计算方法实验报告-2

实验报告计算方法算法设计及其MATLAB实现院系：数学科学学院专业：学号：姓名：实验1插值方法——拉格朗日插值法一、实验目的[1]了解lagrange插值法的基本原理和方法；[2]通过实例掌握用MATLAB求插值的方法；[3]编程实现lagrange插值

二、方法原理Lagrange插值公式y=,两点插值和三点插值分别是lagrange的n=1,2的特殊情况。Lagrange的插值算法：没给定数据表（），i=0,1,2…….n及插值点x，根据lagrange求得的插值结果y。三、实验流程（略）四、实验内容MATLAB文件：function[y0,N]=Lagrange_eval(X,Y,x0)formatlonge;m=length(X);N=zeros(m,1);y0=0;fori=1:mN(i)=1;forj=1:mifj~=iN(i)=N(i)*(x0-X(j))/(X(i)-X(j));endendy0=y0+Y(i)*N(i);end算例：已知f（x）=lnx的数值表如下，计算lagrange插值多项式在x=x0处的值。x0.30.40.50.6lnx-1.203973-0.916291-0.693147-0.510826表SEQ表\*ARABIC1解答结果：线性插值结果：二次插值结果：三次插值结果：五、实验分析而ln0.45准确值为

-0.79850769621777，针对所给数据表时运用插值方法，人们往往迭代的插值节点越多，插值结果就越准确，这种观点并不一定可靠，实际计算结果表明，如果选取的节点越多，lagrange插值结果反而会严重失真，因此，我们要因题选取适当的节点。实验二、插值方法——Hermite插值一、实验目的1、学习和掌握Hermite算法的思想；2、学会利用分段三次Hermite插值计算插值点处的函数近似值。二、插值算法的基本思想：函数的变化规律往往是通过一组实验数据给出，为了研究此变化规律往往需要求出不在表上的一些函数值。因此我们希望根据给定的函数表做一个既能反函数的特性，又便于计算的简单函数，用近似。通常选一类较简单的函数作为，并使这样确定的就是我们希望得到的插值函数，主要有①Lagrange插值；②Newton插值；③Hermit插值；④分段线性插值；⑤三次样条插值。三、算法步骤：1)输入各个节点和节点的函数值及对应导数值;定义；3)用拉格朗日基函数求出4)最后用Hermite插值公式，满足计算次数不超过2N+1的多项式。流程图（略）四、实验内容MATLAB文件：functiony0=Hermite_interp(X,Y,DY,x0)formatlongeN=length(X);fori=1:Nifx0>=X(i)&x0<=X(i+1)k=i;break;endenda1=x0-X(k+1);a2=x0-X(k);a3=X(k)-X(k+1);y0=(a1/a3)^2*(1-2*a2/a3)*Y(k)+(-a2/a3)^2*(1+2*a1/a3)*Y(k+1)+(a1/a3)^2*a2*DY(k)+(-a2/a3)^2*a1*DY(k+1);算例：已知lnx在x1=0.40,x2=0.50,x3=0.60,x4=0.70处的函数值及导数值使用分段三次Hermite插值公式计算lnx在x=0.54处的函数值。实验结果：Hermite插值五、实验分析Lnx在x=0.54处的准确值为-0.61618613942382,由此可知，用分段三次Hermite插值公式求解的精度还是比较高的。实验三、数值积分的复化Simpson公式实验目的掌握复化的Simpson公式的计算积分方法；掌握数值微分的方法进行计算；体会不同运行环境下进行积分运算的思想与理解；实验环境MATLABVC++6.0实验内容用复化的Simpson公式计算积分：实验算法与结果MATLAB运行环境：functionS=FSimpson(f,a,b,N)formatlongeh=(b-a)/N;fa=feval(f,a);fb=feval(f,b);S=fb+fa;x=a;fori=1:Nx=x+h/2;fx=feval(f,x);S=S+4*fx;x=x+h/2;fx=feval(f,x);S=S+2*fx;endS=h*S/6;注：functionf=f1(x)f=x/(4+x^2);解答：当N=16时，结果为：当N=256时，结果为：当N=64时，结果为：当N=256时，结果为：VC++6.0运行环境：#include<stdio.h>#include<math.h>#definee1e-5#definea0#defineb1#definef(x)(4/(1+(x*x)))intmain(){ inti,n; doublef1,f2,f3,h,s0,s; f1=f(a)+f(b); f2=f(((double)(b+a)/2));f3=0; s=((double)(b-a)/6)*(f1+4*f2);n=2; h=(double)(b-a)/4; do { f2+=f3;s0=s;f3=0; for(i=1;i<=n;i++) f3+=f((a+(2*i-1)*h)); s=(h/3)*(f1+2*f2+4*f3);n*=2;h/=2; } while(fabs(s-s0)>e); printf("%.8lf\n",s); return0;}结果：实验四、数值积分——Romberg加速算法一、实验目的1、掌握和学习数值积分的Romberg的算法思想；2、理解并运用Romberg加速算法进行数值积分；3、体会Romberg加速算法的优越性。二、实验原理Romberg算法是通过对Simpson算法的再加速；和Cotes算法的进一步加速，从而将收敛速度缓慢的值序列加工成收敛迅速的Romberg值序列。三、实验流程图（略）四、实验内容function[quad,R]=Romberg(f,a,b,eps)formatlongeh=b-a;R(1,1)=h*(feval(f,a)+feval(f,b))/2;M=1;J=0;err=1;whileerr>epsJ=J+1;h=h/2;S=0;forp=1:Mx=a+h*(2*p-1);S=S+feval(f,x);endR(J+1,1)=R(J,1)/2+h*S;M=2*M;fork=1:JR(J+1,k+1)=R(J+1,k)+(R(J+1,k)-R(J,k))/(4^k-1);enderr=abs(R(J+1,J)-R(J+1,J+1));endquad=R(J+1,J+1);注：functionf=f1(x)f=x/(4+x^2);算例：利用Romberg加速算法计算积分R=解答：（1）当eps=10^-4时Romberg值如下：（2）当eps=10^-7时Romberg值如下：实验分析通过以上可知Romberg算法的加速效果是明显的，Romberg算法是一个优秀的算法。实验五、改进的Euler方法一、实验目的二、实验原理先用Euler格式求得一个初步的近似值，记为称之为预报值;预报值的精度不高；用它替代右端的再直接进行计算，得到校正的值。三、实验流程（略）四、实验内容程序：functionE=MendEuler(f,a,b,N,ya)formatlongeh=(b-a)/N;y=zeros(1,N+1);x=zeros(1,N+1);y(1)=ya;x=a:h:b;fori=1:Ny1=y(i)+h*feval(f,x(i),y(i));y2=y(i)+h*feval(f,x(i+1),y1);y(i+1)=(y1+y2)/2;endE=[x',y'];注意：functionz=f2(x,y)z=x^2-y;func