七年级数学上册培优专题11 线段的动点问题-解析版

/培优专题11线段的动点问题【专题精讲】1.总体来讲,解决数轴上的动点问题分为两步:(1)用未知数表示动点;(2)结合数轴,列方程.2.具体来讲,要注意以下几个问题:(1)表示动点:用未知数表示动点，常常把运动时间设为t,把握动点的出发点,运动方向和运动速度,这三个条件,例如:点A从表示1的点M出发,向右运动,速度是3个单位长度每秒,则动点A表示为:1+3t;.点B从表示-2的点N出发,向左运动,速度是2个单位长度每秒,则动点B表示为:-2-2t;(2)求中点:利用中点公式即可;(3)求距离:数轴上,表示两点的距离常常用右边的数减去左边的数,例如,上题动点A和B之间的距离是:(1+3t)-(-2-2t)=5t+3;(4)列方程:常见等量关系:一是行程中的相遇追及问题,二是线段间的和差倍分关系;(5)易错点:注意动点问题的分类讨论.类型一：线段动点与线段求值问题1．（2022·山东青岛·期末）如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒．(1)当时，①________cm；②求线段CD的长度．(2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度．【答案】(1)①；②(2)或【分析】（1）①根据速度乘以时间等于路程，可得答案；②根据线段的和差，可得BD的长，根据线段中点的性质，可得答案；（2）根据速度乘以时间等于路程，及线段的和差，可得AB的长．（1）解：①当时，；故答案为：4②∵，，∴．∵C是线段BD的中点，∴．（2）解：∵B是线段AD上一动点，沿以2m/s的速度往返运动，∴当点B沿点A→D运动时，点B沿点D→A运动时，∴综上所述，（）或（）【点睛】本题考查两点间的距离，利用线段中点的性质及线段的和差得出AB与BD的关系是解题关键．2．（2022·全国·七年级专题练习）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．(1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC＋PD＝_________cm；②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP∶PB＝_________；(2)若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①先计算BD，PC的长度，再计算AC+PD；②设运动时间为：秒，则，利用中点的性质表达出：，即可得出答案；（2）依题意得出，，再由和，即可得出AP的长度．（1）①依题意得：，∴，故答案为：；②设运动时间为秒，则∵当点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，∴∴故答案为：；（2）设运动时间为秒，则，∴，∵，∴，∵∴∴．【点睛】此题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差，中点的性质，掌握线段之间的数量关系是解题的关键．3．（2022·广东江门·七年级期末）如图，已知长方形ABCD的长米，宽米，x，y满足，一动点P从A出发以每秒1米的速度沿着运动，另一动点Q从B出发以每秒2米的速度沿运动，P，Q同时出发，运动时间为t．(1)______________，______________．(2)当时，求的面积；(3)当P，Q都在DC上，且PQ距离为1时，求t的值【答案】(1)5，4(2)平方米(3)【分析】（1）根据绝对值和乘方的非负性，即可求解；（2）根据题意得：当t=4.5时，点P在CD上，DP=0.5米，点Q刚好到达点D处，可得米，再由，即可求解；（3）当P，Q都在DC上，可得，然后分两种情况讨论：当P左Q右时，当Q左P右时，即可求解．（1）解∶∵，∴，∴x=5，y=4，故答案为：5，4；（2）解：当t=4.5时，P走过的路程为4.5米，此时点P在CD上，DP=0.5米，Q走过的路程为9米，刚好到达点D处，∴米，∴平方米；（3）解：点P在DC上，，点Q在DC上，，∴，当P左Q右时，，，∴，∴，解得：当Q左P右时，，，∴，∴，解得，不符题意，舍去．综上，满足题意的．【点睛】本题主要考查了动点问题，涉及绝对值和平方式的非负性，三角形面积的求解，解题的关键是关键题意用时间t表示出线段长度，列式求出t的值．4．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：．(1)直接写出：____________，_____________；(2)若，当点C、D运动了，求的值；(3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系．【答案】(1)1，3(2)8cm(3)或【分析】（1）根据绝对值的非负性得出a-1=0，b-3=0，求解即可；（2）当C、D运动时，，，结合图形求解即可；（3）分两种情况：当点N在线段上时；当点N在线段的延长线上时；利用线段间的数量关系求解即可．（1）解：∵|a−1|+|b−3|=0∴a-1=0，b-3=0，∴a=1，b=3，故答案为：1；3；（2）当C、D运动时，，，∴．（3）当点N在线段上时，∵，又∵，∴，∴．当点N在线段的延长线上时，∵，又∵，∴．综上所述，或．【点睛】题目主要考查绝对值的非负性及点的运动，线段间的数量关系等，理解题意，根据图象得出线段间的数量关系是解题关键．类型二：线段动点与判断说理问题5．（2022·陕西咸阳·七年级期末）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点．(1)如图1，当AC＝4时，求DE的长．(2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根据题意求出BC的长度，然后由E为BC的中点求出BE的长度，最后即可求出DE的长；（2）由题意可得，由F为AD的中点和E为BC的中点表示出，代入，即可求出EF长．（1）∵AB＝16，CD＝2，AC＝4，∴，,∵E为BC的中点，∴，∴；（2）线段EF的长度不会发生变化，，∵AB＝16，CD＝2，∴，∵F为AD的中点，E为BC的中点，∴，∴．【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系．6．（2022·全国·七年级课时练习）如图，在直线l上顺次取A、B、C三点，已知，点M、N分别从A、B两点同时出发向点C运动．当其中一动点到达C点时，M、N同时停止运动．已知点M的速度为每秒2个单位长度，点N速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒．(1)用含t的代数式表示线段的长度为________；(2)当t为何值时，M、N两点重合?(3)若点Р为中点，点Q为中点．问：是否存在时间t，使长度为5?若存在，请说明理由．【答案】(1)2t(2)20(3)30或50【分析】（1）由点M的速度为2即可得出答案；（2）根据题意可得出，当M、N两点重合时，根据线段之间的数量关系即可列出关于t的等式，解出t即可；（3）根据题意可得：，，且．由此可求出．再根据或，即可列出关于t的等式，解出t即可．（1）∵点M的速度为每秒2个单位长度，∴．故答案为：；（2）根据题意可知．当M、N两点重合时，有，解得：．故t为20时，M、N两点重合；（3）根据题意可得：，，且．∴．∴或，即或解得：或．故存在时间t，使长度为5，此时t的值为30或50．【点睛】本题考查与线段有关的动点问题，线段的和与差，与线段中点有关的计算以及解一元一次方程的实际应用．根据题意找到线段间的数量关系，列出等式是解题关键．7．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．(1)P在线段AB上运动，当时，求x的值．(2)当P在线段AB上运动时，求的值．(3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由．【答案】(1)；(2)为定值24；(3)．【分析】（1）根据PB=2AM建立关于x的方程，解方程即可；（2）将BM=24-x，PB=24-2x代入2BM-BP后，化简即可得出结论；（3）利用，，，，再根据MN=PM-PN即可求解．（1）解：∵M是线段AP的中点，∴，，∵，∴，解得．（2）解：∵，，，∴，即为定值24．（3）解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点的右侧．∵，，，，∴，所以MN的长度无变化是定值．【点睛】本题是动点问题，考查了两点间的距离，解答的关键是用含时间x的式子表示出各线段的长度．8．（2022·全国·七年级课时练习）如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒．(1)当t＝1时，PQ＝cm；(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？(3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)2.5(2)t为2或时，点C为线段PQ的中点(3)存在，PM的长度为3cm或1cm，理由见解析【分析】（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由即可求出PQ的长；（2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t的值即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出t的值即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出t的值即可．最后舍去不合题意的t的值即可．（3）同理（2）可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CM的长度，再根据，求出即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出即可．最后根据判断所求PM的代数式中是否含t即可判断．（1）解：当时，∵∴，∴．故答案为：2.5．（2）∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，∴．∵∴．①当Q由C往B第一次运动时，即时，此时，，∴，∵点C为线段PQ的中点，∴，即，解得：；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，此时，，∴，解得：，不符合题意舍；③当Q由C往B第二次运动时，即时，此时，，∴，解得：；综上可知，t为2或时，点C为线段PQ的中点；（3）根据（2）可知．∵点M是线段CQ的中点，∴．①当Q由C往B第一次运动时，即时，此时，．∵，∴，∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意．②当Q由B往C点第一次返回时，即时，此时，，∴，∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意；③当Q由C往B第二次运动时，即时，此时，，∴，∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意．综上可知PM的长度为3cm或1cm．【点睛】本题考查线段的和与差，线段的中点的性质，与线段有关的动点问题．利用数形结合的思想是解答本题的关键．类型三：线段动点与存在性问题9．（2021·山东师范大学第二附属中学七年级期末）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点从左到右顺次为A，B，C，其中b是最小的正整数，a在最大的负整数左侧1个单位长度，BC=2AB．（1）填空：a=，b=，c=（2）点D从点A开始，点E从点B开始，点F从点C开始，分别以每秒1个单位长度、1个单位长度、4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F追上点D时停止动，设运动时间为t秒．试问：①当三点开始运动以后，t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？②F在追上E点前，是否存在常数k，使得的值与它们的运动时间无关，为定值．若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）-2，1，7；（2）①t=1或t=；②k=-1【分析】（1）根据有理数的性质，A、B、C三点位置，数轴上两点的距公式及点的平移规律回答即可；（2）①分E是DF的中点和点F是DE的中点两种情况计论；②先用含ｔ的代数式表示，，由3+3k=0求出k问题即可求解【详解】解：（1）∵最小正数为1．最大的负整数为小-1，a在最大的负整数左侧1个单位长度∴点A表示的数a为-1-1=-2，点B表示的数b为1，∴AB=1-（-2）=3∵，∴点C表示的数为c=1+6=7，故答案为：-2，1，7；（2）①依题意，点F的运动距离为4t，点D、E运动的距离为t,∴点D、E、F分别表示的数为-2-t，1-t，7-4t,当点F追上点D时，必将超过点B，∴存在两种情况，即DE=EF和DF=EF，如图，当DE=EF，即E为DF的中点时，，解得，t=1，如图，当EF=DF，即F为DE中点时，，解得t=，综上所述，当ｔ=１秒和ｔ＝时，满足题意．②存在，理由：点D、E、F分别表示的数为-2-t，1-t，7-4t,如图，F在追上E点前，，，，当与t无关时，需满足3+3k=0，即k=-1时，满足条件．【点睛】本题考查了数有理数的性质，数轴上点与数的对应关系及两点的距离，点的平移及线段的中点及分类讨论思想，正确理解点的运动与点的平移的关系是解本题的关键．10．（2021·河北唐山·七年级期中）如图，已知线段AB，按下列要求完成画图和计算：（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，如果点D为线段BC的中点，且AB＝2，求线段AD的长度；（3）在以上的条件下，若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，是否存在某时刻t，使得PB＝PA﹣PC？若存在，求出时间t：若不存在，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）时间t为2．【分析】（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB即可；（2）在（1）的条件下，如果点D为线段BC的中点，且AB＝2，即可求线段AD的长度；（3）在以上的条件下，若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，是否存在某时刻t，使得PB＝PA﹣PC？即可求出时间t．【详解】解：（1）如图所示：延长线段AB到点C，使BC＝3AB；（2）∵AB＝2，∴BC＝3AB＝6，∴AC＝AB+BC＝8，∵点D为线段BC的中点，∴BD＝BC＝3，∴AD＝AB+BD＝5．答：线段AD的长度为5；（3）点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，则PB＝|t﹣2|，PA＝t，PC＝8﹣t，PB＝PA﹣PC即|t﹣2|＝t﹣（8﹣t）解得t＝2或（舍去）．答：时间t为2．【点睛】本题考查作图－基本作图、两点间的距离，掌握尺规作图的方法和各线段之间的比例关系是解题的关键．11．（2019·湖北武汉·七年级期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA：OB＝2：1，点P从点B以每秒4个单位的速度向右运动．（1）A、B对应的数分别为、；（2）当点P运动时，分别取BP的中点E，AO的中点F，请画图，并求出的值；（3）若当点P开始运动时，点A、B分别以每秒2个单位和每秒5个单位的速度同时向右运动，是否存在常数m，使得3AP+2OP﹣mBP为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣10、5；（2）画图见解析；＝2；（3）当m＝14时，为定值55．【分析】（1）根据AB＝15，且OA：OB＝2：1可直接求出OA，OB的长度，从而求出A、B对应的数；（2）根据题意画图即可，然后将分别用表示出来即可求出比值.（3）分别用含m的代数式表示出AP，OP，BP，即可判断是否存在m值使3AP+2OP﹣mBP为定值【详解】（1）∵AB＝15，OA：OB＝2：1∴AO＝10，BO＝5∴A点对应数为﹣10，B点对应数为5，故答案为：﹣10、5．（2）画图如下：∵点E、F分别为BP、AO的中点∴OF＝AO，BE＝BP∴EF＝OF+OB+BE＝AO+OB+BP（3）设运动时间为t秒，则点P对应的数：5+4t；点A对应的数：﹣10+2t；点B对应的数：5+5t；∴AP＝5+4t﹣（﹣10+2t）＝2t+15；OP＝5+4t；BP＝t．∴3AP+2OP﹣mBP＝3（2t+15）+2（5+4t）﹣mt＝（14﹣m）t+55．∴当m＝14时，3AP+2OP﹣mBP为定值55．【点睛】本题主要考查线段的和与差，以及数轴上的点与线段长度之间的转化，能够用含m的代数式表示出AP，OP，BP是解题的关键.12．（2019·福建·莆田哲理中学七年级期末）如图，线段AB=24，动点P从A出发，以每秒2个