湖南省衡阳市耒阳集贤中学2022-2023学年高二数学文上学期期末试卷含解析

湖南省衡阳市耒阳集贤中学2022-2023学年高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线（t为参数）被曲线所截的弦长为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；J9：直线与圆的位置关系；QH：参数方程化成普通方程．【分析】先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，并求出圆心到直线的距离d，再利用关系：l=2即可求出弦长l．【解答】解：直线（t为参数）化为普通方程：直线3x+4y+1=0．∵曲线，展开为ρ=cosθ﹣sinθ，∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，化为普通方程为x2+y2=x﹣y，即，∴圆心C，．圆心C到直线距离d==，∴直线被圆所截的弦长=．故选C．【点评】正确运用弦长l、圆心到直线的距离、半径r三者的关系：l=2是解题的关键．2.已知抛物线在点(2,－1)处与直线相切，则的值为（）A.20 B.9 C.－2 D.2参考答案：C【分析】根据在处的导数值为1和点(2,－1)在抛物线上可构造方程解得，从而作和得到结果.【详解】由题意得：

，解得：又，解得：本题正确选项：C

3.随机变量服从二项分布，且，则p等于（）A. B. C.1 D.0参考答案：B因为,所以,解得.即等于.故选B.二、填空题4.命题p：“a=﹣2”是命题q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的（）A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”，则6a+3×4=0，解得a=﹣2，故p是q成立的充要条件，故选：A5.一个正方体纸盒展开后如右图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；

③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．其中正确的个数为（▲）个

A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：B6.下列函数是幂函数的是

（）.

A.

B.

C.

D.

参考答案：C略7.已知直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为（

）A．

B．－

C．2

D．－2参考答案：A略8.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A．－

B.C．－

D.参考答案：D略9.已知，且，则的值为（A）

（B）或

（C）

（D）或参考答案：【知识点】同角三角函数基本关系式、三角函数的性质【答案解析】C解析：解：因为0＜＜1，而，得，所以，则选C【思路点拨】熟悉的值与其角θ所在象限的位置的对应关系是本题解题的关键.10.在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4π B． C．6π D．参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若直线与抛物线交于、两点，若线段的中点的横坐标是，则______。参考答案：

解析：得，当时，有两个相等的实数根，不合题意当时，12.的导数是

参考答案：0略13.《张丘建算经》是中国古代数学著作．现传本有92问,比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算,各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等．某数学爱好者根据书中记载的一个女子善织的数学问题,改编为如下数学问题：某女子织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她第一天织了3尺布．若要使所织的布的总尺数不少于300尺,那么该女子至少需要织多少天？并将该问题用以下的程序框图来解决,若输入的T=300,则输出n的值是___________．参考答案：法1：设表示该女子第天所织的布的尺数,则数列是以3为首项,2为公比的等比数列,设是数列的前项和,所以,,故满足的最小正整数,即输出的的值是7．法2：设表示该女子第天所织的布的尺数,则数列是以3为首项,为公比的等比数列,设是数列的前项和．结合程序框图可得,,,,故输出的的值是7．14.点到原点的距离，到轴的距离．参考答案：，15.已知等差数列{an}的公差d≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是__________．参考答案：316.若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是

参考答案：解析：由题知，且，又，所以有，∴。17.如图，由编号，，…，，…（且）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为，则所有圆柱的体积的和为_______________（结果保留）．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）椭圆C的中心在原点O，它的短轴长为，相应的焦点的准线了l与x轴相交于A，|OF1|=2|F1A|.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆C的左焦点作一条与两坐标轴都不垂直的直线l，交椭圆于P、Q两点，若点M在轴上，且使MF2为的一条角平分线，则称点M为椭圆的“左特征点”，求椭圆C的左特征点；(3)根据(2)中的结论，猜测椭圆的“左特征点”的位置．参考答案：解：（1）由条件知，可设椭圆方程为

又椭圆方程为

…………4分(2)设左特征点为，左焦点为，可设直线的方程为

由与，消去得

又设，则

①

②

…………6分

因为为的角平分线，所以，即

③

将与代入③化简，得

④

再将①②代入④得

即左特征点为

…………10分（3）因为椭圆的左准线与轴的交点为，故猜测椭圆的左特征点为左准线与轴的交点．…………12分19.抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上点M的横坐标为1，且|MF|=．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过焦点F作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C交于M、N和P、Q四点，求四边形MPNQ面积的最小值．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）利用抛物线的定义直接求抛物线C的方程；（Ⅱ）过焦点F作两条相互垂直的直线，设MN：x=my+，PQ：x=﹣y+（m≠0），联立直线与抛物线方程组成方程组，利用弦长公式，求出MN，PQ，推出四边形MPNQ的面积的表达式，利用基本不等式求四边形MPNQ面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知：1+=，∴p=故抛物线C的方程为：y2=x…（Ⅱ）由（Ⅰ）知：F（，0）设MN：x=my+，PQ：x=﹣y+（m≠0）…由得：y2﹣my﹣=0∵△=m2+1＞0∴|MN|==m2+1…同理：|PQ|=+1…．∴四边形MPNQ的面积：S=（m2+1）（+1）=（2++m2）≥2（当且仅当m=±1时等号成立）∴四边形MPNQ的面积的最小值为2．…20.（本小题满分14分）已知正项数列的前项和，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）定理：若函数在区间D上是凹函数，且存在，则当时，总有．请根据上述定理，且已知函数是上的凹函数，判断与的大小；（Ⅲ）求证：参考答案：解析：（Ⅰ）时，或．由于是正项数列，所以．当时，，

整理，得．由于是正项数列，∴．∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．

从而，当时也满足．∴（）．

……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知．对于上的凹函数，有．根据定理，得．……6分整理，得．令，得． ……8分∴，即．∴．

……10分（Ⅲ）∵，∴

……12分又由（Ⅱ），得．（或）

∴．

……14分21.已知:如右图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于点E．求证：(1)△ABC≌△DCB

(2)DE·DC＝AE·BD．参考答案：证明：(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分(2)∵△ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC。。。。。。。。。。。。。8分∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC

∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB∴△ADE∽△CBD

∴DE:BD＝AE:CD，

∴DE·DC＝AE·BD.。。。。。。。10分22.（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧棱SD=2，SA=2，∠SDC=120°．（Ⅰ）求证：AD⊥面SDC；（Ⅱ）求棱SB与面SDC所成角的大小．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由SD=2，SA=2，得AD⊥SD，又AD⊥CD，由线面垂直的判定得AD⊥侧面SDC；（Ⅱ）证明∠BSC棱SB与面SDC所成角，即可求棱SB与面SDC所成角的大