七年级数学上册专题10 整式的加减规律探究-【一题三变系列】2022-2023学年七年级数学上册重要考点题型精讲精练(人教版)(解析版)

/专题10整式的加减规律探究◎类型一数字类规律探究【例】．（2022·陕西宝鸡·七年级期中）亮亮和同学观察下面一列数，探求其规律：1，，，，，，…，并解决了下面的问题，相信你也能解决这些问题．(1)写出这列数的第7，8，9，10四个数；(2)第2022个数是什么？(3)如果这一列数无限排列下去，与哪一个数越来越近？【答案】(1)，，，；(2)第2022个数是；(3)如果这一列数无限排列下去，越来越近0【解析】【分析】（1）根据题目中的数字，可以发现奇数个数都是负数，偶数个数都是正数，第几个数分母就是几，从而可以写出第7个，第8个，第9个，第10个数；（2）根据题目中的数字的特点，可以写出第2022个数；（3）取其绝对值，根据分子都是1，分母越来越大，即可得到这列数无限排列下去，越来越接近0．(1)∵一列数为：1，，，，，，…，∴第7、8、9、10四个数分别为：，，，；(2)∵一列数为：1，，，，，，…，，∴第2022个数是；(3)如果这一列数无限排列下去，取其绝对值，分子都是1，分母越来越大，越来越近0【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．【跟踪训练】．（2022·江苏·七年级专题练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．(1)求前4个台阶上数的和是多少？(2)求第5个台阶上的数x是_______；(3)从下到上前35个台阶上数的和为_______．【答案】(1)3(2)(3)18【解析】【分析】（1）将前4个数字相加可得前4个台阶上数的和；（2）根据“相邻四个台阶上数的和都相等”列出方程求解可得第5个台阶上的数；（3）根据“台阶上的数字是每4个一循环”求解可得从下到上前35个台阶上数的和．(1)由题意得前4个台阶上数的和是：﹣5+（﹣2）+1+9＝3；(2)由题意得﹣2+1+9+x＝3，解得：x＝﹣5，则第5个台阶上的数x是﹣5；(3)由题意知台阶上的数字是每4个一循环，35÷4＝8……3，∴3×8+（﹣5）+（﹣2）+1＝24﹣6＝18，即从下到上前35个台阶上数的和为18，故答案为：﹣5，18．【点睛】本题主要考查了数字类变化问题，理解题意，根据已知得出数字变化的规律是解题的关键．【变式训练】．变式1.（2022·全国·七年级课时练习）观察下面三行数：-2，4，-8，16，-32，64，…；①0，6，-6，18，-30，66，…；②-1，2，-4，8，-16，32，…．③(1)写出第①行数的第10个数；(2)观察第②③行数与第①行数的关系，写出第二行的第n数；(3)取每行数的第9个数，计算这三个数的和．【答案】(1)1024(2)(-2)n+2(3)-1278【解析】【分析】（1）根据题意得：第①行数的第1个数为，第①行数的第2个数为，第①行数的第3个数为，第①行数的第4个数为，……由此得到规律，即可求解；（2）根据题意得：第②行数的第1个数为，第②行数的第2个数为，第②行数的第3个数为，第②行数的第4个数为，……由此得到规律可得第②行数是第①行的相应的数加上2；第③行数的第1个数为，第③行数的第2个数为，第③行数的第3个数为第③行数的第4个数为，……由此得到第③行数是第①行的相应的数乘以，即可求解；（3）由（2）得到第③行数的第n个数为，可得到第①行数的第9个数，第②行数的第9个数为，第③行数的第9个数为，即可求解．(1)解：根据题意得：第①行数的第1个数为，第①行数的第2个数为，第①行数的第3个数为，第①行数的第4个数为，……由此得到第①行数的第n个数为，∴第①行数的第10个数；(2)解：根据题意得：第②行数的第1个数为，第②行数的第2个数为，第②行数的第3个数为，第②行数的第4个数为，……由此得到第②行数是第①行的相应的数加上2；∴第二行的第n数为；第③行数的第1个数为，第③行数的第2个数为第③行数的第3个数为第③行数的第4个数为，……由此得到第③行数是第①行的相应的数乘以；(3)解：由（2）得到第③行数的第n个数为，∴第①行数的第9个数，第②行数的第9个数为，第③行数的第9个数为，∴这三个数的和为．【点睛】本题主要考查了数字类规律题，有理数的乘方运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键．变式2．（2022·江西景德镇·七年级期末）某剧院座位的一部分为扇形状，座位数按下列方式设置：排数123456…座位数50535659…按这种方式排下去(1)第5、6排各有多少个座位？完成上表填空；(2)第n排有多少个座位？(3)在（2）的代数式中，第17排有多少个座位？【答案】(1)62；65(2)(3)98个【解析】【分析】（1）第5排的座位应让第4排的座位数加3，同理可得第6排的座位数；（2）第n排的座位数＝第1排的座位数+（n﹣1）×3，把相关数值代入化简即可；（3）把n＝17代入（2）得到的式子求值即可．(1)解：填表如下：排数123456…座位数505356596265…(2)解：50+3（n﹣1）＝3n+47；答：第n排有个座位(3)解：当n＝17时，3n+47＝98．答：第17排有98个座位．【点睛】考查数字的变化规律；列代数式及相关代数式求值问题，根据相应规律得到第n排的座位数是解决本题的关键．变式3．（2022·四川眉山·七年级期末）观察下列等式：，将以上三个等式两边分别相加得：．（1）猜想并写出：；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）观察题目中的等式，找到规律进而猜想结论；（2）根据（1）的结论计算即可；（3）根据（1）的结论计算即可【详解】（1）；（2）；（3）()．【点睛】本题考查了有理数的运算，找到规律是解题的关键．◎类型二图形类规律探究【例】．（2020·江西·新余四中七年级期中）如图是由一些火柴棒搭成的图案：(1)摆第①个图案用5根火柴棒，摆第②个图案用______根火柴棒，摆第③个图案用______根火柴棒．(2)按照这种方式摆下去，摆第n个图案用______根火柴棒．(3)计算一下摆2021根火柴棒时，是第几个图案？【答案】(1)9，13(2)4n+1(3)摆2021根火柴棒时，是第505个图案【解析】【分析】（1）根据第①个图案所用的火柴数，每加一个图案就加4根即可求解．（2）根据已知图案所用的火柴根数，找出规律即可求解．（3）根据（2）第n个图案用的火柴棒是4n+1，即把火柴根数为2021根时求出n即可求解．(1)解：由题目得，第①个图案所用的火柴数：1+4＝1+4×1＝5，第②个图案所用的火柴数：1+4+4＝1+4×2＝9，第③个图案所用的火柴数：1+4+4+4＝1+4×3＝13，故答案为：9，13．(2)按（1）的方法，依此类推，由规律可知5＝4×1+1，9＝4×2+1，13＝4×3+1，第n个图案中，所用的火柴数为：1+4+4+…+4＝1+4×n＝4n+1，故摆第n个图案用的火柴棒是4n+1，故答案为：4n+1．(3)根据规律可知4n+1＝2021得，n＝505，因此是第505个图案．【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要考查了学生通过特例分析从而归纳得出规律，根据规律解决问题的能力．【变式1】．（2021·全国·七年级单元测试）下列图案是由正方形和三角形组成的，有着一定的规律，请完成下列问题：(1)第⑤个图案中，三角形有________个，正方形有________个．(2)若用字母，分别代替三角形和正方形，则第①，②个图案可表示多项式，，则第④个图案可表示为多项式________.(3)第个图案的三角形个数与正方形的个数相差多少个？【答案】(1)20、25(2)16a+16b(3)第个图案的三角形个数与正方形的个数相差60个．【解析】【分析】（1）观察图形篮得出规律，即可得出第⑤个图案中，三角形有20个，正方形有25个；（2）根据第①、②个图案可表示多项式4a+b、8a+4b，则第④个图案可表示为多项式16a+16b；（3）根据（1）得出的规律，列式计算即可求解．(1)解：观察图形可知：第①个图案中，三角形有1×4=4个，正方形有12=1个；第②个图案中，三角形有2×4=8个，正方形有22=4个；第③个图案中，三角形有3×4=12个，正方形有32=9个；；第n个图案中，三角形有4n个，正方形有n2个；以此类推，第⑤个图案中，三角形有5×4=20个，正方形有52=25个；故答案为：20、25；(2)解：由第①、②个图案可表示多项式4a+b、8a+4b，则第④个图案可表示为多项式16a+16b；故答案为：16a+16b；(3)解：根据规律，第10个图案中，三角形有40个，正方形有100个，100-40=60(个)，则第个图案的三角形个数与正方形的个数相差60个．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．【变式2】．（2022·山东菏泽·七年级期末）用火柴棒按图中所示的方法搭图形．(1)搭第①个图形用__________根火柴棒，搭第②个图形用_________根火柴棒，搭第③个图形用_________根火柴棒；(2)搭第圈n个图形需要多少根火柴棒？(3)小明发现：按照这种方式搭图形会产生若干个正方形，若使用187根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？【答案】(1)(2)搭第圈n个图形需要根火柴棒(3)个【解析】【分析】（1）观察图形，发现所需火柴棒的根数的规律，第①个图形为根，第②个为根，第③个为根，进而求解即可；（2）根据（1）中的规律求得第个图形所需火柴棒的根数；（3）先根据（2）中式子列出一元一次方程，求得187根火柴搭图形，为第多少个，然后方法同（1）数出正方形的个数，进而发现规律即可求解(1)第①个图形为根，第②个为根，第③个为根，故答案为：；(2)由（1）可得第④个为，……，第个为，搭第圈n个图形需要根火柴棒.(3)，解得，第①个图形中有2个正方形，，第②个图形中有5个正方形，，第③个图形中有2个正方形，，……,第个为个正方形，∴，若使用187根火柴搭图形，图中会产生个正方形.【点睛】本题考查了图形类规律题，找到规律是解题的关键．【变式3】．（2020·广东·深圳第三高中七年级期中）如图，用火柴棒按下列方式搭三角形，照这样搭下去：（1）搭10个这样的三角形需要_______根火柴棒．（2）搭n个这样的三角形需要_______根火柴棒．【答案】（1）21；（2）1＋2n【解析】【分析】（1）观察前面5个图形需要的火材棒的数量，用含有相同特征的运算式表示，再写出第10个运算式进行计算即可得到答案；（2）对（1）的探究进行归纳总结可得答案.【详解】解：（1）观察图形可知第一个图共有火柴棒1＋2＝1＋2×1＝3根，第二个图共有火柴棒1＋2＋2＝1＋2×2＝5根，第三个图共有火柴棒1＋2＋2＋2＝1＋2×3＝7根，第四个图共有火柴棒1＋2＋2＋2＋2＝1＋2×4＝9根，第五个图共有火柴棒1＋2＋2＋2＋2＋2＝1＋2×5＝11根，…第十个图形有有火柴棒根，（2）由（1）归纳可得：第n个图共有火柴棒（1＋2n）根．故答案为：（1）21；（2）1＋2n．【点睛】本题考查的是图形的变化规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键.【变式4】．（2021·全国·七年级）下面的图形是边长为的正方形按照某种规律排列而组成的．（1）观察图形，填写下表：图形①②③正方形的个数818图形的周长（2）推测第个图形中，正方形的个数为多少？周长为多少？（3）第2021个图形中，正方形的个数是多少？【答案】（1）见解析；（2），；（3）10108【解析】【分析】（1）根据题意可得第1个图形，正方形的个数为8=5×1+3，周长为；第2个图形，正方形的个数为13=5×2+3，周长为；第3个图形，正方形的个数为18=5×3+3，周长为，即可求解；（2）根据（1），可得