北师大版九年级数学上册 （相似三角形的性质）图形的相似教育教学课件(第1课时)

相似三角形的性质第1课时

学习目标新课引入新知学习课堂小结12341.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．学习目标新课引入还记得相似多边形的对应边、对应角有什么关系吗？相似三角形的对应边成比例、对应角相等.在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？如图，小王依据图纸上的△ABC，以1:2的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD和C′D′

分别是它们的立柱.(1)△ACD与△A′C′D′

相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.

新知学习解：(1)

△ACD与△A′C′D′相似.理由是∠A=∠A′，∠ADC=∠A′D′C′.相似比是1:2.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1:2的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD和C′D′

分别是它们的立柱.(2)如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？解：(2)由CD:C′D′

=1:2，得C′D′

=2CD=3cm，即模型房的房梁立柱高3cm.如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′

相似比为k(k>0)，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′；AE平分∠BAC，A′E′平分∠B′A′C′；F，F′分别为BC，B′C′的中点.试探究AD与A′D′的比值关系，AE与A′E′呢？AF与A′F′呢？ABCDEA′B′C′D′E′FF′定理：相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比.归纳ABCDEA′B′C′D′E′FF′符号语言：∵△ABC∽△A′B′C′，且AD⊥BC

，A′D′⊥B′C′

；∴AD:A′D′=k.ABCDEA′B′C′D′E′FF′符号语言：∵△ABC∽△A′B′C′，且∠BAE=∠EAC，∠B′A′E′=∠E′A′C′，∴AE:A′E′=k.符号语言：∵△ABC∽△A′B′C′，且

BF=FC，B′F′=F′C′，∴AF:A′F′=k.温馨提示这些结论以后在解决问题过程中能作为定理直接用.如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k(k>0)，点D，E在BC边上，点D′，E′在

B′C′边上.(1)若∠BAD=∠BAC，∠B′A′D′=∠B′A′C′，则等于多少？解：由“两角分别相等的两个三角形相似”，可知△ABD∽△A′B′D′，于是==k(k>0).拓展迁移如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k(k>0)，点D，E在BC边上，点D′，E′在

B′C′边上.(2)若BE=BC

，

B′E′=B′C′

，则等于多少？解：由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可知△ABE∽△A′B′E′，于是==k(k>0).例

如图，AD

是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.(1)△ASR与△ABC相似吗？为什么？ABCSREPDQ解：△ASR∽△ABC；理由如下：∵四边形PQRS是正方形，∴RS∥BC.∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.∴△ASR∽△ABC.例

如图，AD

是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.(2)求正方形PQRS的边长.解：∵△ASR∽△ABC，∴=,设正方形PQRS的边长为xcm，则AE=(40–x)cm，∴.解得x=24.答：正方形PQRS的边长为24cm.ABCSREPDQ1.若△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D'分别是△ABC、△A'B'C'的高，AD:A'D'=3:4，△A'B'C'的一条中线B'E'=16cm，则△ABC的中线BE

=________cm.针对训练122.两个相似三角形的一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm，求这两个三角形的相似比.在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的中线是3cm，那么较长的中线多长？

3.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm，EF=4cm，BG=4.8cm.求EH的长.AGBCDEFH解：∵△ABC∽△DEF，∴，∴

，解得EH＝3.2(cm).答：EH的长为3.2cm.课堂小结相似三角形的性质相似三角形对应高的比等于相似比相似三角形对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应中线的比等于相似比一块直角三角形木板的一条直角边AB

长为1.5m，面积为1.5m2，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，请同学们设计加工方法.ABC实践与拓展相似三角形的性质第2课时

学习目标新课引入新知学习课堂小结12341.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.2.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.学习目标我们知道，如果两个三角形相似，它们对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？新课引入如图，小王依据图纸上的△ABC，以1:2的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱.(1)△ABC与△A′B′C′相似比是

.(2)如果△ABC的周长是9cm，那么△A′B′C′的周长是

.(3)如果S△ABC

=3cm2，那么△A′B′C′的面积是

.

问题思考：??我们发现，还不能有相似比确定相似三角形的周长比与面积比，这节课我们就来探究一下.例1 已知：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为2.(1)请你写出图中所有成比例的线段；新知学习解：(1)===2.CABC′A′B′(2)△ABC与△A'B'C'的周长比是多少？面积比呢？解：(2)∵===2，∴==2，即△ABC与△A'B'C'的周长比为2.分别过点C与C′作△ABC和△A′B′C′的高CD，C′D′，∵△ABC∽△A′B′C′，∴==2

.∴=2×2=4.CABC′A′B′DD′由已知，得===k，

∴

==k.分别过点C与C′作△ABC和△A′B′C′的高CD，C′D′.∵△ABC∽△A′B′C′，∴

==k

(相似三角形对应高的比等于相似比).∴

=k2.(3)若相似比为k(k>0)，你能求△ABC与△A′B′C′的周长比和面积比吗？CABC′A′B′DD′归纳定理：相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.如果是四边形呢？你能通过类比得出四边形的结论吗？例2 如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，相似比为k(k>0).(1)四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长比是多少？ABDCA′B′D′C′解：(1)∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴====k.∴

=k.即四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长比是k.

例2 如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，相似比为k(k>0).(2)连接相应的对角线BD，B′D′，所得的△BCD与△B′C′D′相似吗？如果相似，它们的相似比各是多少？为什么？ABDCA′B′D′C′解：(2)∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴==k.∴△BCD与△B′C′D′各边均成比例.∴△BCD∽△B′C′D′.

ABDCA′B′D′C′解：(3)∵△ABD∽△A′B′D′，△BCD∽△A′B′D′，且相似比都为k.∴

与都是k2.例2 如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，相似比为k(k>0).(4)四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比是多少？如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？ABDCA′B′D′C′解：(4)∵

与都是k2，又∵S四边形ABCD

=

S△ABD+

S△BCD，S四边形A′B′C′D′=S△A′B′D′+

S△B′C′D′，即四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为k2.换成五边形，结论一样.例3 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离.DEFGABC解：根据题意，可知EG∥AB.∴∠GEC=∠B，∠EGC=∠A.∴△GEC∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)，∴=

(相似三角形的面积比等于相似比的平方)，即 =.∴EC2=2，∴EC=(负值舍去).

∴BE=BC–EC=2–，即△ABC平移的距离为2–.DEFGABC温馨提示相似多边形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1:2的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱.(1)△ABC与△A′B′C′相似比是

.(2)如果△ABC的周长是9cm，那么△A′B′C′的周长是

.(3)如果S△ABC

=3cm2，那么△A′B′C′的面积是

.

问题回顾：18cm12cm2针对训练1.判断正误：(1)如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍.

(

)(2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边的长都扩大为原来的9倍.(

)√×

BCADE解：∵∠BAC=∠DAE，且=

=，∴△ADE∽△ABC.∵它们的相似比为3:5，∴面积比为9:25.课堂小结相似三角形的性质2相似三角形周长之比等于相似比相似三角形面积之比等于相似比的平方强调：以上结论，