北师大版八年级数学上册 （一次函数与正比例函数）一次函数 课件

第四章

一次函数一次函数与正比例函数

1课堂讲解一次函数正比例函数一次函数与正比例函数的关系确定实际问题中一次函数关系式2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升回顾与思考什么叫函数?在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.函数有图象、表格、关系式三种表达方式.1知识点一次函数知1－导某弹簧的自然长度为3

cm.在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1

kg,弹賛长度y增加0.5

cm.(1)计算所挂物体的质量分别为1kg，2

kg，3kg，4kg，5kg时弹簧的长度，并填入下表：(2)你能写出y与x之间的关系式吗？x/kg012345y/cm33.544.555.5y=3+0.5x.做一做某辆汽车油箱中原有汽油60L，汽车每行驶50km耗油6L.（1）完成下表：(2)你能写出耗油量y（L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？(3)你能写出油箱剩余油量z

(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？知1－导汽车行驶路程x/km050100150200300耗油量y/L61218243036一次函数：若两个变量x，y间的对应关系可以表示成

y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数.知1－讲

例1〈原创易错题〉已知函数y＝(n2－4)x2＋(2n－4)xm－2

－(m＋n－8)．(1)当m，n为何值时，函数是一次函数？(2)如果函数是一次函数，计算当x＝1时的函数值．导引：(1)由一次函数的定义，结合原函数式的特征知：

①二次项的系数必为0，即n2－4＝0；

②(2n－4)xm－2必为一次项，即m－2＝1，

2n－4≠0；

(2)写出关系式，运用代入法求函数值．知1－讲解：(1)由题意，得：n2－4＝0，2n－4≠0，m－2＝1，

即n＝±2，n≠2，m＝3.所以m＝3，n＝－2.因此，当m＝3，n＝－2时，函数是一次函数．(2)由(1)得此一次函数关系式为y＝－8x＋7.当x＝1时，y＝－8×1＋7＝－1.知1－讲（来自《点拨》）总

结知1－讲（来自《点拨》）根据一次函数定义求待定字母的值时，要注意：(1)函数关系式是自变量的一次式，若含有一次以上

的项，则其系数必为0；(2)注意隐含条件：一次项的系数不为0.1下列函数①y＝2x－1，②y＝πx，③y＝，④y＝x2中，一次函数的个数是(

)A．1B．2C．3D．4已知y＝(m－3)x|m|－2＋1是y关于x的一次函数，则m的值是(

)A．－3B．3C．±3D．±2知1－练（来自《典中点》）2BA2知识点正比例函数知2－讲定义：一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．也就是一次函数中当b=0时，称y＝kx是x的正比例函数.即正比例函数是特殊的一次函数.知识点知2－讲

例2

已知函数y＝(k－2)x|k|－1(k为常数)是正比例函数，则k＝________．导引：根据正比例函数的定义，此函数关系式应满足：(1)自变量x的指数为1，即|k|－1＝1，所以k＝±2；(2)比例系数k－2≠0，即k≠2.综上，k＝－2.－2（来自《点拨》）总

结知2－讲（来自《点拨》）由正比例函数的定义知正比例函数的自变量的指为1；应用定义求值时，不要忽视比例系数不为0这一条件．

1(中考·上海)下列y关于x的函数中，是正比例函数的为(

)A．y＝x2

B．y＝C．y＝D．y＝已知函数y＝2x2a＋b＋2b是正比例函数，则a＝________，b＝________.知2－练（来自《典中点》）2C0知3－讲3知识点一次函数与正比例函数的关系1.一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数．当b＝0时，y＝kx＋b即为y

＝kx，所以说正比例函数是特殊的一次函数．2.正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．

知3－讲知识点例3写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？

(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系；

(2)圆的面积y（cm2)与它的半径x(cm)之间的关

系；

(3)某水池有水15m3,现打开进水管进水，进水

速度为5m3/h,xh后这个水池内有水ym3.（来自教材）知3－讲知识点解：(1)由路程=速度×时间，得y=60x，y是x的一次函数，也是x

的正比例函数；

(2)由圆的面积公式，得y=πx2,y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数；(3)这个水池每时增加5

m3水，xh增加5xm3水，因

而y=15+5x,y是x的一次函数，但不是x的正比

例函数.（来自教材）知3－讲知识点例4已知函数y＝(m－1)x＋1－3m.(1)当m为何值时，y是x的一次函数？(2)当m为何值时，y是x的正比例函数？解：(1)根据一次函数的定义可得：m－1≠0，所以

m≠1，即当m≠1时，y是x的一次函数．

(2)根据正比例函数的定义可得：m－1≠0且

1－3m＝0，所以m＝，即当m＝时，

y是x的正比例函数．（来自《点拨》）下列说法中正确的是(

)A．一次函数是正比例函数B．正比例函数不是一次函数C．不是正比例函数就不是一次函数D．不是一次函数就不是正比例函数若函数y＝(6＋3m)x＋n－4是一次函数，则满足________；若该函数是正比例函数，则满足________________；若m＝1，n＝－2，则函数关系式是______________．知3－练（来自《典中点》）12Dm≠－2m≠－2且n＝4y＝9x－64知识点确定实际问题中一次函数关系式知4－讲例5我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入不超过3

500元的部分不收税；月收入超过3500元但不超过5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元，他应缴纳个人工资、薪金所得税为（3860-3

500)×3%

=10.8(元）.(1)当月收入超过3500元而又不超过5000元时，写出应缴纳个人工资、薪金所得税y(元）与月收入x(元）之间的关系式；(2)某人月收入为4160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？知识点知4－讲(3)如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那

么此人本月工资、薪金收入是多少元？解：（1）当月收入超过3500元而不超过5000元时，y=(x

-3500)×3%,即y=0.03x-105;（2）当x=4160时，y=0.03×4160-105=19.8(元)；（3）因为（5000-3500)×3%=45(元），19.2<45,

所以此人本月工资、薪金收入不超过5000元.

设此人本月工资、薪金收入是x元，

则19.2=0.03x-105,x=4140.即此人本月工资、薪金收入是4140元.（来自教材）例6

某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使

用者先缴50元月租费，然后每通话1min，再付话费0.4元；“神州行”使用者不缴月租费，每通话1min，

付话费0.6元(均指市内通话)．若一个月内通话时间为xmin，两种通讯业务的费用分别为y1元与y2元．(1)分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；(2)一个月内通话时间为多少分钟时，两种通讯业务的费

用相同？(3)若某人一个月的话费为200元，则选择哪种通讯业务比

较合算？

知4－讲

导引：这是一道实际生活中的应用题，解题时务必对这两种不同的

通讯业务仔细分析、比较，方可得出正确结论．解：(1)y1＝50＋0.4x(x≥0)；y2＝0.6x(x≥0)．(2)令y1＝y2，则50＋0.4x＝0.6x，解得x＝250.所以一个月内通

话时间为250min时，两种通讯业务的费用相同．(3)当y1＝200时，有200＝50＋0.4x，解得x＝375.当y2＝200时，有200＝0.6x，解得x＝333.因为375＞333，

所以若某人一个月的话费为200元，则选择“全球通”通讯

业务比较合算．（来自《点拨》）知4－讲总

结知4－讲（来自《点拨》）确定实际问题中的一次函数关系式时，要注意自变量的取值范围

.(中考·广安)某油箱容量为60L的汽车，加满汽油后行驶了100km时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为xkm，油箱中剩油量为yL，则y与x之间的函数关系式和自变量取值范围分别是(

)A．y＝0.12x，x>0B．y＝60－0.12x，x>0C．y＝0.12x，0≤x≤500D．y＝60－0.12x，0≤x≤500知4－练（来自《典中点》）1D已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为ycm，腰长为xcm，则y与x之间的函数关系式为(

)A．y＝20－2x(0<x<10)B．y＝10－x(0<x<10)C．y＝20－2x(5<x<10)D．y＝10－x(5<x<10)知4－练（来自《典中点》）2C一次函数和正比例函数：一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数．特别地，当b＝0时，y＝kx(k为常数，k≠0)，y叫做x的正比例函数．说明：(1)正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包括正比例

函数；(2)判断一个函数是否是一次函数，必须将其化成最简形

式．1.必做:完成教材P82，习题T1-T52.补充:请完成《典中点》剩余部分习题北师大版数学八年级上册第四章

一次函数4.2一次函数与正比例函数

1.掌握一次函数、正比例函数的概念.（重点）2.能根据条件求出一次函数的关系式．（难点）学习目标如果设蛤蟆的数量为x，y分别表示蛤蟆嘴的数量，眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出相应的函数解析式吗？y=xy=2xy=4xy=kx导入新课情境引入在现实生活当中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子?讲授新课一次函数与正比例函数知识点1

(2)你能写出y与x之间的关系吗？y=3+0.5x

情景一：某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5cm.(1)计算所挂物体的质量分别为1kg,

2kg,

3kg,

4kg，5kg时的长度，并填入下表：x/kg012345y/cm33.544.555.5情景二：某辆汽车油箱中原有油60L,汽车每行驶50km耗油6L.(1)完成下表：汽车行使路程x/km050100150200300油箱剩余油量y/L605448423630(2)你能写出y与x的关系吗?y=60－0.12x上面的两个函数关系式:(1)y=3+0.5x(2)y=60－0.12x

若两个变量x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k不等于0）的形式，则称

y是x的一次函数.（x为自变量，y为因变量.）当b=0时，称y是x的正比例函数.大家讨论一下,这两个函数关系式有什么关系?下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？(1)y＝－x－4;(2)y＝5x2－6；(3)y＝2πx;(6)y＝8x2＋x(1－8x)解：(1)是一次函数，不是正比例函数；(2)不是一次函数，也不是正比例函数；(3)是一次函数，也是正比例函数；(4)是一次函数，也是正比例函数；(5)不是一次函数，也不是正比例函数；(6)是一次函数，也是正比例函数．练一练方法总结1.判断一个函数是一次函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零；2.判断一个函数是正比例函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．典例精析例1：写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;解：由路程=速度×时间，得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.解：由圆的面积公式，得y=πx2,

y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.（2）圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系.解：这个水池每时增加5m3水，xh增加5xm3水，因而y=15+5x,

y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x

h后这个水池有水y

m3.例2：已知函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1.(1)若它是一次函数，求m的值；(2)若它是正比例函数，求m的值．解：(1)因为y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，所以m2－24＝1且m－5≠0，所以m＝±5且m≠5，所以m＝－5.所以，当m＝－5时，函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数．(2)若它是正比例函数，求m的值．解：(2)因为y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，所以m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0.所以m＝±5且m≠5且m＝－1，则这样的m不存在，所以函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1不可能为正比例函数．【方法总结】函数是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1.当b＝0时，一次函数为正比例函数．变式训练(1)若是正比例函数，则m=

；(2)若是正比例函数，则m=

；-2-1

m-2≠0，

|m|-1=1，∴m=-2.

m-1≠0，

m2-1=0，∴m=-1.

如图，△ABC是边长为x的等边三角形.（1）求BC边上的高h与x之间的函数解析式.h是x的一次函数吗？如果是，请指出相应的k与b的值.解:

(1)∵BC边上的高AD也是BC边上的中线，∴BD=.在Rt△ABD中，由勾股定理，得即∴h是x的一次函数，且能力提升

（2）当h=时，求x的值.

（3）求△ABC的面积S与x的函数解析式.S是x的一次函数吗？解:

（2）当h=时，有.

解得x=2.

（3）∵

即∴S不是x的一次函数.1.判断:(1)y=2.2x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数.（）(2)y=80x+100，