泛函分析课程总结论文

湛江师范学院数科院09数本7班黎耀泽2009294325（38）PAGEPAGE1泛函分析课程总结论文第一部分：知识点体系第七章：度量空间和赋范线性空间度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。一、度量空间的进一步例子1、度量空间的定义定义1.1设为一个集合，一个映射.若对于任何属于，有1°，且当且仅当（非负性）；2°（对称性）；3°（三角不等式）则称为集合的一个度量，同时称为一个度量空间（课本第二章第一节中已经讲解了度量空间的定义，第七章第一节接着讲解度量空间，下面介绍六种度量空间。）2、常见的度量空间例2.1离散的度量空间设x是任意的非空集合，对x中的任意两点，令称为离散的度量空间。例2.2序列空间S令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中的任意两点令称为序列空间。例2.3（3）有界函数空间B(A）设A是一个给定的集合，令B(A)表示A上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点x,y，定义例2.4可测函数空间设M(X)为X上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m为勒贝格测度，若，对任意两个可测函数及由于，所以这是X上的可积函数。令例2.5C[a,b]空间令C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对C[a,b]中任意两点x,y，定义例2.6.记，设，，定义，则是上的距离（可以证明），按成为度量空间.（在第二章第二节的理论基础上，进一步导入度量空间的相关概念。）二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间1、收敛点列设是（X，d）中点列，如果存在，使则称点列是（X，d）中的收敛点列，x是点列的极限。收敛点列性质：（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。（2）M是闭集的充要条件是M中任何收敛点列的极限都在M中。2、收敛点列在具体空间中的意义1°为维欧氏空间，为中的点列，，不难证明.2°空间中，设及分别为中点列及点，则一致收敛.3°序列空间S中，设及分别为S中点列及点，则依分量收敛于.4°可测函数空间.设及分别为中的点列及点，则（可测）.3、稠密集，可分空间1°设X是度量空间，E和M是X中的两个子集，令表示M的闭包，如果，那么称集M在集E中稠密。4、等价定义：如果E中任何一点x的任何邻域都含有集M中的点，就称M在E中稠密。对任一，有M中的点列，使得2°当E=X时，称集M为X的一个稠密子集。3°如果X有一个可数的稠密子集时，称X为可分空间。（根据度量空间和直线上函数连续性的定义，第三节继续导入度量空间中映射连续性的概念。）三、连续映射1、度量空间中的连续性设X=(X,d)，Y=（Y，d）是两个度量空间，T是X到Y中的映射,如果对于任意给定，存在，使对X中一切满足的x，成立则称T在连续。我们也可以用集显来定义映射的连续性连续性的极限定义设T是度量空间(X,d)到（Y，d）中的映射，那么T在连续的充要条件为当时，必有2、连续映射如果映射T在X的每一点都连续，则称T是X上的连续映射。称集合为集合M在映射T下的原像。定理：度量空间X到Y的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y中任意开集M的原像是X中的开集。3.判断映射连续性共有如下四种方法：1°（定义法）设是两个度量空间，是到中映射，，如果对于任意给定的正数，存在正数，使对中一切满足的，有，则称在连续.2°（邻域法）对的每个一邻域，必有的某个一邻域使，其中表示在映射作用下的像，则称在连续.3°（极限法）定理3.1设是度量空间到度量空间中的映射，那么在连续的充要条件为当时，必有.4°（开集法）定理3.2度量空间到中的映射是上连续映射的充要条件为中任意开集的原像是中的开集.（在这个定理中把开集改为闭集后定理仍然成立）四、柯西点列和完备度量空间1、柯西点列设X=(X,d)是度量空间，是X中点列，如果对任何事先给定的，存在正整数，使当n，m>N时，必有则称是X中的柯西点列或基本点列。总结：在实数空间当中，柯西点列一定是收敛点列；但是在一般的度量空间当中，柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列一定是柯西点列。2、完备的度量空间如果度量空间(X,d)中每一个柯西点列都在(X,d)中收敛，则称(X,d)是完备的度量空间。例：1、是完备度量空间2、是完备度量空间3、是完备的度量空间注意：1、全体按绝对值距离构成的空间不完备2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列3、实系数多项式全体，作为的子空间不是完备度量空间3、子空间完备性定理完备度量空间X的子空间M，是完备空间的充要条件是：M是X中的闭子空间。五、度量空间的完备化1、等距同构映射设(X,d)，是两个度量空间，如果存在X到的保距映射T，即，则称(X,d)和等距同构，此时T称为X到上的等距同构映射。六、压缩映射原理及其应用作为完备度量空间概念的应用，我们介绍巴纳赫的压缩映射原理，它在许多关于存在唯一性的定理（例如微分方程，代数方程，积分方程等）的证明中是一个有力的工具。在介绍压缩映射原理前，我们来介绍压缩映射以及不动点1、压缩映射设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数a，0<a<1,使得对所有的x,y属于X，成立则称T是压缩映射。几何意义：压缩映射就是使映射后距离缩短a倍的映射。2、不动点设X为一个集合，T是X到X的一个映射，如果，使得，则称x*为映射T的不动点。3、压缩映射定理设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点。注意：a.完备度量空间中的压缩映射必有唯一的不动点。b.完备性是保证映射的不动点的存在，至于不动点的唯一性，并不依赖于X的完备性。压缩映射具有连续性，即对任何收敛点列必有七、线性空间1、定义：设是一非空集合，在中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与中元素的乘法运算，满足下列条件：（一）关于加法：(1)交换律（2）结合律（3）有零元（4）有负元，（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3），均有，满足这样性质的集合称为线性空间。例：1、按自身定义的加法和数乘成线性空间2、按自身定义的加法和数乘成线性空间 3、空间按自身定义的加法和数乘成线性空间八、赋范线性空间和巴拿赫空间1、赋范线性空间设X是实（或复）的线性空间，如果对于每个向量，有一个确定的实数，记为与之对应，并且满足：1°且等价于x=02°其中a为任意实（或复）数；3°则称为向量x的范数，称X按范数成为赋范线性空间。注：范数类似于普通向量的长度2、关于极限的定义（依范数收敛）设是X中一点列，如果存在，使则称依范数收敛于x，记为或3、赋范线性空间的性质1°赋范线性空间不仅是线性空间，也是一个度量空间。如果令可以验证的d（x，y）是X上的距离。依范数收敛于x等价于按距离收敛于x称d（x，y）为由范数导出的距离。度量和线性结构之间的协调性：2°范数是x的连续函数。4、巴拿赫空间及常用例子完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。（1）欧式空间，对每个，定义欧式空间按上述范数成Banach空间。（2）空间，对每个，定义空间C[a，b]按上述范数成Banach空间。（3）空间，对每个，定义空间按上述范数成Banach空间。第八章有界线性算子和连续线性泛函一、有界线性算子和连续线性泛函1、线性算子和线性泛函的定义设和是两个同为实（或复）的线性空间，是的线性子空间，为到中的映射，如果对及数，有，，则称为到中的线性算子，其称为的定义域，记为，称为的值域，记为，当取值于实（或复）数域时，就称为实（或复）线性泛函。2、有界线性算子和连续线性泛函3、相关定理4、有界线性算子的范数（算子范数）二、有界线性算子空间和共轭空间1、有界线性算子全体所成空间设X和Y是两个赋泛线性空间，以表示由X到Y中有界线性算子全体。当A和B属于，a是所讨论数域中的数，定义中加法运算及数乘运算如下︳定理1：当Y是巴拿赫空间，也是巴拿赫空间二、共轭空间1、共轭空间的定义一般，设X是赋范线性空间，如果X中定义了两个向量的乘积，并且满足则称X是赋范代数，当X完备时，则称X的共轭空间定理2：任何赋范线性空间的共轭空间是Banach空间2、保距算子，同构映射的定义设X和Y是两个赋范线性空间，T是X到Y中的线性映射，并且对所有有，则称T是X到Y中的的保距算子，如果T又是映射到Y上的则称T是同构映射，此时X与Y同构。例：1、的共轭空间为有界序列全体，即，但2、且则其中连续3、设，令，，则为线性算子4、的共轭空间为，其中，，当时，第二部分：泛函分析知识点在其他学科或领域的应用一、泛函分析在力学和工程中的应用直交投影法该方法把调和方程或泊松方程Dirichlet问题的解空间表达成两个直交子空间之和：调和函数类和边界上为零的函数类。Minhlin在讨论方截面杆的Saint-Venant扭转问题时，用本方法详细给出方形域中泊松方程Dirichlet问题之解，并证明所算得的最大剪应力之精度胜于Ritz法。此外还给出一般三维域中同一问题的解以及本方法对一般方程Au=0（其中A是下有界、正线性椭圆微分算子）的应用。Maurin分析了微分方程的Dirichlet问题。他指出直交投影法和Ritz-Trefftz法之间的密切关系。以后Rafalski把之用于瞬态热传导、瞬态热弹性和线性粘弹性，证实了Maurin所发现的两种方法的关系。Bessel不等式中的等号，对应于f等于它在｛ｇｉ｝生成空间中的直交投影的情形。Klyot-Dashinsky曾把之应用于平面有势问题，以及更一般的各项异性板的变形方程。Nowinski和Cho给出由电流加热的长杆热弹问题的解。Cauchy-Schuwarz和Bessel不等式——超圆方法这两个不等式因几何意义明显易于求解具体问题。Diaz及其同事较早地把这些不等式应用于弹性力学，他们证明Rayleigh-Ritz和Trefftz方法可由Cauchy-Schuwarz不等式给出。Rayleigh-Ritz近似解相当于直交三角形之斜边，精确解为直角边；而Trefftz近似解相当于直交三角形的直角边，精确解为斜边。从而，这两个近似解给出线性编制问题精确解的上下界限。最近，Nowinski利用Cauchy-Schuwarz不等式研究各向异性板弯曲的广义双调和边值问题解的界限和各向异性杆的扭转刚度。数值结果表明精确度良好。Stumpf利用直和分解对各类弹性量尤其薄板理论中的弹性量建立点状界限。二、不动点原理在解决线性方程组解的存在问题时的应用对方程组AX+b=X，，其中。对取范数。以下使用Banach不动点原理讨论此方程组在系数满足什么条件时，存在惟一解。定义上的映射T：TX＝AX+b，显然。可验证在下为一个Banach空间。以下讨论方阵A须满足什么条件时使得T压缩：对，且有Y1＝T(X1),Y2=T(X2)。容易验证：。由此可知T为下的压缩映射的充分条件为：。从而T有惟一不动点X﹡＝（X﹡1，……，X﹡n）T，使得AX﹡+b=X﹡。三、压缩映射原理的应用1°压缩映射原理在求方程解的存在性方面的应用在求方程解存在性问题方面，主要是通过在度量空间中作自身到自身的