高一数学人教A版2019试题2.2基本不等式（第2课时）

2.2基本不等式（第2课时）（2种题型分类基础练+能力提升练）【夯实基础】题型一：基本不等式求最值1．已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，，所以（当且仅当，即时取等号），即的最小值为4.2．已知，且，则的最大值为（

）A．2 B．5 C． D．【答案】D【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.3．已知，用基本不等式求的最小值时，有，则取得最小值时的值为（

）A． B． C． D．3【答案】C【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，即取得最小值．4．下列说法正确的为（

）A．B．函数的最小值为4C．若则最大值为1D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8【答案】C【详解】对于选项,只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则不正确；对于选项,，令，即在上单调递增，则最小值为,则不正确；对于选项,，则正确；对于选项,当时，，当且仅当时，即，等号成立，则不正确.5.已知，则的最值为（

）A．最小值2 B．最大值2 C．最小值3 D．最大值3【答案】C【详解】因为，故，当且仅当时取得最小值3；令，对函数，其在单调递减，在单调递增，无最大值.故时，无最大值.6.若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（

）A．2 B．4C．6 D．8【答案】B【详解】解：根据

，当且仅当时，取等号，化简可得，因为，所以，，所以运用，可得，当且仅当，即时，取等号，又因为恒成立，所以，即k的最大值是4．7．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知，且，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16【答案】A【详解】因为，所以.因为，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立，故的最小值是6.8．（多选）设正实数满足，则（

）A．的最小值为B．的最小值为2C．的最大值为1D．的最小值为2【答案】CD【详解】对于选项，，当且仅当且时，即，时取等号，则错误；对于选项，,当且仅当时等号成立，则，即的最大值为2，则错误；对于选项，，即，当且仅当时，等号成立，则正确；对于选项，，当且仅当时，等号成立，则正确,9.（多选）已知，都为正数，且，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为【答案】ABD【详解】对于A，因为，都为正数，且，所以，当且仅当即，时取等号，所以的最大值为，所以A正确，对于B，因为，所以，由选项A可知，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为，所以B正确，对于C，因为，所以，当且仅当，即，时取等号，但，都为正数，故等号取不到，所以C错误，对于D，因为，都为正数，且，所以，当且仅当即即，时取等号，所以的最小值为，所以D正确，10．已知，则函数的最大值为___________.【答案】【详解】因为，所以，,当且仅当，即时，取最大值，即.11.函数的最小值是___________.【答案】【详解】由题设知，则，当且仅当时等号成立，故函数最小值为.12．若“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】根据基本不等式求出，，根据不等式“，不等式恒成立”可得答案.【详解】由基本不等式可知，（当且仅当x＝1时取“＝”），因为“，不等式恒成立”，故,故答案为：13．已知，，且，则的最小值为_________【答案】【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，14．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）函数的最小值为___．【答案】【详解】因为，令，则，又因为，可得，因为，当且仅当时，即，即时，等号成立，所以，即的最小值为.15．当时，函数的最小值为___________．【答案】【详解】因为，则，则，当且仅当时，等号成立，所以，当时，函数的最小值为.16．设，求函数的最大值.【答案】4【详解】解:根据题意,设则,分析可得当时,有最大值16,则此时有最大值;故函数的最大值为4.17求函数的最值.【答案】最小值为，无最大值【详解】解：，令，则，因为对勾函数在上单调递增，当时，取得最小值.故的最小值为，无最大值.题型二：利用基本不等式求实际问题的最值18．（2022·全国·高一课时练习）某汽车客运站购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：万元）与营运年数x为二次函数关系，如图所示，则当每辆客车营运的年平均利润最大时，其营运年数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】由题意可设，且当时，，即，解得，所以，所以，当且仅当，即时取等号．19.设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（

）A．（38－3m3 B．16m3 C．4m3 D．14m3【答案】B【详解】设长方体车厢的长为xm，高为hm，则，即，∴，即，解得，∴．∴车厢的容积为．当且仅当且，即时等号成立．∴车厢容积的最大值为．选B．20．用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为______m．【答案】【详解】设框架的宽为x，则其高为，要使这个窗户通过的阳光最充足，只要窗户的面积S最大，，当且仅当，即时等号成立，故框架的宽为m．故答案为：21．某校为了美化校园环境，计划在学校空地建设一个面积为的长方形草坪，如图所示，花草坪中间设计一个矩形ABCD种植花卉，矩形ABCD上下各留1m，左右各留1.5米的空间种植草坪，设花草坪长度为x（单位：m），宽度为y（单位：m），矩形ABCD的面积为s（单位：）(1)试用x，y表示s；(2)求s的最大值，并求出此时x，y的值．【答案】(1)(2)s的最大值为，此时，．（1）由题意可得,矩形ABCD长为(x3)m,宽为(y2)m,故.（2）∵，∴（当且仅当,即，时取等号）.故s的最大值为,此时，.【能力提升】1．（2022秋·江苏徐州·高一校考阶段练习）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】，，又均为正实数，（当且仅当时取"=")，，此时.，，当且仅当时取得"="，满足题意.的最大值为1.2．（多选）已知，，且，则（

）A．的取值范围是B．的取值范围是C．的最小值是3D．的最小值是【答案】BD【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时取等号，即，解得，即，A错误；对于B,由，,，当且仅当时取等号，得，所以,B正确；对于C,由，，，得，则，当且仅当，即时等号成立,但，所以．（等号取不到）,故C错误；对于D，由C的分析知：，,,，当且仅当，即时等号成立，D正确，故选：BD3.（多选）下列结论中，正确的结论有（）．A．如果，那么取得最大值时的值为B．如果，，，那么的最小值为6C．函数的最小值为2D．如果，，且，那么的最小值为2【答案】AB【详解】解：对于A.如果，那么，当时取得最大值，故正确；，，则整理得，所以或（舍去），当且仅当时取得最小值，故正确；对于C.函数，当且仅当此时无解，不能取得最小值2，故错误；对于D.如果，，且，那么当且仅当即时取得最小值，故错误.故选：AB4．（多选）（2023秋·河北石家庄·高一统考期末）已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（

）A．xy的最大值为1 B．的最大值为2C．的最小值为 D．的最小值为1【答案】ABD【详解】对于A，因为，所以，则，当且仅当且，即时，等号成立，所以xy的最大值为1，故A正确；对于B，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，则，当且仅当且，即时，等号成立，所以的最大值为2，故B正确；对于C，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为，故C错误；对于D，令，，则，，，，所以，当且仅当且，即，即时，等号成立，所以的最小值为1，故D正确.故选：ABD.5．（多选）（2023秋·吉林通化·高一梅河口市第五中学校考期末）下列关于基本不等式的说法正确的是（

）A．若，则的最大值为B．函数的最小值为2C．已知，，，则的最小值为D．若正数x，y满足，则的最小值是3【答案】AC【详解】因为，所以，，当且仅当即时，等号成立，故A正确；函数，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；由可得，，当且仅当，即时等号成立，故D错误.6．（多选）（2023春·湖北武汉·高一武汉实验外国语学校期末）已知，，下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ACD【详解】对于A，因为，所以，因为，，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以A正确，对于B，因为，所以，所以，当且仅当，即取等号，所以B错误，对于C，由，，，由柯西不等式得，所以，当且仅当，即时取等号，所以C正确，对于D，由，得，化简得，所以，因为，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以D正确，故选：ACD7．（多选）（2023秋·湖北武汉·高一武汉实验外国语学校期末）设正数满足，则有（

）A．B．C．D．【答案】ACD【详解】对于A，由基本不等式推论有，当且仅当取等号.故A正确.对于B，，由A分析可知，则，当且仅当取等号.故B正确.对于C，，当且仅当，即时取等号.故C正确.对于D，，当且仅当，即时取等号.故D正确.8．不等式的解集为，则的最大值为____________.【答案】【详解】当时，即不等式的解集为，则，，要使得有意义，此时，则；当时，若不等式的解集为，则，即，所以，，因为，则，当时，则，此时；当时，则，令，则，当且仅当时，等号成立.综上所述，的最大值为.9.已知，且，那么下列不等式：①；②；③；④中，正确的序号是________．【答案】①②④【详解】解：对于①:，，，（当且仅当时取得等号），所以①正确；对于②：由①有，设，则在上单调递减．所以，所以②正确；对于③：（当且仅当时取得等号），．所以③错误．对于④：（当且仅当，即时等号成立），所以④正确．10.已知，，若不等式恒成立，则的最大值是______.【答案】【详解】，，不等式恒成立，恒成立，又当且仅当即时取等号，的最小值为，所以，即的最大值为，11．已知，，且，则的最小值为__________.【答案】【详解】由题意，，因为，令，，由对勾函数性质可知，当时，有最小值，当且仅当时取到，故的最小值为.12．已知，，且，则的最大值为____．【答案】【详解】由，，得，即又，当且仅当，即时，取等，故，解得或（舍）故，即的最大值为，13.若正实数满足，则的最大值为________.【答案】4【详解】因为，所以，又且，所以，解得，=结合知，有最大值4.14.若实数满足，则的最大值为________.【答案】【详解】由，得，设，其中.则，从而，记，则，不妨设，则,当且仅当，即时取等号，即最大值为.15．（2023春·浙江杭州·高一校考期中）已知，若，则的最小值是.【答案】【详解】设，由对应系数相等得，得所以整理得即所以.经验证当时，等号可取到.16．（2023秋·山东临沂·高一山东省临沂第一中学校考期末）已知，，则的最小值.【答案】20【详解】令，则，去分母化简得：，所以，所以，当且仅当时，等号成立．17．（2023春·云南昆明·高一云南省昆明市第五中学校考开学考试）已知，则的最大值是.【答案】【详解】，设，所以原式=，令所以原式=.18．（2023秋·山东枣庄·高一统考期末）已知且，则的最小值为.【答案】【详解】解：令，，因为，所以，则，，所以,所以，当且仅当，即，，即时取“”，所以的最小值为.19．（2021秋·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）已知x，y∈R，且满足4x+y+2xy+1=0，则x2+y2+x+4y的最小值是.【答案】【详解】因为4x+y+2xy+1=0，则4x+y+2xy+2=1，即令2，所以所以x2+y2+x+4y由均值不等式，当且仅当取等号所以x2+y2+x+4y的最小值为.20．（2021秋·江苏南京·高一南京市第十三中学校考期末）若实数满足，则的最大值为.【答案】【详解】由，得，设，其中.则，从而，记，则，不妨设，则,当且仅当，即时取等号，即最大值为.21．（2022秋·江苏常州·高一常州市第一中学校考期中）已知，均为正数，且，则的最小值为．【答案】7【详解】∵a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，∴=1．则=+b2﹣1．+b==+2≥2+2=4，当且仅当a=4，b=2时取等号．∴（+b2）（1+1）≥≥16，当且仅当a=4，b=2时取等号．∴+b2≥8，∴=+b2﹣1≥7．22．（2021·全国·高一课时练习）若对任意实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围．【答案】【详解】令当时，当时，，当且仅当时等号成立或即或或或综合得因为不等式恒成立，则.23.（1）已知，，均为正实数，求证：．（2）已知，，是互不相等的正数，且，求证