函数与极限的概念课件

第一章函数与极限函数—微积分的研究对象极限的概念无穷小量与无穷大量极限的性质两个重要极限函数的连续性第一章函数与极限函数—微积分的研究对象§1函数

----变量相依关系的数学模型一、函数的概念例

圆的面积依赖于圆的半径,关系为

（映射说）设是一个数集，是一个确定的对应关系。对于中的任意一个元素，通过都有唯一的实数与之对应，则称为到内的函数，称为在处的函数值。称为自变量；称为因变量；称为该函数的定义域；该函数的值域为定义§1函数----变量相依关系的数学模型一、几点注意:1.函数的三要素：定义域、对应法则和值域2.三要素中关键是对应规则是相同的函数3.自然定义域几点注意:1.函数的三要素：定义域、对应法则和值域2.三要素二、特殊函数:分段函数例5

（符号函数）例4

（绝对值函数）二、特殊函数:分段函数例5（符号函数）例4（绝对值函三、函数的性质1.奇偶性(1).对称区间(2).图形特征(3).运算奇函数偶函数三、函数的性质1.奇偶性(1).对称区间(2).图形例：(4).函数的整体性质。例：(4).函数的整体性质。2.单调性小的仍然小------单增小的反而大------单减(1).与区间有关同一函数在不同区间单调性未必相同(2).高等数学中将利用导数证明函数的单调性2.单调性小的仍然小------单增小的反而大-----例：不减不增例：不减不增1、复合函数四复合函数已知1、复合函数四复合函数已知例如例如

已知函数的值域属于函数的定义域，则函数就称为函数与的复合函数，其中称为中间变量。定义3已知函数注意（1）中间变量作为自变量的定义域与作为因变量的值域必须相交，否则没有意义。例如函数没有意义。（2）复合函数是高等数学中的最重要的基础概念。（3）一般地，。注意（1）中间变量作为自变量的定义域与作为因变量例7函数的定义域为，求函数的定义域。解：所以思考：已知函数的定义域为，求函数的定义域。由题可知例7函数的定义域为例8已知求和解：例8已知求函数与极限的概念课件例9已知函数，求及（变量替换法）因此令，则解：所以例9已知函数例10分解下列函数：解：或所以例10分解下列函数：解：或所以基本初等函数(五大类)：2、初等函数---微积分的主要研究对象幂函数y

x

(

R是常数);指数函数y

a

x(a

0且a

1);对数函数

y

loga

x(a

0且a

1),三角函数y

sinx,y

cosx…反三角函数y

arcsinx,y

arccosx…基本初等函数(五大类)：2、初等函数---微积分的主要研究对初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算（加、减、乘、除）和/或复合运算所得到的函数。非初等函数：分段函数、隐函数、积分上限函数。初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算（加、减、乘、除）§２极限

----高等数学的重要概念数列极限函数极限数列的定义： 按照一定顺序排列的可列个数：成为数列，记做。§２极限----高等数学的重要概念数列极限数一、数列极限示例例1例4例3例2一、数列极限示例例1例4例3例2数列极限的定性描述

二、数列极限的定义

给定数列,当自变量(下标)无限增大时,通项

无限趋近于常数则称常数为数列的极限

,即或定义1数列极限的定性描述二、数列极限的定量描述

（数列极限）给定数列，对任意的正数，存在正整数，当时，有则称常数为数列的极限,或数列收敛于即定义2数列极限的定量描述例6例5常数列的极限仍是该常数

例7当时，有例6例5常数列的极限仍是该常数定理1

（数列极限的四则运算）如果，则三、数列极限的四则运算定理1（数列极限的四则运算）三、数列极限的四则运算推论

运算法则本质上是加