分析》、《高等代数》、《解析几何》二、课程目标课程目标1：学生掌握复变函数中的基本概念、基础知识与基本理论，并会对概念进行举例、区分和判断。学生需要熟练掌握复数与复变函数的基本概念、定理和思想方法，提升学生的专业知识素质，进一步培养学生的分析学功底，为后续课程及其它相关学科的学习奠定知识基础。课程目标2：学生能够理解复变函数课程中重要性质和定理的结论和证明思路，并且可以综合应用复变函数中的性质和定理到实际计算中来解决问题。结合数学分析帮助学生理解复变函数中的部分证明、计算与结论，同时也通过学习复变函数进一步巩固和深入理解、掌握一些数学分析的内容。培养学生严密的数学语言表达能力、抽象的逻辑思维能力、严谨的推理论证能力以及熟练的运算能力，为后续课程的学习和深造打下坚实的分析基础。课程目标

了解复变函数课程的相关历史背景以及国内外最新发展状况，并具有一定的数学文化素养。了解复变函数课程在近（现代数学中的基础地位和作用，以及与相关学科（如概率统计、拓扑学、热力学、电学等）的联系。课程目标4：具有终身学习与持续发展的意识和能力，能够利用复变的相关理，以便能够高屋建瓴地掌握和处理中学数学教材，并能相关的现代数学学科。

三、课程目标与毕业要求的关系1、课程目标与毕业要求的对应关系毕业要求指标点课程目标学会教学学科素养3.1掌握数学学科的基本原理、基础知识、基本方法、基本思想，了解现代数学分支的基本知识和专业发展趋势1233.2善于整合运用数学知识分析问题、解决问题，具备对数学问题进行抽象概括化和逻辑推理的能力，具备良好的数学表达能力1243.3了解数学与物理和计算机等其他相关学科的联系，理解数学在社会生活的实际应用价值34教学能力4.3会用恰当的方法对学生的学习过程、学习进展和学习效果进行多元化评价，并能依据评价结果改进教学，不断提高教学研究能力。12学会育人综合育人6.1接受数学学科独有的谨慎细腻，思维严密的训练，能够将数学课堂教学与思政教育紧密结合。能有效掌握教学案例设计、学生情感价值观察和分析、掌握灵活多样化的教学方法124学会发展学会反思7.1掌握数学教学专业发展规律，具有数学教学反思意识，树立终身学习理念。能够利用反思改进教学手段、针对教育教学工作中的现实需要与问题和国内外学科发展趋势做纵深对比，进行探索和研究，初步具备数学教学研究能力1242、课程目标与毕业要求的矩阵关系图名称践行师德学会教学学会育人学会发展师德规范教育情怀学科素养教学能力班级管理综合育人学会反思沟通合作1.11.21.32.12.22.33.13.23.34.14.24.35.15.25.36.16.26.37.17.27.38.18.28.3复变函数HHLMML复变函数HMML课程目标

1HHMML课程目标

2HHMML课程目标

3ML课程目标

4MLML注：H

表示高支撑，M

表示中支撑，L

表示低支撑。

四、课程教学要求与重难点序号课程内容框架教学要求教学重点教学难点1复数与复变函数（1）学生熟悉复数以及复数的四则运算法则。（2）学生熟练掌握用三角形式、指数形式表示复数以及用二者运算乘法、除法、乘幂运算，熟练掌握复数的求正整数次方根的计算。（3）学生初步理解和掌握复数四则运算以及乘方的几何意义，会用复数完成一些简单几何题的证明。（4）学生了解区域（单连通、多连通）与若尔当曲线的概念，

能用复数方程或不等式表示常见的曲线和区域。（5）学生理解复变函数的基本概念，掌握复变函数极限与连续性。（6）学生了解复平面和无穷远点。用三角形式与指

数形式表示复数以及用二者运算乘除法、乘幂运算、复数的方根、复变函数极限与

连续性。复数运算几何意义、用复数完成几何题的证明。2解析函数（1）学生理解复变函数导数和解析函数的概念，弄清可导和解析之间的关系与区别。（2）学生熟练掌握解析函数的

Cauchy—Riemann

条件，能够运用C-R条件判定函数的解析性，会用C-R条件证明一些解析复变函数的简单性质。（3）学生熟练掌握和运用解析函数的求导与求导公式。（4）学生掌握指数函数、三角函数的定义、运算

、基本性质以及简单映射性质，会运用欧拉公式和复数的指数运算。（5）学生掌握初等多值函数（根式函数、对数函数、一般幂函数、一般指数函数）的定义、运算以及基本性质，了解其多值性。解析函数的

C-R

条件、函数的解析性、初等函数的计算。根式函数、对数函数的单值解析分支、支点。3复变函数的积分（1）学生了解复变函数沿一条逐段光滑的曲线积分的定义，掌握其基本性质和计算方法。（2）

Cauchy

（3）学生理解解析函数在单连通区域内的不定积分概念，以及该条件下积分与路径无关的性质。（4）学生熟练掌握和运用柯西积分公式（包括复周线的柯西积分公式）、高阶导数公式，知道解析函数的无穷次可微性。（5）

，并能应用它们做一些简单的证明题。（6）学生掌握解析函数与调和函数的关系，会利用给定的调和函数（作为某个复变函数的实部或者虚部）构造解析函数。复变函数的曲线积分的计算、柯西积分公式与高阶导数公式、解析函数的构造。积分的路径

相

关

性、复周线的积分计算、解析函数的无穷可微性、理解积分估值公式、柯西不等式、刘维尔定理等并利用这些结论做一些证明题。4解析函数的幂级数表示法（1）学生了解复数项级数的基本概念，掌握绝对收敛、条件收敛、一致收敛性的判别，掌握函数项级数求和与极限、求导、积分交换顺序的条件。解幂级数在收敛域内的内闭一致收敛性与所定义函数的解析性。（3）学生掌握函数

f(z)点解析展开为Taylor级数的方法及收敛半径，牢记指数函数、三角函数等重要初等函数的幂级数展开式，并能熟练运用。（4）学生了解解析函数零点的孤立性，会求零点的阶数。（5）学生掌握惟一性定理、最大（小）模原理，并能应用它们作一些简单的证明题。将解析函数展开成泰勒级数并写出收敛圆、会用惟一性定理、最大模定理做证明题。一般幂级数收敛性、将解析函数展开成泰勒级数并写出收敛圆、利用用惟一性定理、最大模定理证明一些结论、判断零点阶数。5解析函数的洛朗展式与孤立奇点（1）学生理解双边幂级数收敛的概念及收敛圆环，了解双边幂级数的运算及性质。（2）学生理解洛朗级数的概念，会求出一些简单的洛朗级数的收敛域。（3）学生能熟练地求出一些简单函数的洛朗展式。（4）学生熟练掌握孤立奇点的定义与分类，三类孤立奇点的判别方法。（5）学生知道零点与极点关系，熟练掌握极点阶数的判别。（6）学生了解解析函数在无穷远的性质，并知道整函数与亚纯函数等函数特征、分类。解析函数的洛朗展式、孤立奇点及极点阶数的判定。奇点分类、圆环域内解析函数的洛朗级数展开式。6留数理论及应用（包含无穷远点留数的概念

，熟练掌握留数的求法。（2）学生掌握留数定理，能较熟练地运用留数计算闭曲线积分。（3）学生能理解并运用留数定理计算几类实积分。学生理解辐角原理并能应用其做一些简单证明题。留数的计算方法、利用留数计算复变函数在周线上的积分、利用留数定理计算几类实积分。无穷远点的留数计算、利用留数计算复变函数在周线上的积分、将实积分转化为复变函数在周线上的积分并利用留数定理计算该积分。7共形映射解析变换的保域性、保角性、单叶解析变换的共形性；分式线性变换的共形性、保交比性、保圆周（圆）性、保对称性。解析变换与分时线性变换的性质。五、课程教学内容、教学方式、学时分配及对课程目标的支撑情况序号课程内容框架教学内容教学方式学时支撑课程目标1复数与复变函数复数：复数的概念，复数直角坐标的表示、四则运算。讲授、课堂讨论、课后练习214复数的三角表示：复数的模与辐角，复数的三角表示、指数表示，复数的乘法、除法、开方运算，复数在几何上的应用。讲授、课堂讨论、课后练习41234平面上的点集：平面点集的若干概念（内点、开集、闭集、孤立点、区域)，画出简单的平面点集的图形，简单曲线、单连通区域。讲授、课堂讨论、课后练习214复变函数:复变函数的概念，复变函数极限的概念以及性质，复变函数连续的概念以及性质。讲授、课堂讨论、课后练习113复球面与无穷远点：复球面，无穷远点，扩充复平面的几个概念。讲授、课堂讨论、课后练习1132解析函数解析函数的概念：复变函数的导数，复变函数的微分，解析函数的概念，函数解析与可导、可微的区别和联系，解析函数的Cauchy-Riemann条件，运用C-R条件判定函数的解析性。讲授、课堂讨论、课后练习423初等解析函数：指数函数，三角函数的定义、运算、基本性质。讲授、课堂讨论、课后练习2134初等多值函数：对数函数，根式函数，一般幂函数，一般指数函数的定义、运算、基本性质。讲授、课堂讨论、课后练习3133复变函数的积分复积分的概念：复变函数积分的定义以及性质，用曲线的参数方程计算复变函数积分。讲授、课堂讨论、课后练习2123柯西积分定理：闭曲线积分为零的条件，复变函数积分与积分路径无关条件，不定积分，柯西积分定理推广，复周线的柯西积分定理。讲授、课堂讨论、课后练习3123柯西积分公式及其推论：柯西积分公式及应用，解析函数的平均值定理，解析函数的无穷次可微性，柯西积分不等式与刘维尔定理证明及应用。讲授、课堂讨论、课后练习4123解析函数与调和函数的关系：构造解析函数。讲授、课堂讨论、课后练习2134解析函数的幂级数表示法复数项级数：复数项级数的基本概念，绝对收敛、条件收敛，复函数项级数的一致收敛，函数项级数求和与极限、求导、积分交换顺序的条件，解析函数项级数。讲授、课堂讨论、课后练习3123幂级数：幂级数的基本性质，收敛半径，幂级数在收敛域内的内闭一致收敛性与所定义函数的解析性。讲授、课堂讨论、课后练习2123解析函数的Taylor展式：泰勒定理，函数f(z)在点解析展开为Taylor级数的方法及收敛半径，用直接法、间接法把初等函数展成幂级数形式。讲授、课堂讨论、课后练习3123解析函数零点的孤立性及惟一性定理：解析函数零点的孤立性，零点的阶数的判定，惟一性定理证明及应用，最大（小）模原理证明及应用。讲授、课堂讨论、课后练习31235解析函数的洛朗展式解析函数的洛朗展式：双边幂级数收敛的概念、运算及性质、收敛域，求出一些简单函数的洛朗展式。讲授、课堂讨论、课后练习3

13解析函数的孤立奇点：孤立奇点的定义与分类，零点与极点关系，极点阶数的判别。讲授、课堂讨论、课后练习413解析函数在无穷远点的性质：判断无穷远点作为解析函数的奇点的类型。讲授、课堂讨论、课后练习212整函数与亚纯函数的概念：整函数与亚纯函数的概念。讲授、课堂讨论、课后练习1126留数理论及应用留数：孤立奇点（包含无穷远点）留数的定义、留数定理，留数的求法，用留数计算闭曲线积分。讲授、课堂讨论、课后练习313用留数定理计算实积分：讲授、课堂讨论、课后练习512课程目标3辐角原理及其用用：对数留数，辐角原理，鲁歇定理。讲授、课堂讨论、课后练习3127共形映射解析变换的特性：解析变换的保域性、保角性、单叶解析变换的共形性。讲授、课堂讨论、课后练习212分式线性变换：分式线性变换的概念与分解、共形性、保交比性、保圆周（圆）性、保对称性。讲授、课堂讨论、课后练习212课程目标3某些初等函数所构成的共形映射：幂函数、根式函数、指数函数与对数函数构成的共形映射，由圆弧构成的两角形区域的共性映射。讲授、课堂讨论、课后练习212六、课程目标与考核内容课程目标考核内容课程目标

1：学生掌握复变函数中的基本概念、基础知识与基本理论，并会对概念进行举例、区分和判断。学生需要掌握复数域、复平面、复数的模与辐角、复数的乘幂与方根等基本概念，并学会一些复数在几何上的简单应用；掌握复平面上点集的基本概念、复变函数的概念、复变函数的极限与连续性；掌握复变函数的导数与微分、解析函数的概念及其简单性质；掌握柯西-黎曼方程并会用该条件判断函数解析性；掌握初等解析函数中的单值函数与多值函数（多值函数主要包括根式函数与对数函数），并掌握根式函数的单值解析分支、支点、支割线；掌握复变函数积分的概念、简单计算与基本性质；掌握柯西积分定理及其推广（包括推广到复周线情况）、不定积分、柯西积分公式、解析函数的无穷可微性；掌握解析函数与调和函数及其之间的关系；掌握复数项级数、一致收敛的复函数项级数；掌握幂级数敛散性、幂级数收敛半径求法、幂级数和函数的解析性、泰勒定理、泰勒展式求法；掌握解析函数零点孤立性、唯一性与最大模原理；掌握洛朗级数、解析函数在孤立奇点邻域的洛朗展式；掌握解析函数孤立奇点的分类与判断；掌握留数的概念与计算，并掌握利用留数计算实积分；掌握辐角原理与鲁歇定理。提升学生的专业知识素质，为后续课程及其它相关学科的学习奠定知识基础。1复数的概念，复数直角坐标的表示、四则运算，复数的模与辐角，复数的三角表示、指数表示，复数的乘法、除法、开方运算，复数在几何上的应用，平面点集的若干概念（内点、开集、闭集、孤立点、区域)，画出简单的平面点集的图形，简单曲线、单连通区域，复变函数的概念，复变函数极限的概念以及性质，复变函数连续的概念以及性质，复球面，无穷远点，扩充复平面的几个概念，复变函数的导数，复变函数的微分，解析函数的概念，函数解析与可导、可微的区别和联系，解析函数的Cauchy-Riemann条件，运用C-R条件判定函数的解析性，指数函数，三角函数、对数函数，根式函数，一般幂函数，一般指数函数的定义、运算、基本性质，复变函数积分的定义以及性质，用曲线的参数方程计算复变函数积分，闭曲线积分为零的条件，复变函数积分与积分路径无关条件，不定积分，柯西积分定理推广，复周线的柯西积分定理，柯西积分公式及应用，解析函数的平均值定理，解析函数的无穷次可微性，柯西积分不等式与刘维尔定理证明及应用，解析函数与调和函数的关系：构造解析函数，复数项级数的基本概念，绝对收敛、条件收敛，复函数项级数的一致收敛，函数项级数求和与极限、求导、积分交换顺序的条件，解析函数项级数，幂级数的基本性质，收敛半径，幂级数在收敛域内的内闭一致收敛性与所定义函数的解析性，f(z)点解析展开为Taylor半径，用直接法、间接法把初等函数展成幂级数形式，解析函数零点的孤立性，零点的阶数的判定，惟一性定理证明及应用，最大（小模原理证明及应用，双边幂级数收敛的概念、运算及性质、收敛域，求出一些简单函数的洛朗展式，孤立奇点的定义与分类，零点与极点关系，极点阶数的判别，判断无穷远点作为解析函数的奇点的类型，整函数与亚纯函数的概念，（包含无穷远点留数的定义、留数定理，留数的求法，用留数计算闭曲线积分，解析变换的保域性、保角性、单叶解析变换的共形性，分式线性变换的概念与分解、共形性、保交比性、保圆周（圆）性、保对称性，幂函数、根式函数、指数函数与对数函数构成的共形映射，由圆弧构成的两角形区域的共性映射。2、课堂出勤和课堂表现、平时作业等课程目标

2：学生能够理解复变函数课程中重要性质和定理的结论和证明思路，并且可以综合应用复变函数中的性质和定理到实际计算中来解决问题。结合数学分析帮助学生更好理解复变函数中的部分证明、计算与结论，同时也通过学习复变函数进一步巩固和深入理解、掌握一些数学分析的内容。培养学生严密的数学语言表达能力、抽象的逻辑思维能力、严谨的推理论证能力以及熟练的抽象运算能力，为后续课程的学习和深造打下坚实的分析基础。1复数的模与辐角，复数的三角表示、指数表示，复数的乘法、除法、开方运算，复数在几何上的应用，扩充复平面的几个概念，复变函数的导数，复变函数的微分，解析函数的概念，函数解析与可导、可微的区别和联系，解析函数的Cauchy-Riemann条件，运用C-R条件判定函数的解析性，复变函数积分的定义以及性质，用曲线的参数方程计算复变函数积分，闭曲线积分为零的条件，复变函数积分与积分路径无关条件，不定积分，柯西积分定理推广，复周线的柯西积分定理，柯西积分公式及应用，解析函数的平均值定理，解析函数的无穷次可微性，柯西积分不等式与刘维尔定理证明及应用，复数项级数的基本概念，绝对收敛、条件收敛，复函数项级数的一致收敛，函数项级数求和与极限、求导、积分交换顺序的条件，解析函数项级数，幂级数的基本性质，收敛半径，幂级数在收敛域内的内闭一致收敛性与所定义函数的解析性，f(z)点解析展开为Taylor半径，用直接法、间接法把初等函数展成幂级数形式，解析函数零点的孤立性，零点的阶数的判定，惟一性定理证明及应用，最大（小模原理证明及应用，判断无穷远点作为解析函数的奇点的类型，整函数与亚纯函数的概念，等，判断无穷远点作为解析函数的奇点的类型，解析变换的保域性、保角性、单叶解析变换的共形性，分式线性变换的概念与分解、共形性、保交比性、保圆周（圆）性、保对称性，幂函数、根式函数、指数函数与对数函数构成的共形映射，由圆弧构成的两角形区域的共性映射等。2、课堂出勤和课堂表现、平时作业等课程目标了解复变函数课程的相关历史背景以及国内外最新发展状况，并具有一定的数学文化素养。了解复变函数课程在近（现代数学中的基础地位和作用，以及与相关学科（如概率统计、拓扑学、热力学、电学等）的联系。1复数的模与辐角，复数的三角表示、指数表示，复数的乘法、除法、开方运算，复数在几何上的应用，复变函数的概念，复变函数极限的概念以及性质，复变函数连续的概念以及性质，复球面，无穷远点，扩充复平面的几个概念，复变函数的导数，复变函数的微分，解析函数的概念，函数解析与可导、可微的区别和联系，解析函数的Cauchy-Riemann条件，运用C-R条件判定函数的解析性，指数函数，三角函数、对数函数，根式函数，一般幂函数，一般指数函数的定义、运算、基本性质,

复变函数积分的定义以及性质，用曲线的参数方程计算复变函数积分,

闭曲线积分为零的条件，复变函数积分与积分路径无关条件，不定积分，柯西积分定理推广，复周线的柯西积分定理,

柯西积分公式及应用，解析函数的平均值定理，解析函数的无穷次可微性，柯西积分不等式与刘维尔定理证明及应用,

解析函数与调和函数的关系：构造解析函数,

复数项级数的基本概念，绝对收敛、条件收敛，复函数项级数的一致收敛，函数项级数求和与极限、求导、积分交换顺序的条件，解析函数项级数,

幂级数的基本性质，收敛半径，幂级数在收敛域内的内闭一致收敛性与所定义函数的解析性,f(z)点解析展开为Taylor半径，用直接法、间接法把初等函数展成幂级数形式,

解析函数零点的孤立性，零点的阶数的判定，惟一性定理证明及应用，最大（小模原理证明及应用,

双边幂级数收敛的概念、运算及性质、收敛域，求出一些简单函数的洛朗展式,

孤立奇点的定义与分类，零点与极点关系，极点阶数的判别,

（包含无穷远点留数的定义、留数定理，留数的求法，用留数计算闭曲线积分,

分式线性变换的概念与分解、共形性、保交比性、保圆周（圆）性、保对称性2、课堂出勤和课堂表现、平时作业等课程目标

4：具有终身学习与持续发展的意识和能力，能够利用复变的相关理，以便能够高屋建瓴地掌握和处理中学数学教材，并能相关的现代数学学科。1复数的概念，复数直角坐标的表示、四则运算,

复数的模与辐角，复数的三角表示、指数表示，复数的乘法、除法、开方运算，复数在几何上的应用，扩充复平面的几个概念,

复变函数的导数，复变函数的微分，函数解析与可导、可微的区别和联系，解析函数的Cauchy-Riemann条件，运用C-R条件判定函数的解析性,

指数函数，三角函数的定义、运算、基本性质等。2、课堂出勤和课堂表现、平时作业等

七、考核方式与评价细则考核方式比例考核/评价细则课堂出勤10%评价标准：根据学生上课出勤情况（1）全勤

100

分；10（3）迟到、早退、事假一次扣