常微分方程课程标准

常微分方程课程标准

一、课程标准

课程名称常微分方程课程代码20101103适用专业数学与应用数学开课学期第4学期课程性质专业基础课程学时/学分64/3预修课程《数学分析》、《高等代数》、《解析几何》二、课程目标课程目标1：掌握一阶微分方程的基本解法、一阶微分方程解的存在定理、高阶微分方程、线性微分方程组等内容中的基本概念、基本性质与基本定理，熟练掌握常微分方程的基本求解方法，理解常微分方程的知识结构体系，熟悉用常微分方程处理问题的基本思想与方法；提高与培养学生的思维能力和推理能力和计算能力，能够通过常微分方程建模和分析的方法将复杂的问题简单化并最终解决问题，提高学生的计算能力和解题能力。课程目标2：通过本课程的学习和训练，理解本课程基本定理的证明过程，掌握常微分方程的建模方法和基本求解方法，训练学生的抽象思维、逻辑推理能力、计算能力以及严谨的数学语言表达能力；为学习其它数学理论，如《数学建模》、《实变函数》、《偏微分方程》和《数值分析》等后续课程奠定系统的理论基础。课程目标3：通过本课程的学习和训练，极大的提高计算与逻辑思维能力，培养学生运用《常微分方程》知识进行建模的综合能力及分析和解决实际问题的能力，提高学生发散思维的能力，能够用联系与发展的观点对待不同的课程；初步具有阅读文献的能力，为毕业论文的撰写与今后从事本专业教学工作和研究工作的初步能力打下坚实的基础。课程目标4：通过本课程的学习，提高学生的数学素养与人文素养。通过数学的严格规范训练，养成严谨的科学态度、求实的学风、独立思考的习惯，使学生了解与《常微分方程》理论相关的数学发展历史，通过课前预习、课堂引导和启发、课后作业、小组沟通交流等方式激发学生探索与求知的欲望，同时培养学生自主学习与职后发展的能力。三、课程目标与毕业要求的关系1、课程目标与毕业要求的对应关系毕业要求指标点课程目标学会教学学科素养3.1

掌握数学学科的基本原理、基础知识、基本方法、基本思想，了解现代数学分支的基本知识和专业发展趋势。课程目标1课程目标2课程目标3课程目标43.2

善于整合运用数学知识分析问题、解决问题，具备对数学问题进行抽象概括化和逻辑推理的能力，具备良好的数学表达能力。课程目标1课程目标2课程目标3课程目标4教学能力4.2

具备扎实的教学基本功，熟练掌握现代信息技术，积极采用启发式、案例式、合作式、研讨式等教学方法，准确、生动地向学生传授知识，实施教学。课程目标1课程目标2课程目标3课程目标44.3

会用恰当的方法对学生的学习过程、学习进展和学习效果进行多元化评价，并能依据评价结果改进教学，不断提高教学研究能力。课程目标1课程目标2课程目标3课程目标4学会育人综合育人6.1

接受数学学科独有的谨慎细腻，思维严密性的训练，能够将数学课堂教学与思政教育紧密结合。能有效掌握教学案例设计、学生情感价值观察和分析、掌握灵活多样化的教学方法。课程目标1课程目标2课程目标36.2深入了解中学生的身心特点，开展多样化的主体班级活动，将德育与智育紧密结合，增强学生的民族自豪感，树立文化自信。课程目标3课程目标4学会发展学会反思7.1

掌握数学教学专业发展规律，具有数学教学反思意识，树立终身学习理念。能够利用反思改进教学手段、针对教育教学工作中的现实需要与问题和国内外学科发展趋势做纵深对比，进行探索和研究，初步具备数学教学研究能力。课程目标1课程目标2课程目标3课程目标47.2

具有批判性思维与独立思考能力，掌握反思笔记、观察、行动、叙事分析等反思教学的基本方法和技能。课程目标2课程目标3课程目标47.3

能够创设数学教学实践情景，通过自我反思，初步具备发现自身问题、进行自我诊断、完成自我提升的能力。课程目标1课程目标2课程目标3课程目标4沟通合作8.1

掌握小组沟通交流方式方法，对于共同问题勇于担当，能够通过积极交流、反思分享等方式达到有效沟通，实现小组协调分工。课程目标1课程目标2课程目标3课程目标42、课程目标与毕业要求的矩阵关系图名称践行师德学会教学学会育人学会发展师德规范教育情怀学科素养教学能力班级管理综合育人学会反思沟通合作课程目标1HMHHMMHM课程目标2HMHHHMLMM课程目标3MHHMMMHMMH课程目标4LLMMMHMHH四、课程教学要求与重难点序号课程内容框架教学要求教学重点教学难点1常微分方程模型及微分方程的基本概念具备能够利用微分方程来建立一些简单的数学模型的能力，并在此基础上理解微分方程的一些基本概念。微分方程的阶、常微分方程与偏微分方程、线性微分方程、非线性微分方程、微分方程的通解与特解、微分方程方程的初始条件与初值问题、积分曲线等基本概念。微分方程数学模型的建立。2一阶微分方程的初等解法熟练掌握变量分离方程以及可化为变量分离方程的一些方程类型的求解方法；掌握利用常数变易法求解非齐次线性微分方程的通解；掌握Bernoulli

方程的求解方法；掌握恰当微分方程求解方法以及非恰当微分方程的积分因子的概念及求方法；掌握四种类型的一阶隐式微分方程的求解方法。变量分离方程、齐次方程、非齐次线性方程、Bernoulli

方程、恰当方程、四种特殊情况下的一阶隐式方程的解法及一些特殊情况下积分因子的求法。Bernoulli

方程的求解方法、具有积分因子的非恰当方程求解方法、四种特殊情况下的一阶隐式方程的求解方法。3一阶微分方程的解的存在定理掌握一阶微分方程的一般理论，包括解的存在唯一性定理、解的延拓概念、解对初值的连续性和可微性定理。会用皮卡的逐步迭代法求一阶微分方程的近似解并能够进行误差估计。解的存在唯一性定理的理解和证明，初值问题解的存在区间及误差估计、逐次逼近解的计算。用Picard迭代证明解的存在唯一性定理的证明过程。4高阶微分方程掌握高阶线性微分方程的一般理论；掌握常系数非齐次线性方程的解法；掌握欧拉方程的解法；掌握可降阶的高阶方程的解法；理解质点的振动和第二宇宙速度等力学原理；理解微分方程的幂级数解法。高阶线性微分方程初值问题的存在唯一性定理、线性相关、线性无关、Wronsky

行列式的定义、高阶齐线性微分方程的叠加原理、线性相关函数组与

Wronsky

行列式的关系、高阶齐线性微分方程的

n

个线性相关解与

Wronsky

行列式的关系、高阶齐线性微分方程的基本解组的存在性定理、高阶齐线性微分方程的通解结构定理、高阶非齐线性方程与对应的齐线性微分方程的解的关系、高阶非齐线性方程通解结构定理及常数变易法。高阶线性微分

方程的一般理

论、常数变易

法、可降阶的高阶方程的解法。5线性微分方程组掌握一阶线性微分方程组的解的存在唯一性定理；会将高阶线性微分方程转化成一阶线性微分方程组并进一步掌握高阶线性微分方程的解的存在唯一性定理；掌握一阶线性微分方程组的一般理论；掌握常系数一阶线性微分方程组的求解方法。齐线性微分方程组的叠加原理、向量函数组线性相关、线性无关、Wronsky

行列式的定义、线性相关向量函数组与

Wronsky

行列式的关系、齐线性微分方程组的

n

个线性相关解与

Wronsky

行列式的关系、齐线性微分方程组的基本解组的存在性定理、齐线性微分方程组的通解结构定理、解矩阵和基解矩阵的性质、非齐线性方程组与对应的齐线性微分方程组的解的关系、非齐线性方程组通解结构定理及常数变易法。线性微分方程

组的一般理论、常系数齐次线

性微分方程组

的系数矩阵的

特征根有重根

时，基解矩阵的求解方法。常系数非齐次线性

微分方程组满

足初值条件的

解的求解方法。

五、课程教学内容、教学方式、学时分配及对课程目标的支撑情况

序号课程内容框架教学内容教学方式学时支撑课程目标1微分方程概述介绍微分方程理论发展经历了三个过程：求微分方程的解、定性理论与稳定性理论、微分方程的现代分支理论；介绍几个常见的微分方程模型讲授、小组合作4课程目标1课程目标3课程目标4微分方程的基本概念：

常微分方程与偏微分方程、阶、

线性与非线性方程、

通解与特解、通解与特解、

微分方程的定解问题、积分曲线与向量场讲授、课堂讨论2课程目标1课程目标42一阶微分方程的初等积分法变量分离方程与可化为变量分离方程的类型讲授、课堂讨论2课程目标1课程目标2线性方程与常数变易法、

伯努利方程的解法、其他可化为线性方程的方程讲授、PPT

辅助、课堂讨论4课程目标1课程目标2恰当方程的解法、积分因子、积分因子的求法讲授、PPT

辅助、课堂讨论

6课程目标1课程目标2课程目标3一阶隐式微分方程及其参数表示讲授、PPT

辅助、课堂讨论4课程目标1课程目标23一阶微分

方程的解的存在性定理解的存在唯一性定理与逐步逼近法、

解的误差估计讲授、探究、课堂讨论4课程目标1课程目标2课程目标4解的延拓定理；

解对初值的连续性定理和可微性定理讲授、探究、课堂讨论6课程目标1课程目标2课程目标3课程目标44高阶微分方程线性方程的一般理论：

线性齐次与非齐次方程、线性齐次方程解的性质、

线性齐次方程解的结构定理、

线性非齐次方程解的结构定理、常数变易法讲授、PPT

辅助、课堂讨论6课程目标1课程目标2课程目标3线性方程的复值解、

常系数线性方程的解法、

特征方程、欧拉(Euler)

方程的解法、常数非齐次线性方程解法：

比较系数法与拉普拉斯变换法讲授、探究、PPT

辅助、小组合作6课程目标1课程目标2课程目标4高阶方程的降阶法、

二阶线性方程的幂级数解法讲授、PPT

辅助、课堂讨论4课程目标1课程目标2课程目标3课程目标45线性方程组线性方程组的矩阵表示、

解的存在唯一性定理、逐步逼近法讲授、PPT

辅助、课堂讨论4课程目标1课程目标3线性方程组的一般理论：

齐次方程组解的性质、解的结构、

伏朗斯基行列式、基解矩阵、非齐次方程组解的性质、解的结构、

常数变易法讲授、PPT

辅助、课堂讨论6课程目标1课程目标2课程目标4矩阵指数

expA

的定义和性质、

常系数线性齐次方程组实基解矩阵的方法之

一、

常系数线性齐次方程组实基解矩阵的方法之二讲授、PPT

辅助、课堂讨论6课程目标1课程目标2课程目标3课程目标4

六、课程目标与考核内容课程目标考核内容评价依据课程目标-1：掌握一阶微分方程的基本解法、一阶微分方程解的存在定理、高阶微分方程、线性微分方程组等内容中的基本概念、基本性质与基本定理，熟练掌握常微分方程的基本求解方法，理解常微分方程的知识结构体系，熟悉用常微分方程处理问题的基本思想与方法；提高与培养学生的思维能力和推理能力和计算能力，能够通过常微分方程建模和分析的方法将复杂的问题简单化并最终解决问题，提高学生的计算能力和解题能力。(支撑毕业要求指标点

3.1,3.2，4.2，4.3，6.1，7.1，7.3，8.1)1、微分方程的阶、常微分方程与偏微分方程、线性微分方程、非线性微分方程、微分方程的通解与特解、微分方程方程的初始条件与初值问题、积分曲线、恰当方程与积分因子、线性相关、线性无关、Wronsky（朗斯基）行列式、矩阵指数、基解矩阵等基本概念；2、变量分离方程、齐次方程、非齐次线性方程、Bernoulli

方程、恰当方程、四种特殊情况下的一阶隐式方程的解法及一些特殊情况下积分因子的求法、高阶非齐线性方程的常数变易法、高阶常系数齐次线性方程的待定指数函数法和

Euler

方程的解法、求解高阶非齐次线性方程类型的比较系数法、高阶方程的降阶法;3、矩阵指数

expA

及exp(At)的计算方法、当系数矩阵

A

具有

n

个线性无关特征向量时,

基解矩阵的计算、当系数矩阵A

没有

n

个线性无关特征向量时,

基解矩阵的计算方法（空间分解）、利用

Jordan

标准型以及Hamilton-Cayley

定理计算基解矩阵。1、出勤、课堂表现和平时作业的完成情况；2、平时测验成绩；3、期末考试成绩。课程目标-2：通过本课程的学习和训练，理解本课程基本定理的证明过程，掌握常微分方程的建模方法和基本求解方法，训练学生的抽象思维、逻辑推理能力、计算能力以及严谨的数学语言表达能力；为学习其它数学理论，如《数学建模》、《实变函数》、《偏微分方程》和《数值分析》等后续课程奠定系统的理论基础。(支撑毕业要求指标点3.1，3.2，4.2，4.3，6.1，7.1，7.2，7.3，8.1)1、一阶微分方程成为恰当方程的充要条件、一阶微分方程解的存在唯一性定理、高阶线性微分方程初值问题的存在唯一性定理、线性相关、线性无关、Wronsky

行列式的定义、高阶齐线性微分方程的叠加原理、线性相关函数组与

Wronsky

行列式的关系、高阶齐线性微分方程的

n

个线性相关解与

Wronsky

行列式的关系、高阶齐线性微分方程的基本解组的存在性定理、高阶齐线性微分方程的通解结构定理、高阶非齐线性方程与对应的齐线性微分方程的解的关系、高阶非齐线性方程通解结构定理、齐线性微分方程组的叠加原理、向量函数组线性相关、线性无关、Wronsky

行列式的定义、线性相关向量函数组与

Wronsky

行列式的关系、齐线性微分方程组的

n

个线性相关解与

Wronsky

行列式的关系、齐线性微分方程组的基本解组的存在性定理、齐线性微分方程组的通解结构定理、解矩阵和基解矩阵的性质、非齐线性方程组与对应的齐线性微分方程组的解的关系、非齐线性方程组通解结构定理；1、出勤、课堂表现和平时作业的完成情况。2、平时测验成绩；3、期末考试成绩。课程目标-3：通过本课程的学习和训练，极大的提高计算与逻辑思维能力，培养学生运用《常微分方程》知识进行建模的综合能力及分析和解决实际问题的能力，提高学生发散思维的能力，能够用联系与发展的观点对待不同的课程；初步具有阅读文献的能力，为毕业论文的撰写与今后从事本专业教学工作和研究工作的初步能力打下坚实的基础。(支撑毕业要求指标点

3.1，3.2，4.2，4.3，6.1，6.2，7.1，7.2，7.3，8.1)1、综合本课程知识解决相关数学问题；2、综合本课程知识分析和解决诸如物理学（如三大宇宙速度、电磁振荡）、人口学（如人口增长马尔萨斯模型）、经济学、生物数学（如生物种群灭绝时间问题）、流行病学（如传染病传播模型）等方面的应用实际问题；1、出勤、课堂表现和平时作业的完成情况。2、课程论文成绩；3、期末考试成绩。课程目标-4：通过本课程的学习，提高学生的数学素养与人文素养。通过数学的严格规范训练，养成严谨的科学态度、求实的学风、独立思考的习惯，使学生了解与《常微分方程》理论相关的数学发展历史，通过课前预习、课堂引导和启发、课后作业、小组沟通交流等方式激发学生探索与求知的欲望，同时培养学生自主学习与职后发展的能力。(支撑毕业要求指标点

3.1，3.2，4.2，4.3，6.2，7.1，7.2，7.3，8.1)1、了解与本课程相关的著名数学家的生平及贡献（如牛顿、莱布尼兹、伯努利家族、欧拉、刘维尔、拉普拉斯、李雅普诺夫、希尔伯特等）,课后阅读《古今数学思想》、《数学的内容意义和方法》；2、自习本课程教材第六、七章；1、出勤、课堂表现和平时作业的完成情况；2、平时测验、或课程论文成

绩；3、展示课外阅读笔记或读后

感。七、考核方式与评价细则

考核方式比例考核/评价细则课堂出勤10%评价标准：根据学生上课出勤情况（1）全勤

100

分；（2）旷课一次扣

10

分；（3）迟到、早退、事假一次扣

5

分；（4）病假、公假、丧假不扣分；（5）旷课三次以上不及格。平时作业10%评价标准：根据学生提交的作业情况每个班按单双号分成两个小组，每次批改一个小组的作业，根据学生作业完成情况给出

A+(全对且字迹工整)、A(全对)、B(错一个)、C(错两个及以上)四个等级，

一学期一个学生大约上交

12次作业，至少批改

6

次。(1)

全部为

A+计

100

分；(2)

两次及以上

A+，90

分；(3)

一次及以上

A+，85

分；(4)

一次及以上

A，80

分；(5)

其他

70

分；在